中考数学二轮复习-专题12 三角函数实际问题 解析版VIP

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题12——三角函数实际问题（重庆专用）1．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=900米，点B在点C的正西方向，且BC=3003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=600米，点D在点A的东北方向．（参考数据：2(1)求道路AD的长度（结果保留根号）；(2)若甲从A点出发沿A−D−E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B−A−E的路径去点E，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）【答案】(1)道路AD的长度约为6006(2)乙先到达点E【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出（2）利用（1）的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】（1）解：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，如图所示：由题意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=600∴AF=AB⋅cos60°=600×1BF=AB⋅sin60°=600×3∴CG=AF=300米，∵BC=3003∴CF=BF+BC=3003+3003∴AG=CF=6003在Rt△ADG中，∠DAG=90°−45°=45°∴AD=AGcos45°∴道路AD的长度约为6006（2）解：∵CE=900米，CG=300米，∴EG=CE−CG=600（米)，在Rt△AGE中，AG=600∴AE=AG2在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG⋅tan45°=6003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG−EG=6006乙的路程=AB+AE=600+1200=1800（米)，∵1908.6>1800，两人速度相同，∴乙先到达点E．2．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=600米，点B在点C的正西方向，且BC=2003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=400米，点D在点A的东北方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的长度(精确到个位)；(2)若甲从A点出发沿A—D—E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B—A—E的路径去点E，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)【答案】(1)980米；(2)甲的速度更快，快2.4米/分钟．【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用；（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△（2）利用（1）的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△【详解】（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，由题意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400∴AF=AB⋅cosBF=AB⋅sin∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∠DAG=90°−45°=45°∴AD=AG∴道路AD的长度约为980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE−CG=400（米），在Rt△AGE中，AG=400∴AE=A在Rt△ADG中，∠DAG=45°∴DG=AG⋅tan∴甲的路程=AD+DE=AD+DG−EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米），∵乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间=1200∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度=4006+400∴42.4−40=2.4（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．3．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为A→B→C→D，其中在BC段划船过河；乙队选择的线路为A→F→E→D，其中在FE段乘坐游船过河．已知四边形BCEF为矩形，A、B、C三点在同一直线上，AB长为600米，∠AFB=37°，CD⊥DE，∠CED=30°．(1)求D到CE的距离；（结果精确到个位）(2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为50m/min．已知甲队划船的速度为120m/min，乙队游船的速度为360m/min，若BC长为1800米，请通过计算说明哪一队先到达公园D？（参考数据：sin37°≈0.60，cos【答案】(1)346m(2)甲队先到达公园D【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，实数的混合运算，灵活运用锐角三角函数是解题关键．（1）过点D作DH⊥CE于点H，利用锐角三角函数，分别求得BF=CE=800m，DE=32CE=4003m，（2）由（1）可知AB=600m，AF=1000m，CD=400m【详解】（1）解：如图，过点D作DH⊥CE于点H，∵四边形BCEF为矩形，∴∠CBF=90°，BF=CE，BC=FE，∴∠ABF=90°，∵∠AFB=37°，AB=600m∴BF=ABtan37°∴CE=800m∵CD⊥DE，∠CED=30°，∴DE=cos30°⋅CE=3∵DH⊥CE，∴DH=sin即D到CE的距离346m（2）解：BC=1800m∴FE=1800m由（1）可知，AB=600m，AF=1000m，CD=400m∵甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为50m/min．甲队划船的速度为120m∴甲队所用时间=600÷50+1800÷120+400÷50=35min乙队所用时间=1000÷50+1800÷360+4003∵35<38.9，∴甲队先到达公园D．4．