2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练【含答案】

7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练一、单项选择题1．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱锥C．正四棱柱 D．正六棱锥2．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为()A．24 B．6C．22 D．263．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为32m，侧棱长为5m，则其体积为()A．242m3 B．24m3C．722m3 D．72m34．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55m，高19m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为(参考数据：42582≈32.6，π≈3.1A．2480m2 B．2498m2C．2502m2 D．2508m25．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()A．10 B．15C．4 D．56．长方体的体对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为()A．2108 B．2C．29 D．7．在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝13PC，线段PB上的点N满足PN＝23PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的A．19 B．2C．13 D．8．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙A．5 B．22C．10 D．5二、多项选择题9．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V110．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，则()A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为33cm2C．该圆台的体积为73πD．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cm三、填空题11．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短为50cm，最长为80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2．12．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．13．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为()A．6423cm3 B．128C．25623cm3 D．51214．已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝2π3，若△PAB的面积等于A．π B．6πC．3π D．36π15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()A．圆锥的母线长为9B．圆锥的表面积为36πC．圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°D．圆锥的体积为122π16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为163cm2的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱形冰块的侧面积的最大值为________cm2.参考答案1．D[正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立；正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立；正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立．故选D.]2．B[由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S直观图S原图∴该三角形直观图的面积为24×34×23．B[如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接OP，则底面边长AB＝32(m)，对角线BD＝2AB＝6(m)，BO＝12BD又BP＝5(m)，故高OP＝BP故该正四棱锥的体积为V＝13×324．A[由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝192而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)，圆台的母线长为l＝1722+31.52＝42582≈32.6(m)，则S半球＝12×4×π×9.52＝180.5π(m2)，S圆柱侧S圆台侧≈π1+192×32.6＝342.3π(m2)，S圆台底所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2480(m2)．故选A.]5．D[大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积之和为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.]6．B[不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为a2+a2∵长方体的体对角线长为1，表面积为1，∴4ab+2∴长方体体积为a2b＝227故选B.]7．B[如图，因为PM＝13PC，PN＝23PB，所以S△PMNS△PBC＝12PM·PN·sin∠BPC12PC·PB·sin∠BPC＝PM·PNPC·PB＝13×23＝8．C[设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙＝πr1lπr2又2π则r1所以r1＝23l，r2＝13所以甲圆锥的高h1＝l2−49乙圆锥的高h2＝l2−19所以V甲V乙＝13π9．CD[设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝13×12×2×2×2＝43，V2＝13×12×2×2×1＝23.连接BD交AC于M，连接EM、FM(图略)，则FM＝3，EM＝6，EF＝3，故S△EMF＝12×3×6＝322，V3＝1310．BCD[如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝CD−AB2＝1(cm)，则BE＝22−12圆台的轴截面面积为12×(2＋4)×3＝33(cm2圆台的体积为13×3×(π＋4π＋π·4将圆台的一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2cm，则OC＝4cm，∠COD＝4π24＝π2，又OP＝OA＋AD2＝3(cm)，则CP＝411．2600π[将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝12×(π×40)×(50＋80)＝2600π(cm212．28[如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝13×313．C[依题意，要将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体ABCD的棱长为8cm，所以该正方体棱长为42cm，盲盒内剩余空间的体积为4×13×12×42×42×42＝14．B[在△AOB中，AO＝BO＝3，∠AOB＝2π3，由余弦定理得AB＝3+3−2×3×3×−12＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝12×3h＝934，解得h＝332，由勾股定理得母线PA＝15．AB[设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl＝3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的母线长为l＝9，A正确；圆锥的表面积3π×9＋π×32＝36π，B正确；圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，则6π＝9α，解得α＝2π3，即圆锥的高h＝l2−r2＝92−32＝62，所以圆锥的体积为V＝13πr2h＝13故选AB.]16．83π[设该圆锥的轴截面正三角形的边长为acm，由该圆锥轴截面的面积为163cm2，得12a2sin6