2021年高中数学第1章空间几何体学案 新人教A版必修2

第一章空间几何体

1.1空间几何体的结构

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征

［目标］1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的

关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题.

I重点］棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征.

［难点］棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解.

w要点整合夯基础/.....……本栏目通过课前自主学习,整合知识，馀理主T.方基固本

知识点一空间几何体

I填一填1

1.空间几何体的定义

空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑

其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图彩就叫做空间几何体.

2.空间几何体的分类

(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形

叫做多面体的面;相邻两个面的公些边叫做多面体的棱;棱与楂的公某直叫做多面体的顶点.

(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫

做旋转体，这条定电线叫做旋转体的轴.

［答一答］

1.多面体与旋转体的主要区别是什么？

提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的

几何体.

2.多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？

提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.

知识点二棱柱的结构特征

［填一填］

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相于

红，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称

底；其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧搂；侧面与底面的公共顶点

叫做棱柱的顶点.

［答一答］

3.棱柱的各侧核是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样

的？

提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全

等的多边形.

4.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的

公共边都互相平行”，如右图所示.

知识点三棱锥的结构特征

［填一填］

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的多面体

叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;

各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶直；相邻侧面的公共边叫做棱锥的恻棱一

I答一答I

5.棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？

提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点.

6.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？

提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共

顶点的三角形”，如图所示.

AB

知识点四棱台的结构特征

［填一填］

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥的底

面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.

［答一答］

7.棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？

提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形.

8.观察下面的几何体，思考问题：

图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？

提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平

面去我才能得到棱台.

J典例讲练破题型/........本栏目通过课堂讲练互动,变焦市点.剖析难点,全线突破

类型一棱柱的结构特征

［例1］下列关于棱柱的说法：

(1)所有的面都是平行四边形；

(2)每一个面都不会是三角形；

(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；

(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确的序号是.

［解析］(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，枝柱的底面可以是三角

形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，

所以说法正确的序号是(3)(4).

［答案］(3)(4)

通法提炼4

棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的

公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.

[变式训练1]

如图，已知长方体ABCQ-A81Goi.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面8C尸E把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果

是，是几棱柱？如果不是，请说明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四

边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行.

(2)截面上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEBr

CFCi,其中△BE。和△CFG是底面.

微面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱

DCFDi,其中四边形A8EA和四边形OC广功是底面.

类型二棱锥、棱台的结构特征

[例2](1)

如图，在三棱台A'B'U-ABC中，截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()

A.三棱锥B.四棱锥

C.三棱柱D.三棱台

(2)下列关于极锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是.

［解析］(1)由题意知，在三枝台A'B'C中，截去三棱锥A'-ABC,剩下的部分如

图所示，故剩余部分是四棱锥A'-8B'CC.故选B.

(1)题图(2)题图

(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，枝锥底面和截面之间的

部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定

义知棱锥的侧面只能是三角形；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，

如图所示四棱锥被平面雨。截成的两部分都是棱锥.

［答案］(1)B(2)②③④

通法提炼

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

(2)直接法：

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

［变式训练2］如图，下列几何体是棱台的是④(填序号).

解析：①③都不是由棱锥裁成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意.②中的截

面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意.④符合棱台的定义.

类型三空间几何体的展开图问题

［例3］(I)请画出如图所示的几何体的表面展开图;

［解］(1)展开图如图所示.(答案不唯一)

(2)根据表面展开图还原成几何体，如图③和④所示，可知①为五棱柱，②为三棱台.

③④

通法提炼4

(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.

(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画

出来，然后依次画出各侧面.

(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.

［变式训练3］某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10m,如图所

示，其中E,r分别为AO,BC的中点.

A

(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；

(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边8c中点尸处分别

过AC,A8上某点向A。中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？

解：(1)该几何体的表面展开图为

(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形.若使由F

向上所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EE这两条线段均为10,故所用灯管

最短为20m.

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I.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(D)

A.四棱柱B,四棱锥

C.三棱柱D.三棱锥

2.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(B)

A.棱柱的侧棱长都相等

B.四棱锥有五个顶点

C.三棱台的上、下底面是相似三角形

D.有的棱台的侧棱长都相等

解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确.

3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(C)

C.(3X4)D.

解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选

哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.

4.下列几何体中，①@④是棱柱,⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号).

