2021春沪科版九年级数学下册 第24章 圆锥的侧面积和全面积计算教案

圆锥的侧面积和全面积计算

一、教学目标分析

知识与技能：1.认识圆锥，了解圆锥的相关概念。2.探索圆锥侧面积、全

面积计算公式。3.会应用公式解决有关问题。

过程与方法：通过探究、观察、分析、计算，在活动中培养学生探究问题

能力，合作交流意识。并在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生

应用知识的意识。

情感态度与价值观：引导学生对问题观察、质疑，激发他们的好奇心和求知

欲，使学生在运用数学知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信

心。并且鼓励学生思维的多样性，发展创新意识。

二、重难点分析

教学重点：理解圆锥的相关概念，探索圆锥的侧面积的计算公式。

教学难点：探索圆锥侧面积的计算公式。

三、教学模式：“十二字”教学模式

四、教学过程

（-）出示学习目标

1.认识圆锥，了解圆锥的相关概念

2.探索圆锥侧面积、全面积计算公式

3.会应用公式解决有关问题

（二）自学指导

认真阅读课本（例题2以前）的内容重点解决：

1.理解圆锥母线的概念。

2.思考圆锥的侧面展开图是什么形状？应怎样计算它的面积？认真解决课

本思考中的三个问题并完成填空。时间6分钟

（三）检查自学

1.圆锥的高和母线等概念。

思考：圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有怎样的关系：a2=h2+r2

2.圆锥的侧面展开图

（1）沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个什么图形？这个扇形

的弧长与底面的周长有什么关系？

（2）圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？

圆锥的就是其侧面展开图扇形的弧长，

圆锥的就是其侧面展开图扇形的半径。

3.圆锥的侧面积和全面积

引导学生理解圆锥的侧面积计算公式的推导过程，能准确的应用公式解

决问题。

（四）当堂训练

A组

1.根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）

（1）a=2,r=l则h=_______

（2）h=3,r=4则a=

（3）a=10,h=8贝［Ir=

2.已知圆锥的底面直径为4,母线长为6,则它的侧面积为.

3.已知圆锥底面圆的半径为2腐，高为J5,则这个圆锥的侧面积为:

全面积为，

B组

1.（立体——平面）

若一个圆锥的底面圆的周长是4ncm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的

圆心角的度数是

2.（平面--立体）

现有一个圆心角为90°,半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧

面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为.

C组

1.已知ZU3C中，ZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,将ZU3。绕直角边AC旋转

一周，求所得圆锥的侧面积？

（五）小结

谈谈本节课的收获和困惑

（六）作业：教材练习题

教学时间课题23.2中心对称（1）课型新授课

知识了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一

和些问题.

教能力

学过程复习运用旋转知识作图,旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋

目和转180°的特殊旋转——-中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题.

标方法

情感让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获

态度得知识，体验成功，享受学习乐趣.

价值观

教学重点利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.

教学难点从一般旋转中导入中心对称.

教学准备教师多媒体课件学生“五个一”

课堂教学程序设计设计意图

一、复习引入

请同学们独立完成下题.

如图，^ABC绕点0旋转，使点A旋转到点D

处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法.A,

老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应\-O

点是点D,且旋转中心也已知，所以关键是找出旋

转角和旋转方向.显然，逆时针或顺时针旋转都符,

合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向

为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角.如图，

连结OA、OD,则NAOD即为旋转角.接下来

根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所y

成的角都是旋转角"和''对应点到旋转中心；

的距离相等”这两个依据来作图即可.,

作法：(1)连结OA、OB、OC、OD；入一4。

(2)分别以OB、OB为边作NBOM=NCON=/

ZAOD；B

C

(3)分别截取OE=OB,OF=OC；

(4)依次连结DE、EF、FD；

即：4DEF就是所求作的三角形，如图所示.

二、探索新知

问题：作出如图的两个图形绕点0旋转180。的图案，并

问题：

1.以0为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？

2.各对称点绕0旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕0旋转180°都是重合

的，即甲图与乙图重合，AOAB与ACOD重合.