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东30°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，sin(1)求BC的距离（结果保留整数）；(2)由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿BC赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿DC前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西37°方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C．【答案】(1)BC的距离为77海里(2)维修船能在货船之前到达小岛C【分析】（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M，由题意可得MC=MB，设MC=MB=x，则MA=x+40，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可；（2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答．【详解】（1）过C作CM⊥AB交AB延长线于M，由题意得，AB=40×1=40海里，由题意得，在Rt△BCM中，∠CBM=45°∴MC=MB，设MC=MB=x，则MA=x+40，在Rt△ACM中，tan∴xx+40解得x=203∴MB=MC=20在Rt△MBC中，M∴BC=M（2）∵CM=20∴AH=CM=20∵AM∥∴∠1=∠CAM=30°，∴tan∠1=∴CH=3∵CH∥DN，∴∠2=∠NDC=37°，∴cos∠2=∴CD=CH货船从B到C用时：77÷30=77∵6分钟=1∴7730∴3715∵CD=75+253∴能在货船之前到达小岛C．【点睛】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．5．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知BC=102米，点A，B，C，D，E，F(1)求AB的距离；(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3【答案】(1)10(2)5.4米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；（1）过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和BG的长，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出（2）延长DE交AC于点H，根据题意可得：DC∥AG，DE⊥CD，从而可得∠CDH=90°，∠A=∠DCA=30°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DHC=60°，再根据垂直定义可得∠EFA=90°，从而在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH和EH的长，进而求出CH的长，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，在Rt△BCG中，BC=102米，∠CBG=45°∴CG=BC⋅sin45°=102×22=10(BG=BC⋅cos45°=102×22=10(在Rt△ACG中，∠CAG=30°∴AG=3CG=103(米)，∴AB=AG−BG=(103−10)米，∴AB的距离为(103−10)米；（2）延长DE交AC于点H，由题意得：DC∥AG，∴∠CDH=90°，∵DC∥AG，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠DHC=90°−∠DCA=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°，在Rt△EFH中，EF=3∴FH=EFtan60°=33EH=EFsin60°=33∵CF=16米，∴CH=CF+FH=(16+3)米，在Rt△CDH中，∠DCA=30°∴DH=12∴DE=DH−EH=8+32−23=8−3∴此时货车顶端E到水平线CD的距离DE约为5.4米．6．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的底座高AB=1米，大臂由BC和CD两部分构成，其中BC=3米，CD=4米，BC与CD的固定夹角，∠BCD=140°，此时测得大臂的前部BC与AB的夹角∠ABC=140°，小臂DE与地面AM的夹角∠DEA=45°．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，sin40°≈0.64(1)求点C到地面AM的距离．（结果精确到0.1米）(2)已知挖掘机A正前方10米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路段？（结果精确到0.1米）【答案】(1)3.3米(2)不是【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用，过点C，D分别作CF⊥AE，DM⊥AE，F，M分别为垂足，再过点B，C分别作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H为垂足，根据平行线得到∠BCF=40°，结合三角函数求解即可得到答案（2）本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质，根据正余弦得到DH、CH，再证出△DMC为等腰直角三角形即可得到答案；【详解】（1）解：过点C，D分别作CF⊥AE，DM⊥AE，F，M分别为垂足，再过点B，C分别作BN⊥CF，CH⊥DM，N，H为垂足，如图所示：∵AB⊥AE，CF⊥AE，∴AB∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°，∵∠ABC=140°，∴∠BCF=40°，在Rt△BCN中，cos∠BCF=CN∴BN=BC⋅sinCN=BC⋅cos∴CF=CN+NF=CN+AB≈2.31+1≈3.3（米），∴点C到地面AM的距离3.3米；（2）解：∵CF⊥AE，DM⊥AE，CH⊥DM，∴CF=MH，CH=FM，CH∥FM，∵∠BCD=140°，∠BCF=40°，∠FCH=90°，∴∠DCH=10°，在Rt△CHD中，CD=4sin∠DCH=DHCD∴CH=CD⋅cosDH=CD⋅sin∴DM=DH+HM=DH+CF≈0.68+3.3=3.98（米），∵∠DEA=45°，DM⊥AE，∴△DMC为等腰直角三角形，∴EM=DM≈3.98（米），∴AE=AF+FM+ME=BN+CH+DM≈1.92+3.92+3.98=9.82≈9.8（米），∵9.8<10，∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段．7．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西45°方向4002米处，点D在点E的正北方向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东30°方向，点C在点D的正东方向，且在点B的北偏西37°