P0

①②③

解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.

5.画一个三棱台，再把它分成：

(1)一个三棱柱和另一个多面体.

(2)三个三棱锥，并用字母表示.

解：画三棱台一定要利用三棱锥.

⑴如图①所示，三棱柱是棱柱A'夕C-AB'fC",另一个多面体是

B'CBCC"B".

(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A'-ABC,夕-A'BC,C-A'B'C.

典式课堂小结

—本课须掌握的四大问题

1.对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：

(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.

(2)多面体是一个“封闭”的几何体.

2.对于棱柱的定义注意以下三个方面：

(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形.

(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

（3）从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面

的直线运动到另一位置时，形成的几何体.

3.对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,

必须强调其余各面是共顶点的三角形.

4.棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.

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柱、锥、台结构特征判断中的误区

♦;开讲啦（1）解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是梭台，而

不注意逻辑推理.

（2）解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断.

［典例］如图所示，几何体的正确说法的序号为.

（1）这是一个六面体；（2）这是一个四棱台；（3）这是一个四棱柱；（4）此几何体可由三棱

柱截去一个三棱柱得到；（5）此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.

［解析］（1）正确，因为有六个面，属于六面体的范围：（2）错误，因为侧棱的延长线不

能交于一点，所以不正确：（3）正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；（4）（5）都正

确，如图所示.

［答案］（1）（3）⑷⑸

［对应训练］如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜

后水槽中的水形成的几何体是（A）

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

解析：符合棱柱的定义.

第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

［目标］1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、

圆台的定义及结构特征解答一些相关问题.

［重点］圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征.

［难点］圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解.

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知识点一圆柱

［填一填］

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的施4维叫做圆柱.

旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边

旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的

母线.

棱柱和圆柱统称为柱体.

［答一答1

1.①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？

②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要

的量？

③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？

提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的横面是矩形.

②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线.

③不一定.圆柱的母线与轴是平行的.

知识点二圆锥

［填一填］

以直一三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转

隹叫做圆锥.

棱锥与圆锥统称为锥体.

［答一答］

2.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？

提示：不是.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体

不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体.

知识点三圆台

［填一填］

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.

棱台与圆台统称为台体.

［答一答1

3.类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？

提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋

转一周而成的曲面所圉成的几何体.

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面

所围成的几何体.

知识点四球体

［填一填］

以生圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称为球.

半圆的圆心叫做球的里如半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.

［答一答］

4.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？

提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.球面是一曲面，它只能度量

面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量

其体积.

5.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？

提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.

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类型一旋转体的结构特征

［例1］(1)下列叙述中，正确的个数是()

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥.

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台.

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

(2)给出下列命题：

①圆柱的母线与它的轴可以不平行；

②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直

角三角形；

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

其中正确的是()

A.®®B.②③

C.@@D.②④

［解析］(1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直

角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得

到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错.故只有④是正确的.故选B.

(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.

［答案〕(1)B(2)D

通法提炼

简单旋转体判断问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关

键.

(2)解题时要注意两个明确：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线.

［变式训练1］以下说法中：

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1;

②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；

③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；

④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等.

其中正确的序号为①.

解析：圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1,所以①正确：矩形绕其一边所在

直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；

圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确.

类型二旋转体的有关计算

命题视角1:圆柱、圆锥、圆台的计算问题

［例2］已知一个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4兀cm?和25兀cm\求:

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

［分析］在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还

台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以

便解决问题.

解(1)

设圆台的轴微面为等腰梯形A3CD(如图所示).

由邈意可得上底的一半0M=2cm,下底的一半05=5cm,腰长A8=12cm,所以

圆台的高12?—(5—2)2=3、瘴(5).

(2)如图，延长84,0。1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/cm,

/—122

则由△S45sZ^S80,得—=亍

解得；=20.

故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.

通法提炼

旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.

对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.

［变式训练2］用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径

之比是14,截去的小圆锥的母线长是3cm,则圆台的母线长9cm.

解析：

如右图，设圆台的母线长为y,小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相

3x

似三角形的性质得解此方程得y=9.所以圆台的母线长为9cm.

命题视角2：球的截面问题

［例3］已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12兀知16兀，求这两个截面

间的距离.

［分析］画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于栈面所在的平面，构造直角三

南形解决.对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解.