像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个

图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做

对称中心.

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.

例1.如图，四边形ABCD绕D点旋转180°,请作出旋转后的图案，

写出作法并回答.

(1)这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如

果不是，请说明理由.

(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点.

公A

BC

分析：(1)根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图

形，对称中心就是旋转中心.

(3)旋转后的对应点，便是中心的对称点.

解：作法：(1)延长AD,并且使得DA'=AD

(2)同样可得：BD=B'D,CD=C'D

(3)连结A'B‘、B'C'、CD,则四边形A'BzCD为所求的四

边形，如图23-44所示.

答：(1)根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称

中心是D点.

(2)A、B、C、D关于中心D的对称点是A'、B'、C'、D',这里

的>与D重合.

例2.如图，已知AD是AABC的中线，画出以点D为对称中心，与4

ABD成中心对称的三角形.

分析：因为D是对称中心且AD是AABC的中线，所以C、B为一对的

对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可.

解：(1)延长AD,且使AD=DA',因为C点关于D的中心对称点是B

(C')，B点关于中心D的对称点为C(B')l

(2)连结A，B，、A，C，.

则zwB，c为所求作的三角形，如图所示

三、巩固练习

教材P64练习1.B

四、应用拓展

例3.如图，在aABC中，ZC=70°,BC=4,AC=4,现将AABC沿CB一i-

SM

方向平移到aA'B'C'的位置.S

(1)若平移的距离为3,求aABC与4A'B'C'重叠部分的面积.

磁

(2)若平移的距离为x(0WxW4),求AABC与AA'B'C'重叠部分Lcor

的面积y,写出y与x的关系式.

分析：(1)VBC=4,AC=4

二AABC是等腰直角三角形，易得aBDC'也是等腰直角三角形且BC'

=1

(2)•.•平移的距离为x,...BC'=4-x

解:(1)VCC,=3,CB=4且AC=BC

.•.BC'=C'D=1

SABDC'=—X1X1=一

22

(2)VCC/=x,.'.BC'=4-x

VAC=BC=4

.'.DC'=4-x

.,«SDC=—(4-x)(4-x)=—x'-4x+8

AB22

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1.中心对称及对称中心的概念；

2.关于中心的对称点的概念及其运用.

作业必做教材P67：1.

设计选做

教

学

反

思

教学时间课题中心对称图形课型新授课

知识理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对

和称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质

能力的运用.

教

过程复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提

学

和出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质.

目

方法

标

情感让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获

态度得知识，体验成功，享受学习乐趣.

价值观

教学重点中心对称的两条基本性质及其运用.

教学难点让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质.

教学准备教师多媒体课件学生“五个一”

课堂教学程序设计设计意图

一、复习引入

（老师口问，学生口答）

1.什么叫中心对称？什么叫对称中心？

2.什么叫关于中心的对称点？

3.请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个

三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论.

（每组推荐一人上台陈述，老师点评）

（老师）在黑板上画一个三角形ABC,分两种情况作两个图形

（1）作AABC一顶点为对称中心的对称图形；

（2）作关于一定点0为对称中心的对称图形.

第一步，画出AABC.

第二步，以AABC的C点（或0点）为中心，旋转180°画出4A'B'

和AA'B，C',如图1和用2所示.

从图1中可以得出AABC与aA'B'C是全等三角形；

分别连接对称点AA'、BB'、CC，,点0在这些线段上且。平分这些

线段.

下面，我们就以图2为例来证明这两个结论.

证明：（1）在AABC和AA'B'C中，

OA=OA,,OB=OBZ,ZAOB=ZA,OBZ

.,.△AOB^AA/OB'

.\AB=A,B'

同理可证：AC=A'C,BC=B'C

.'.△ABC丝Z\A'B'C'

（2）点A，是点A绕点。旋转180°后得到的，即线段0A绕点0旋

转180°得到线段0A',所以点0在线段AA'上，旦OA=OA',即点0

是线段AA'的中点.

