2023-2024学年重庆一中八年级（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆一中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列根式中，是最简二次根式的是(

)A.9 B.4 C.32.下列方程为一元二次方程的是(

)A.x2=1 B.x2+y=1

C.3.若一个菱形的周长是16，则它的边长是(

)A.23 B.3 C.34.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(

)A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形5.下列命题是真命题的是(

)A.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.既是矩形又是菱形的四边形不一定是正方形

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，F.若AD=3，EF=1，则AB的长为(

)A.4

B.5

C.6

D.77.我国古典数学文献《增删算法统宗⋅六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多.”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来.设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是(

)A.x+9=2yy+9=x B.C.x−9=2(y+9)y+9=x+9 D.8.关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，bA.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形9.如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED，延长BE交AD于点F，若∠DEB=α，则∠AFE的度数为(

)A.135°−α2

B.135°+α2

C.10.已知代数式xx+1，第一次操作将xx+1作为新的x代入xx+1中化简后得到新的式子记为F1=x2x+1，第二次操作将x2x+1作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为F2=x4x+1，第三次操作将x4x+1作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有(

)

①A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.因式分解：x2−3x=

．12.一元二次方程x2−2x−3=0的根是______．13.如图，已知l1：y1=2x+b，l2：y2=−114.已知方程2t2−t−4=0有两个不相等的实数根α、β，则1α+15.如图，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E为BC边中点，作BF⊥AD于点F连接OE，若S菱形ABCD=15，BF=3，则EO=______．16.若关于x的分式方程2xx−2+1=a2−x的解为非负整数，关于y的不等式组2(y−1)>y−5y+a2+2y−117.如图，在矩形ABCD中，点E为CD中点，连接BE，将四边形ABED沿着BE所在直线翻折至矩形ABCD所在平面内得到四边形A′BED′，延长EC交A′D′于点F，若A′F=3，EF=2FD′，则CF的长度为______．18.一个四位数若满足千位与十位的数字之和等于百位的2倍，其百位与个位的数字之和等于十位的2倍则称为“双运数”.已知M=abcd−为“双运数”，则2a+db的值______.将四位数M的千位与十位数字构成的两位数ac−记作P(M)，将这个四位数M的百位与个位数字构成的两位数bd−记作Q(M)，若5P(M)+3Q(M)满足被17除余3三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

计算：

(1)用公式法解一元二次方程：x2−x−1=0；

(2)分式化简：(1−20.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC>BC．

(1)求作AB边的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D，连接BD.(要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹)

(2)若AD=BC，求∠A的度数，请根据以下的思路完成下列填空．

解：∵AB=AC，

∴______(等边对等角)、

又∵DE是AB的垂直平分线．

∴______(中垂线的性质)、

∴∠A=∠DBA、

∵AD=BC．

∴______(等量代换)．

∴∠C=∠BDC．

∵∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，

∴∠C=∠ABC=2∠A．

∴∠A+∠C+______=5∠A=180°(三角形的内角和为180°)．

∴∠A=36°．

由上述证明可得：在等腰三角形(腰长大于底边长)中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为______度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”．21.(本小题10分)

科技文化月中重庆一中八年级进行了“解锁文脉传承，探秘数智文化”的班会活动，抽查到“星耀”班级并对结果进行统计分析，抽查题目如下：第一题是国风文化自信，第二题是趣味数学．(1)选出古人对月亮的雅称(    )(单选)

A.扶光

B.望舒

C.星汉

D.疏影

(2)一堆西瓜，一半的一半比一半的一半的一半多半个，请问这堆西瓜有(    )个(单选)

A.2

B.4

C.8

D.10(答对2道得10分，答对I题得5分，答错或者不答得0分)

抽查方式：将全班同学平均分成两组进行测试，并对两组同学作答的得分成绩整理.已知第二组测试的同学有5人得分为5分.其它分析数据如下表：组别平均数中位数众数方差得分率第一组6.6a1013.4484%第二组6.610b17.4476%

根据以上信息，解答下列问题：

(1)在这次抽查中，抽取的“星耀”班级学生一共有______人；直接写出上述表中a=______，b=______，并补全第一组测试成绩条形统计图；

(2)根据上述数据，你认为一组、二组中哪个小组同学掌握知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)该年级一共有14个班(每班按50人计算)参加了此次测试活动，由该班满分情况估计本年级共有多少人得满分(满分为10分)．22.(本小题10分)

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且CF=AE，连接EF，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M，连接DF．