［解］设球的大圆为圆O,C,。两点为两极面圆的圆心，A3为经过C,O,。三点的

直径且两极面圆的半径分别是6和8.

当两截面在球心同侧时，如图（I）,此时CD=OD=7OF-AC2°-D卢=8

-6=2.

当两截面在球心两侧时，如图（2）,此时CD=OC+OD=70£—Ed0产一DF2=8

+6=14.

战两截面间的距离为2或14.

通法提炼

利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.

［变式训练3］已知正方体的棱长为〃，求它的外接球的半径.

解：

正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，故应作正方体的对角面，

则球的轴截面为对角面矩形的外接圆，如图所示，设球的半径为七，则（2/?2尸=（啦。尸+/

今&=坐@

类型三旋转体的展开图问题

［例4］如图，底面半径为1,高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要

围绕圆柱由点4爬到点8，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

题图答图

［解］把圆柱的侧面沿A8剪开，然后展开成为平面图形——矩杉，如图，连接A8',

则A8'即为蚂蚁爬行的最短距离.

yAB=A'B'=2,AAr为底面圆的周长，

：.AAf=2TCX1=2TC,

：.AB'B'2+W2=山+（2兀）2=2、1+兀2,

故蚂蚁爬行的最短距离为25+/.

通法提炼4

求旋转体侧面上两点间的最短距离，一般转化为侧面展开图上该点间的距离进行求解.

［变式训练4］

若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？

解:

・.・AB=2,BB'=2X2冗X1=4几，

：.AB'6+842=耳4+16兀2=2@+4储.

故蚂蚁爬行的最短距离为25+4d.

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1.下图是由哪个平面图形旋转得到的（D）

解析：组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角

形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.

2.下列说法正确的是（C）

A.用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D.圆锥的母线可能平行

解析：对于A,用一平面去假圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面：对于B,

通过圆台侧面上一点，只有一条母线：对于D,圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平

行.

3.若4,8为球面上相异的两点，则通过4,8两点可作球的大圆有（D）

A.一个B.无穷多个

C.零个D.一个或无穷多个

解析：若A,B为一条直径的两端点，则经过A,B两点可作无数个大圆.若A,B与

球心0不在同一直线上，只能作一个大圆.故选D.

4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30。，则圆锥的高为10\份cm.

解析：/Z=20COS300=1GV3（cm）.

5.已知圆锥底面半径r=lcm,母线/=6cm,现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上的

点4沿侧面爬一周后又回到点A,求它至少要爬的路程.

解：

/•I

如图，将圆锥侧面沿母线用展开，所得扇形的圆心角。=了36。。=不乂360。=60。.

连接A4',则4A'的长度就是蚂蚁爬的最短距离.

因为P是等边三角形，

所以AA'=AP=6cm,

即蚂蚁至少要爬6cm.

国》»»课堂小结

本课须掌握的三大问题

圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

上底缩小1

工底扩大至顶点拓展为/:\

与下底面全等与心面平行

留柱

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.

3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何

平面化的思想.

»温馨提示

1.1.2简单组合体的结构特征

［目标］1.了解组合体的概念；2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结

构特征.

［重点1对简单组合体两种基本形式的认识.

［难点］把简单组合体分解大简单几何体.

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知识点一简单组合体的结构特征

［填一填］

1.定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

2.简单组合体的两种基本形式：

［由简单几何体拼接而成；

简单组合体〈----

I由简单几何体截去或挖去一部分而成.

1答一答1

I.组合体的形式有哪些？

提示：(1)多面体与多面体的组合体.

(2)旋转体与旋转体的组合体.

(3)多面体与旋转体的组合体.

2.如图是一暖瓶，不考虑提手，其主要的结构特征是什么？

提示：把暖瓶看作一个旋转体，它是一个简单组合体，是由两个圆柱和一个圆台拼接

而成的.

J典例讲练破题型;本栏目通过课堂讲练互动.娈焦节点.剖析难点,全线突破

类型一简单组合体的结构特征

［例I］(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的.

(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征.

［解］(1)图①中的几何体可以看做是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可

以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示).

补上两个，

四核柱K-------K

(2)(A)中的几何体由一个三凌柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切亍

三棱柱.

(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆

(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成.其中三棱锥内接于球.

4

会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将

它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.