同样地，点0也在线段BB'和CC'上，且OB=OB',OC=OC',即点

0是BB'和CC'的中点.

因此，我们就得到

1.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而

且被对称中心所平分.

2.关于中心对称的两个图形是全等图形.

例1.如图，已知AABC和点0,画出ADEF,使4DEF和aABC关于点

0成中心对称.

分析：中心对称就是旋转180°,关于点0成中心对称就是绕0旋转

180°,因此，我们连AO、BO、C0并延长，取与它们相等的线段即可得到.

解:(1)连结A0并延长A0到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D,

如图所示.

(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.

(3)顺次连结DE、EF,FD.

则4DEF即为所求的三角形.

例2.(学生练习，老师点评)如图，已知四边形ABCD和点0,画四边

形A'B'C'D',使四边形A'B'C6和四边形ABCD关于点0成中

心对称(只保留作图痕迹，不要求写出作法).

教材.

三、应用拓展

例3.如图等边aABC内有一点0,试说明：OA+OB>OC.

分析：要证明OA+OB>OC,必然把0A、OB、0C转为在一个三角形内，

应用两边之和大于第三边(两点之间线段最短)来说明，因此要应用旋

转.以A为旋转中心，旋转60°,便可把0A、OB、0C转化为一个三角形

内.

解：如图，把AAOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO'

B的位置，则△AOC^^AO'B.

A

杰

BC

/.AO=AO,,0C=0'B

又•.•N0A0'=60°,...△AO'0为等边三角形.

.\A0=00,

在△B00'中，00'+OB>BO,

即OA+OB>OC

四、归纳小结(学生总结，老师点评)

本节课应掌握：

中心对称的两条基本性质：

1.关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且

被对称中心所平分；

2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.

作业必做

设计选做

教

学

反

思

垂直于弦的直径性质

教学目标：

(1)知识与技能

理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算

和证明；

⑵过程与方法

进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

（3）情感态度与价值观

通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

教学重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.

难点：垂径定理的证明.

教学学习活动设计：

（一）实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具

有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实

验一一观察一一感性一一理性”引出垂径定理.

（二）垂径定理及证明：已知：在。0中，CD是直径，AB是弦，CD±AB,垂

足为E.求证：AE=EB.

证明：连结OA、0B,则OA=OB.又AB,.•.直线CD是等腰AOAB的对称轴,

又是。0的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B

点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE.从而得到圆的一条重要性质.

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为。0的直径，

CD±ABAE=EB.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③

平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

（三）应用和训练例1、已知在中，弦AB的长为8cm,圆心0到AB的距

离为3cm,求。。的半径.

分析：要求。。的半径，连结0A,只要求出0A的长就可以了，因为已知条件点

0至IAB的距离为3cm,所以作OE_LAB于E,而AE=EB=-AB=4cm.此时解RtAAOE

2

即可.

解：连结0A,作OELAB于E.则AE=EB.VAB=8cm,/.AE=4cm.

又•.•0E=3cm,/.O0的半径为5cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线

段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r=h+d；r2=d2+（a/2）2

例2、已知：在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求

证AC=BD.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材中练习1,2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.指

导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦

长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助

线一一弦心距.

（四）小节与反思

（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用.

方法：（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,

构造直角三角形；（2）在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线一一弦心距；（3）

为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平

分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

（五）作业教材.

课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,如果AB为。。的直径，弦CDLAB,垂足为E,那么下列结论中,

错误的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如图2,。。的直径为10,圆心0到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长

是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。0中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不

正确的是（）

A.AB±CDB.ZA0B=4ZACDC.AD=BDD.P0=PD

二、填空题

1.如图4,AB为GO直径,E是BC中点,0E交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=

B

E

（5）

2.P为。0内一点，0P=3cm,OO半径为5cm,则经过P点的最短弦长为—

最长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为。0的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么

（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1.如图24-11,AB为。。的直径，CD为弦，过C、D分别作CNJ_CD、DM±CD,

分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

2.如图，。。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD

长.