(1)求∠DEF的度数；

(2)连接EM，当BE=12，CF=3时，求CM的长．23.(本小题10分)

如图，在等边△ABC中，AB=4cm，将线段AB绕点A顺时针旋转90度得到线段AD，过点D作AC的垂线交CA的延长线于点E，动点P以1cm/s的速度从点C出发，沿折线C→A→B运动，当它到点B时停止.连接PD，设点P运动的时间为x s，△ADP的面积为y1m2．

(1)请直接写出y1与x的函数关系式，注明x的取值范围；

(2)在x的取值范围内，画出y1的函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质；

(3)在m的取值范围内，当直线y2=−13x+m与24.(本小题10分)

重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．

(1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；

(2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”.由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m(m>0)元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元.求m的值．25.(本小题10分)

如图1，直线AB：y=34x+6与直线CDy=−12x+1交于点C，直线CD与y轴交于点E．

(1)求△BDE的周长；

(2)如图2，点K为直线CD上一动点，点T为x轴上一动点，连接BK，TK，若点K在第四象限，且S△KBD=23S△ACD，求KT+12AT的最小值及此时点T的坐标；

(3)如图3，将直线CD沿y轴向下平移使其经过点A得到直线AF，若点P、点Q在直线AB上运动(点P在点Q右侧)，点R在直线AF上运动，若以点P26.(本小题10分)

在△ABC中，点D在AB上，连接CD，若∠ADC=45°，∠ABC=2∠ACD，将AC绕着点A顺时针旋转α度得到线段AE．

(1)如图1，点E在线段AB上，若∠ABC=18°，求∠DCE的度数；

(2)如图2，点E在线段CD的延长线上，连接EA、EB，点F在BC上，连接AF，若∠EAB=∠CEB，CF=AB，求证：AE=322AF；

(3)如图3，若α=90°，∠ACD=15°，AE与BC段CE上一动点，连接OP，将△EOP沿OP所在直线翻折到△ABC所在平面内得到△MOP，连接MB，在△ABC所在平面内将点M绕着点B逆时针旋转90°得到点N，连接ON、BN，当ON取得最大值时，求S△BON

参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.A

10.C

11.x(x−3)

12.x1=3，13.x≥−1

14.−115.2.5

16.1

17.9−518.3，127b−39c=17m+3．

19.解：(1)∵a=1，b=−1，c=−1，

∴Δ=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，

则x=1±52，即x1=1+520.(1)如图所示：DE即为所求；

(2)∠ABC=∠C；AD=BD；BD=BC；∠ABC；36．

21.(1)第二组人数为：5÷20%=25(人)，

故抽取的“星耀”班级学生一共有：25×2=50(人)，

第一组5分人数为：25−12−4=9(人)，所以第一组的中位数为5分，即a=5；

第二组中10分出现的次数最多，故众数为10分，即b=10；

并补全第一组测试成绩条形统计图如下：

(2)第一组同学掌握知识较好，理由如下：

因为两个小组的平均数、众数都相同，但第一组的得分率比第二组高，方差比第二组小，所以第一组同学掌握知识较好(答案不唯一)；

(3)14×50×12+25×56%50=364(人)，

答：估计本年级大约共有36422.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴DA=DC=AB=BC，∠B=∠DAE=∠DCF=∠ADC=90°，