［变式训练1］请描述如图所示的组合体的结构特征.

解：①是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体：

②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的组合体.

类型二平面图形旋转形成的组合体

［例2］已知AB是直角梯形A8CO中与底边垂直的一腰，如图.分别以48,BC,CD,

D4为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.

［解］(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如图①所示.

(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥.如图②所示.

(3)以。。为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个

小圆锥.如图③所示.

(4)以A。为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所

示.

④

通法提炼

对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题，要对原平面的图形通过向轴作垂线，作适当

的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的特征进行判断.

［变式训练2］如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为

(B)

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.1个球体中间挖去一个长方体

类型三与球有关的“切”与“接”问题

［例3］已知正方体的棱长为小分别求出它的内切球及与各棱都相切的球半径.

［分析］解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系.

［解］(1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对

两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的底切圆，如图(1)所示，

设球的半径为品，易得品=?

(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经

过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，

设球的半径为/?3,易求得球的半径/?3=乎。

通法提炼

组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算.正

方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都

相切，则球的直径等于正方体面对角线的长.

［变式训练3］一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可

能是(C)

@©0O

①②③。

A.B.②④C.D.®®®

解析：考虑过球心的正方体板面位置的可能情形.当截面平行于正方体的一个侧面时

得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面，也不过对角线时得①,

但无论如何都不能截出④.故选C.

J课堂达标练经典;本栏目通过课堂日主达标,巧练经典.强基提能.全面提升

1.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能

是（C）

A.梯形、正方形B.圆台、正方形

C.圆台、圆柱D.梯形、圆柱

解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D,所以选C.

2.如图，将阴影部分图形绕图示直线/旋转一周所得的几何体是（D）

A.圆锥

B.圆锥和球组成的简单几何体

C.球

D.一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体

解析：三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形

成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的

简单几何体.

3.图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的

圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（D）

(3)(4)⑸

A.⑴⑵B.⑴⑶

C.⑴⑷D.(1)(5)

解析：当截面不过旋转轴时，截面图形是(5),故选D.

4.已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5cm的钢

球，则球心到盒底的距离为迎cm.

解析：由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的纽合体的上顶点到下底

面的距离，可以看作下面是一个正方体，正方体的楂长是6cm,上面是一个四棱锥，四棱

锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5,则四棱锥的高是，？^=m=4,J球心

到盒底的距离为6+4=10(cm).

5.下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？

(1)(2)(3)

解：(1)是由一个圆柱和一个六棱柱组成的；(2)是由一个圆锥、一个圆柱和一个长方体

组成的；(3)是由一个球和一个圆台组成的.

—课堂小结

—本课须掌握的问题

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是拼接而成；一种是日简单几何体截去或挖

去一部分而成.具体可以分为以下三类：

(1)多面体与多面体的组合

由两个或两个以上的多面体组合而成，如图(1)是一个正方体截去一个三棱锥的组合

体.

(2)多面体与旋转体的组合

由多面体和旋转体组合而成，如图(2)是一个六棱柱与一个圆柱的组合体.

(3)旋转体与旋转体的组合

由两个或两个以上的旋转体组合而成，如图(3)是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.2.1中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图

I目标］1.了解中心投影与平行投影；2.能画出简单空间图形的三视图；3.能识别三视图

所表示的立体模型.

［重点］画简单空间图形的三视图.

［难点1识别三视图所表示的立体模型.

，要点整合夯基础/.....……本栏目通过课前自主学习,整合知识，饰理主干.夯基固本

知识点一投影的有关概念

［填一填］

1.概念：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子的现

象.

2.投影线与投影面：投影线是比线，投影面是留下物体影子的屏幕.

3.分类：

敢［中心投影：光由一点向外散射形成的投影.

(1)投影］平行投影：在一束壬后光线照射下形成的投影.

［正投影：投影线正对着投影面.

“仅花斜投影：投影线没有正对着投影面.

［答一答］

1.平行投影和中心投影有什么区别和联系？

提示：平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别：

①中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行.

②平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个R面图形的形状和大小

完全相同；而中心投影则不同.

③画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法.

2.正投影与平行投影之间有什么关系？

提示：正投影是平行投影的特例，即投射线和投射面垂直的平行投影，所以正投影也

具有平行投影的性质.