3.（开放题）AB是。0的直径，AC、AD是。0的两弦，已知AB=16,AC=8,AD=8,

求NDAC的度数.

答案：

~■、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：过点0作OELCD于点E,则CE=DE,且CN〃OE〃DM.

/.ON=OM,/.OA-ON=OB-OM>

,\AN=BM.

2.过0作OF，CD于F,如右图所示

VAE=2,EB=6,；.0E=2,

；.EF=5OF=1,连结OD,

在Rt^ODF中，42=12+DF2,DF=V15,，CD=2VB.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

VAB=16,AC=8,AD=86,

/.-AC=-(-AB),/.ZCAB=60°，

222

同理可得NDAB=30°,

.,.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

弧长和扇形面积

教学目标

(-)知识与技能

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.

（二）过程与方法

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能

力.

2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用

能力.

（三）情感态度与价值观

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与

创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活

的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家

的运用能力.

教学重点

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程.

2.了解弧长及扇形面积计算公式.

3.会用公式解决问题.

教学难点

1.探索弧长及扇形面积计算公式.

2.用公式解决实际问题.

教学方法

学生互相交流探索法

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，

扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面

积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索.

n.新课讲解

一、复习

i.圆的周长如何计算？

2.圆的面积如何计算？

3.圆的圆心角是多少度？

［生］若圆的半径为r,则周长1=2万r,面积S=〃落圆的圆心角是360°.

二、探索弧长的计算公式

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.

(1)转动轮转一周，传送带上的物品/被传送多少厘米?

⑵转动轮转1°，传送带上的物品4被传送多少厘米？

(3)转动轮转〃。，传送带上的物品4被传送多少厘米？

［师］分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆

的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°,传送带上的物品/被传送圆周

长的一二；转动轮转,传送带上的物品力被传送转1°时传送距离的〃倍.

360

［生］解：(D转动轮转一周，传送带上的物品力被传送2"X10=20"cm；

(2)转动轮转1。，传送带上的物品/被传送驷=2cm；

36018

(3)转动轮转,传送带上的物品/被传送AX型^=」巴=cm.

360180

［师］根据上面的计算，你能猜想出在半径为A的圆中，n。的圆心角所对的

弧长的计算公式吗？请大家互相交流.

［生］根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2万/?,那么1°的圆

心角对应的弧长为过=型，〃°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的

360180

弧长的〃倍，即〃*芷=四匹.

180180

［师］表述得非常棒.

在半径为力的圆中，n的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

1,=-nn-R.

180

下面我们看弧长公式的运用.

三、例题讲解

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中

管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm).

分析：要求管道的展直长度，即求A8的长，根根弧长公式/=2型可求得

180

的长，其中〃为圆心角，不为半径.

解：7?=40mm,n=110.

二AB的长=」-—X408mm.

180180

因此，管道的展直长度约为76.8mm.

四、想一想

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另

一端拴着一只狗.

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过〃。角，那么它的最大活动区域有多大？

［师］请大家互相交流.

［生］⑴如图(1),这只狗的最大活动区域是圆的面积，即93

⑵如图(2),狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对

11

应的圆面积，1°的圆心角对应圆面积的--->即----义9万=—7r，n°的圆心角

36036040

对应的圆面积为〃><△=生.

4040

［师］请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式.

［生］如果圆的半径为此则圆的面积为万底1°的圆心角对应的扇形面积为

要■,n的圆心角对应的扇形面积为〃・耍=嘤.因此扇形面积的计算公

360360360

式为S扇形=口肾,其中斤为扇形的半径，n为圆心角.

五、弧长与扇形面积的关系

［师］我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为A的圆中，n的圆心角

所对的弧长的计算公式为一五R,na的圆心角的扇形面积公式为S国彩=

180

万4,在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角半径〃有关系，因

360

此/和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流.

［生［•••/=sf-

n

•r£1„nr)

..-------JIK=—R-——JTR.•'*5®®=—1R.