在△DCF和△DAE中，

DA=DC∠DAE=∠DCFAE=CF，

∴△DCF≌△DAE(SAS)，

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，

∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，

∴∠CDF+∠EDC=90°，

即∠EDF=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°；

(2)∵CF=3，CF=AE，

∴AE=3，

∵BE=12，

∴AB=AE+BE=3+12=15，

∴BC=AB=15，

∴BF=BC+CF=15+3=18，

由勾股定理得，EF=BE2+BF2=122+182=613，

∵△DEF是等腰直角三角形，DH⊥EF，

∴FH=12EF=1223.解：(1)当点P在CA上时，此时0≤x≤4，则AP=(4−x)cm，△APD边AP上的高DE=12AD=2cm，

∴S△APD=y1=12×(4−x)×2=4−x；

当点P在AB上时，此时4≤x≤8，则AP=(x−4)cm，△APD边AP上的高AD=4cm，

∴S△APD=y1=12×(x−4)×4=2x−8；

∴y1与x的函数关系式为y1=4−x 0≤x≤4)y1=2x−8(4≤x≤8)；

(2)当0≤x≤4时，y1=12×(4−x)×2=4−x；图象过(0,4)，(4,0)点，

当4≤x≤8时，y1=12×(x−4)×4=2x−8；图象过(4,0)，(8,8)点，

其图象如图所示：

(2)如图，直线y=−13x的图象(虚线)，

将直线y=−13x向上平移至过点(4,0)时，即−13×4+m=0，

解得m=43，24.解：(1)设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，

根据题意得：840x−8401.5x=20，

解得：x=14，

经检验，x=14是所列方程的解，且符合题意，

∴1.5x=1.5×14=21(元)．

答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；

(2)第一次购买大罗非的数量是840÷21=40(斤)．

根据题意得：14(80−40−2m)+(21−m)(40+2m)=1340，

整理得：m2+13m−30=0，

解得：m1=2，m225.解：(1)把x=0代入AB：y=34x+6得，y=6，

∴В(0,6)，

∴ВO=6，

把x=0代入CD：y=−12x+1得，y=1，

∴Е(0,1)，

∴ЕO=1，

把y=0入CD：y=−12x+1得，−12x+1=0，

解得：x=2，

∴D(2,0)，DO=2，

∴BE=BO−EO=6−1=5，

DЕ=ЕO2+DO2=12+22=5，

ВD=ВO2+DO2=62+22=210，

∴△BDE的周长=BE+DE+BD=5+5+210；

(2)如图，将x轴所在的直线绕点A逆时针旋转30°，过点T作旋转后的直线的垂线TH，垂足为H，过点K作KG⊥x轴于G，过点K作KI⊥y轴于I，

∴∠HAT=30°，∠AHT=∠KGT=90°，

∴HТ=12АТ，

∴КТ+12АТ=КТ+НТ，

∴如图，当点K、T、H在同一直线上时，KT+HT最小，即KT+12AT最小，

∴此时∠GTK=∠ATH=90°−30°=60°，

∴∠GKT=90°−60°=30°，

∴KT=2GT，GК=KT2−GT2=(2GT)2−GT2=3GТ，

∴GT=GK3，

∵直线AB：y=34x+6与直线CDy=−12x+1交于点C，

∴34x+6=−12x+1，

解得：x=−4，

则y=−12×(−4)+1=3，

∴C(−4,3)，△ACD的边AD上的高=3，

把y=0代入AB：y=34x+6，

得：34x+6=0，

解得：x=−8，

∴А(−8,0)，АO=8，

∵由(1)得：D(2,0)，DO=2，

∴AD=AO+DO=8+2=10，

∴S△ACD=12×10×3=15，

又S△KBD=23S△ACD′，

∴S△KBD=23×15=10，

∵点K为直线CD：y=−12x+1上一动点，点K在第四象限，

∴设K(a,−12a+1)，

∴ІК=GO=а，GК=ІO=−(−12а+1)=12а−1，

∴ВІ=ВO+ІO=6+12а−1=12а+5，

∵S△KBD=S△BIK−S△BDO−S梯形DKIO=10，

∴12BI⋅IK−12BO⋅DO−IO⋅(DO+IK)2=10，

∴12×(12а+5)⋅a−12×6×2−(12a−1)(2+a)2=10，

解得：a=6，

∴−12a+1=−12×6+1=−2，GO=6，

∴GK=−(−2)=2，

AG=AO+GO=8+6=14，

∴KT=2GT=2×233=433，АТ=АG−GТ=14−233，

∴HT=12AT=12×(14−233)=7−33，

∴KT+HT=433+7−33=7+3，ТO=GO−GТ=6−233，

∴KT+12AT的最小值为7+3，此时点T的坐标为(6−233,0)；

(3)如图，当ER为矩形EPRQ的对角线时，记对角线ER、PQ交于点J，

∴点J是ER的中点，PQ=ER，

∵将直线CD：y=−12x+1沿y轴向下平移使其经过点A得到直线AF，由(2)得A(−8,0)，AO=8，

∴当x=−8时，直线CD上的点纵坐标=−12×(−8)+1=5，

∴将直线CD向下平移的长度=5−0=5，

∴直线AF的解析式为y=−26.(1)解：∵∠ABC=2∠ACD=18°，

∴∠ACD=9°，

∵AC=AE，

∴∠ACE=∠AEC=∠ACD+∠DCE=9°+∠DCE，

∵∠ADC=∠DCE+∠AEC，

∴45°=2∠DCE+9°，

∴∠DCE=18°；

(2)证明：设∠ACE=x，