3.已知△A8C,选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三

角形与△ABC(B)

A.全等B.相似

C.不相似D.以上都不对

知识点二空间几何体的三视图

［填一填］

I.三视图的概念：

(I)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图.

(2)侧视图：光线从几何体的左面向方面正投影，得到的投影图.

(3)俯视图：光线从几何体的上面向工ffi正投影，得到的投影图.

2.三视图表达的意义和画法规则：

(1)正、俯视图都反映物体的长度—“长对正”；

(2)正、侧视图都反映物体的高度一“高平齐”；

(3)俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”；

(4)能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓和棱用虚线表示.

［答一答］

4.三视图是平行投影还是中心投影所成的？

提示：平行投影.

5.如图，该几何体的俯视图是②.(填序号)

於△HEO口

正视方向①②③④

J典例讲练破题型/........本栏目通过课堂讲练互动,变焦市点.剖析难点,全线突破

类型一中心投影与平行投影

［例1］下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；

②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线;

③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.

其中正确的个数为()

A.0B.1

C.2D.3

I解析］

序号正误原因分析

①4由平行投影和中心投影的定义可知

空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心

②X在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的

距离越来越近，最后相交于一点

③X两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线

［答案］B

通法提炼

空间图形在平行投影和中心投影下，大多情况下得到的图形是不同的，但是也有相同

的情况，如直线经过两种投影，都有可能成为一个点.

［变式训练1］E,产分别是正方体的平面AODiA和平面8CG卅的中心，则四边形

BFDXE在该正方体的面上的投影f即本节所指的正投影）可能是图中的②③（要求把可能的序

号都填上）.

解析：如图所示，四边形BFDIE在平面CGn。上的正投影如②，在平面上

的正投影如③，在平面ABCD上的正投影如②，故可能的是②③.

类型二画空间几何体的三视图

［例2］（1）若一个长方体欲去两个三棱锥，得到的几何体如图，则该几何体的三视图

为（）

ZN2H

r正^视图i侧视图正视图侧视图

便视图俯视图

AB

NN20

正视网侧视图正视图侧视图

俯视图俯视图

(2)画出下图中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)

［解析］(1)从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图

是一个矩形内有一斜向下的对角线，没有斜•向上的对角线，故排除R,D；侧视图是一个矩

形内有一斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除A.

(2)解：正四棱锥的三视图如图所示:

正视图便I视图

俯视图

圆台的三视图如图所示:

正视图侧视图

俯视图

［答案］(1)C(2)见解析

通法提炼

观察立体图形时，要选择在某个方向上“平视”，用目光将立体图形“压缩”成平面

图形，这样就得到了三视图.注意三视图的排列规则和虚、实线的确定.一般地，几何体的

轮廓线中能看到的画成实线，不能看到的画成虚线.

［变式训练2］（1）一根钢管如图所示，则它的三视图为（B）

（2）—几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（B）

解析：（1）该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体，三视图为B.

（2）几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见爱段，所以C、D不正

确：几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确.故选B.

类型三由三视图还原几何体

［例3］已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图

是（）

［解析I三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足，且四个三视图均表示一个高

为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥，A与C中俯视图正好旋转180。，故应是从相反方

向进行观察；而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A,C表

示同一棱锥；设A中观察的正方向为标准正方向，所以C表示从后面观察该棱锥；B与D

中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相

同，不满足实际情况，故B,D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥，根据B中正

视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥.故选

D.

［答案］D

通法提炼

（1）根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综

合三视图的形状，从不同的角度去还原.

（2）通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合E视图和侧视图确定具

体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.

［变式训练3］根据三视图（如图）想象物体原形，并画出物体的实物草图.

题图

解：此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图可以如图.

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1.下列说法正确的是（C）

A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形

解析：对于A,球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B,D,正方体的三

视图与摆放位置有关，故B,D错；故选C.

2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（D）

A.球B.三棱锥

C.正方体D.圆柱

解析：不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.

3.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是逊.

①线段；②直线；③圆；④梯形：⑤长方体.

解析：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体

是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.

4.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为

也的矩形，则该正方体的正视图的面积等于41

解析：由题意正方体的侧视图与正视图是全等的矩形，则正视图的面积也等于41

5.根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图.

俯视图

题图答图

解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形：由正视图知，该几何体是一四棱锥，

且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示.

题式课