36021802

六、扇形面积的应用

扇形428的半径为12cm,N408=120°,求AB的长（结果精确到0.1cm）和

扇形/防的面积（结果精确到0.1cm2）

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径A和圆心角〃即可，本

题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了.

170

解：AB的长=上？1X12仁25.1cm.

180

1of）

S=—万义12?心150.7cm2.

m360

因此，AB的长约为25.1cm,扇形/①的面积约为150.7cm2.

m.课堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

i.探索弧长的计算公式1=-七〃兄并运用公式进行计算；

180

2.探索扇形的面积公式S=’-万#,并运用公式进行计算；

360

3.探索弧长/及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方.

V.课后作业

练习

VI.活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6〃cm,的长为10万

cm,又4片12cm,求阴影部分/位右的面积.

分析:要求阴影部分的面积，需求扇形皈的面积与扇形/如的面积之差.根

据扇形面积S=-1R,1已知，则需要求两个半径和与OA,因为OC=OA+AC,

2

4。已知，所以只要能求出。1即可.

解：设力=/?,OC=R+\2,AO=n°,根据已知条件有：

6n-TIR①

180

10TT=—K(/?+12)②

180

①用3_R

T=r得一二------

②5R+12

.,.3(7?+12)=57?,...仁18.

.*.00=18+12=30.

，S=S南形例-S南形板=LX10"X30-L义6"X18=96万cm2.

22

所以阴影部分的面积为96"cm2.

切线的判定

教学目标：1、理解切线的判定定理，并并能初步运用它解决简单的问题。

2、知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

3、掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

情感态度：通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并激

发学生学习数学的兴趣；。

教学重点：切线的判定定理的理解和应用。

教学难点：理解切线判定定理的中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直线

垂直于这条半径。

教学过程：

一、创设情景,导入新课。

问题：直线和圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？

在学生回答后再展示相应的位置关系及判断的方法：

判断的方法：(1)根据直线与圆的交点的个数；

(2)圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系。

教师强调：图（2）中的直线与圆相切，我们可以通过上述两种方法来判

断它们的位置关系。但在实际问题中如果我们始终用寻找交点的个数和

圆心到直线的距离来判断很不方便，也难于操作，还有没有其它的方法

呢？（引导学生思考）

二，启发学生，探究新知。

1、待学生思考后，可能没有什么发现。我们可以让

学生在观察刚才的图（2）,提示学生可再任作一条半径。

如图（4）所示：

教师引导：回顾图（2）中判断直线1与圆相

切的方法:利用圆心0到直线1的距离等于圆

的半径。

2、教师启发：

（1）你能否把上面的文字叙述的条件改成数学语言呢？

可由学生积极思考，讨论，然后给出参考的答案:

距离0A：改写成OAJ_1;

等于半径：改写成OA=r;

垂足A在半径0A上且为半径的一个端点。

（2）你能尝试在不改变句子意思的条件下把上面的文字叙述的命题

改成意思相同的命题吗？

学生改写后交流，然后在集体讨论交流的基础上得出：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（这就是我们今天

要学习的内容：圆的切线的判定，并板书课题）

（3）熟悉定理，分析命题的题设和结论，并能用几何语言表示它们。

如图：题设两条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

几何语言的表示：•.•直线1，OA,1经过半径0A的外端

直线1为圆0的切线。

教师强调：上述两个条件缺一不可。

.A

A一

图（6）图（5）图。）

（4）学生思考：为什么不能缺少条件？能否举出反例。

图（6）经过半径的外端但不与半径垂直；图（7）与直线垂直，但没有经过

半径的外端，都不是圆的切线。加强学生的认识，判断圆的切线时，这两个条件

缺一不可。

三，互动深化。

1、例1,如图（8）,已知4ABC内接于，©0

的直径AE交BC于点F,点B在BC的延长线上，且

CAP=ZABC；求证：PA是。。的切线。

分析:依据题目的条件有半径0A且PA经过0A

的外端,对照定理只须证PA±OA就可以了。

证明：连接CE

VAE是。A的直径

二ZACE=90°

，ZE+ZEAC=90°

VZE=ZABCZABC=ZCAP

.\ZE=ZCAP

ZCAP+ZEAC=ZE+ZEAC=90°

即N0AP=90°

.,.PA_LOA,且PA经过A点

，PA为的。0切线。

教师点评：依据定理判断切线时对照定理需要

的条件，看已知条件满足其中的什么条件，再证明

或查找另一个条件就可以了。

2、教学例2,如图（10）,CD是AABC中AB边

上的高，以CD为直径的。0分别交CA,CB于点E、F,点G是AD的中点，求证:

GE是。0的切线。

分析：E是GE上的点又是。0上的一点，连接DE就是。。的半径，对照判

定定理只需证明GE10E就行。

证明：连接OE、DE

：CD是。0的直径

/.ZAED=ZCED=90°

♦G是AD的中点

AEG=1/2AD=DG

/.ZDEG=ZEDG

VOE=OD

.•.ZDEO=ZEDO

.,.ZDEG+ZDEO=ZEDG+ZEDO

即NEOG=NCDA

VCD±AB

Z.ZCDA=90°

.,.ZEG0=ZCDA=90o

「DE是。0半径

，GE是。。的切线。

教师点评：在已知条件中当这条直线过圆上某一个点时，通常情况下，先连

接圆心与这个公共点就成为半径，然后再证明直线与这条半径垂直。

3、教学例3,如图（13）,在AABC中，ADLBC于D,且AD=%BC,E、F分

别是AB、AC的中点，0为EF的中点。

求证：以EF为直径的圆0与BC相切。

分析：本题对照切线的判定方法都没有可用的条件，既没半径，又没垂直,

可过0作OHLBC于H。

证明：过0作OH_LBC于H

♦E、F是AB、AC的中点

/.EF=l/2BC

M是AD的中点，MD=l/2AD

VAD=1/2BC

/.EF=AD

AMD=1/2EF

VAD1BCOHIBC

.•.OH〃MD

则四边形OHDM是矩形

.,.OH=MD=l/2EF

，0H为。。的半径.

XV0H±BC

...以EF为直径的圆0与BC相切。

教师点评：证明切线时，已知条件没有直接可用的条件，既没有公共点，也

没有垂直时，通常情况下，可以过圆心作这条直线的垂线，然后再证明这条垂线

段等于半径。

四，应用创新

1.如图(9),AB是。0的直径，ZABT=f/I\45°,AT

=ABo求证：AT是OO的切线。I°J

TA

图(9)人

2,如图Rt/XABC中，ZABC=90°,以AB为直fI\\

径的。0交AC于点E、点D是BC的中点、连接DE。1°j

求证：DE与。0相切。

BDc

图(11)

3、如图AABC中，AB=AC,0是BC的中点,

OO与AB相切于点D.

五，课堂小结

1、切线的判定定理。

2、判定一条直线是圆的切线的方法。

(1)定义：直线和圆有唯一公共点。

(2)数量关系：直线到圆心的距离等于半径。

(3)判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

3、辅助线作法：

(1)有公共点：作半径证垂直。

（2）无公共点：作垂直证半径。

六,反馈评价。

1、如图，AB是。。的直径，ZBAC=30°,M是0A

上一点，过M作AB垂线交AC于点N,交BC的延长线

于点E,直线CF交EN于点F,且NECF=NE。

求证：CF是。。的切线。（有公共点的情况）

2、如图、DB是圆0的直径，点A在BD的延长线上AB=OB,ZCAD=30°

求证：AC是。。的切线。（属于没有公共点的

切线长定理

教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉

用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：

一、复习引入：

1.切线的判定定理和性质定理.

2.过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？

二、合作探究

1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这

点到圆的切线长。

2、切线长定理

（1）操作：纸上一个。0,PA是。。的切线，连结P0,沿着直线P0将纸对折,

设与点A重合的点为Bo0B是。0的半径吗？PB是。0的切线吗？猜一猜PA

与PB的关系？NAP0与NBP0呢？

从上面的操作及圆的对称性可得：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平

分两条切线的夹角.

(2)几何证明.

如图，已知PA、PB是的两条切线.求证：PA=PB,NAPO=NBPO.

证明：

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点

和圆心的连线平分两条切线的夹角.

3、三角形的内切圆

思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆

的面积尽可能大呢？

三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做一一

(1)图中共有几对相等的线段

(2)若AF=4、BD=5、CE=9,则aABC周长为

例如图，AABC的内切圆。。与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若SAABC=18VTo,求00的半径。

三、巩固练习

1、如图1,PA、PB是。0的两条切线、A、B为切点。P0交。0于E点

(1)若PB=12,P0=13,则A0=___

(2)若P0=10,A0=6,则PB=

(3)若PA=4,A0=3,则P0=____；PE=.

(4)若PA=4,PE=2,则A0=____.

于C、D两点。

(1)若PA=12,则4PCD周长为

(2)若Z\PCD周长=10,则PA=

(3)若NAPB=30°,则NA0B=_____,M是。0上一动点，贝|NAMB=_

3、如图RtAABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E、D、F,且NACB=90°,

AC=3、BC=4,求00的半径。

C

B

E

A

4、如图RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6、BC=8,0为BC上一点，以0为圆心,

0C为半径作圆与AB切于D点，求。。的半径。

5、如图，。。与4ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N,且DE_LAE,

AE=8,AD=10,求。0的半径

6、如图，AB是。0的直径，AE、BF切。0于A、B,EF切。0于C.

求证：0E10F

F

B

7、如图，00的直径AB=12cm,AM、BN是切线，DC切。0于E,交AM于D,交

BN于C,设AD=x,BC=y.

(1)求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x,y的值.

(3)求△(：(»的面积.

四、小结归纳

1.圆的切线长概念和定理

2.三角形的内切圆及内心的概念

五、作业设计

三角形的内切圆

教学目标

1、使学生学会作三角形的内切圆.

2、理解三角形内切圆的有关概念.

3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征.

4、会关于内心的一些角度的计算.

教学重点：

掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念.同三角形的外接圆一

样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法.

教学难点：

画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形.

教学过程：

一、新课引入：

我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法

来研究三角形的内切圆的画法及有关概念.

二、新课讲解：

在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图

问题：

例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切.

已知：Z\ABC.

求作：和AABC的三边都相切的圆.

让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△

ABC的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在NB的平分

线上，又要在/C的平分线上.那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任

何一边的垂线段长就是该圆的半径.

学生动手画，教师巡视.当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打

开计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要分步骤进行.然后学生按

左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆.这时学生在画钝角三角形的内切

圆时，可能出现与边相交或相离的情形，这很正常，教师要帮助学生加以纠正，

并最终指导学生完成下列问题：

1.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内

心，这个三角形叫做圆的外切三角形.

2.多边形的内切圆、圆的外切多边形：

和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边

形.

3.内心是什么的交点？

内心是三角形三个角的平分线的交点.

4.内心有什么数量特征？

内心到三角形各边的距离相等.

5.内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程.

关于三角形内切圆的有关概念，与三角形的外接圆类似，三角形的内切圆是直线

和圆的位置关系中的一个非常重要的位置.待学生理解了有关概念后，可在黑板

上采取对比的方式.如：

三角形的外接圆

三角形的内切圆

练习一，0是aABC的内心，则0A平分NBAC对不对？为什么？

练习二，0是4ABC的内心，ZBAC=100°,则N0AC=50°,对不对？

练习三，Z0AC=40°,则NB+/C等于多少度？

这是一组强化三角形内心性质的习题，逐题增加了灵活度，教学中也可就不同班

级选用.

三、课堂小结：

学生阅读教材后总结出本课的主要内容：

1.会作各种三角形的内切圆.

2.定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形.

3.内心是谁的交点：位置如何？它有什么位置关系？

四、布置作业