(1)求EB的长度；（结果保留根号）(2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？（参考数据2≈1.41，3≈1.73，sin37°≈0.6，cos【答案】(1)400(2)应该选择线路②，理由见解析【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．(1)过点C做CH⊥BH交于点H，做AG⊥BE交于点G，然后利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数解题即可．(2)利用解直角三角形和线段之间的关系解题即可．【详解】（1）解：过点C作CH⊥BH交于点H，做AG⊥BE交于点G，如下图：

∵在等腰Rt△AEG中，AE=400∴EG=AG=A∵在Rt△ABG中，AG=400∴BG=AG⋅tan∴BE=BG+EG=400（2）根据题1的详解，则AB=AG在Rt△BHC中，BH=DE=200∴CH=BH⋅∴BC=C∴MC=DH−DM−CH=400+400线路①：AE+DE+DM=4002线路②：AB+BC+CM=800故线路②距离较短．8．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线．已知甲山上A点到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比为4:3，乙山上B点到河边D的距离BD=650米，从B处看A处的俯角为25°．（A、B、C、D在同一平面内，参考值：sin25°≈0.423,(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离；(2)求河CD的宽度（结果保留整数）．【答案】(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为520米(2)河CD的宽度约为468米【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，根据已知可设BE=4k米，则DE=3k米，然后在Rt△BDE（2）过点A作AF⊥BE，垂足为F，根据题意可得：AF=CE，AC=EF=120米，BG∥AF，从而可得∠ABG=∠BAF=25°，再利用（1）的结论可得BF=400米，然后在Rt△ABF【详解】（1）过点B作BE⊥CD，垂足为E，∵乙山BD的坡比为4：∴BEDE∴设BE=4k米，则DE=3k米，在Rt△BDE中，BD=∵BD=650米，∴5k=650，∴k=130，∴BE=520米，DE=390米，∴乙山B处到河边CD的垂直距离为520米；（2）如图：过点A作AF⊥BE，垂足为F，由题意得：AF=CE，AC=EF=120米，∴∠ABG=∠BAF=25°，∵BE=520米，∴BF=BE−EF=520−120=400（米），在Rt△ABF中，AF=∴CE=AF=858.4米，∴CD=CE−DE=858.4−390≈468（米），∴河CD的宽度约为468米．9．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上），小明在A点处测得山顶点C的仰角为37°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为260米的山坡BD到达点D，BD的坡度为2.4：1，然后沿水平观景步道DE走了450米到达点E，此时山顶C正好在点E距离900米且仰角30°处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、(1)求山顶C到AB的距离；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为50米/分，小红的爬山速度为58米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．【答案】(1)山顶C到AB的距离为450(2)小红先到山顶，理由见详解【分析】本题主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．（1）如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，由坡比可算出DF,EG,NH的值，在Rt△AEN中，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CN（2）根据行程问题的数量关系分别算出小明，小红的时间，进行比较即可．【详解】（1）解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F，过点E作MG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EN⊥CH于点N，根据题意可得，BD=260m，且BD的坡度为2.4：1∴在Rt△BDF中，B∴BF解得，BF=100m∴DF=2.4BF=240m根据题意可得，DF=EG=NH=240m∵点E的仰角为30°，即∠CEM=30°，∴∠CEN=60°，CE=900m∴在Rt△AEN中，∠ECN=30°∴EN=12CE=∴CH=CN+NH=450∴山顶C到AB的距离为4503（2）解：小红先到山顶，理由如下，根据题意可得，在Rt△ACH中，∠A=37°∴sin37°=∴AC=CH∵小明的爬山速度为50米/分，∴小明在A点处测得山顶点C的时间为：1675÷50=33.5（分钟），根据题意，BD+EC=260+900=1160m，小红的爬山速度为58∴小红上坡的时间为：1160÷58=20（分钟），∵DE=450m，小红的平路速度为90∴小红平路的时间为：450÷90=5（分钟），∴小红从B→C的时间为：20+5=25（分钟），∵25<33.5，∴小红先到山顶．10．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．(1)求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船在P处发生故障，在原地等待救援．一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（取材料的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A，P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向．请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，【答案】(1)(152(2)不能，理由见解析【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，利用含30度的直角三角形的性质求出BF，证明△BCF是等腰直角三角形，求出CF，利用勾股定理求出PF，得到CP，再分别算出两艘船分别到达点P的时间，根据差值判断即可．【详解】（1）解：过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=45°，BP=30∴DP=BP⋅sinBD=BP⋅cos在Rt△PAD中，∠PAD=90°−60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=(152∴小岛A，B之间的距离为(152（2）不能，理由是：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由题意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°−60°=30°，∴∠C=180°−∠ABC−∠PAD=45°，∴△BCF是等腰直角三角形，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=12AB=(∴CF=BF=15∴PF=B∴PC=CF+PF=156∴补给船到达P点所用时间为：CP30=救援船到达P点所用时间为：AB+BP45∵1.95−1.23×60=43.2∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；(2)求教学楼BC的高度（结果取整数）．（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80【答案】(1)60−30(2)24【分析】本题考查三角函数的实际应用．根据题意建立直角三角形是解题关键．（1）过点C作CF⊥DE，在Rt△ADE（2）在Rt△DCF中求出DF【详解】（1）解：过点C作CF⊥DE，如图所示：由题意得：CF=BE，BC=EF，AB=60m，DE=30m，∠DAE=30°，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=30∴AE=DE∴CF=BE=AB−AE=故：无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度是60−303（2）解：在Rt△DCF中，∠DCF=37°∴DF=CF×tan∴BC=EF=DE−DF=30−45−故：教学楼BC的高度为24m12．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）（1）如图1，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长（2）如图2，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF=2m

【答案】（1）窗户的高度AB为2m；（2）古塔的高度是15.6【分析】（1）由题意可得BN∥AM，根据平行线分线段成比例列式求出AC，然后可得窗户（2）证明四边形EFDG和四边形GDBH是矩形，可得BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，GH=DB=33m，然后证明△EGC∽△EHA【详解】（1）解：由题意可得BN∥根据平行线分线段成比例可得：CNCM=CB∴AC=3m∴AB=AC−BC=3−1=2m答：窗户的高度AB为2m（2）如图，CD与EH交于点G，

∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH∥∴∠EFD=∠FDG=∠DGE=∠HGD=∠GDB=∠DBH=90°，∴四边形EFDG和四边形GDBH是矩形，∴BH=DG=EF=1.6m，EG=DF=2m，∵竹杆顶端离地面2.4m，即CD=2.4∴CG=CD−DG=0.8m∵CD∥∴△EGC∽∴EGEH=CG解得AH=14m∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6m答：古塔的高度是15.6米．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023上·重庆·九年级字水中学校考期中）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．（参考数据：2≈1.414，7【答案】(1)265米(2)会影响，长度为100米，理由见解析【分析】（1）过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据方位角求得∠BAC=60°，解Rt△ABE,（2）根据题意，设BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．【详解】（1）如图，过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据题意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°，∴∠BAE=60°，Rt△ABE中，AB=200∴BE=AB⋅sin60°=200×3∵AC=300米，∴EC=AC−AE=200米，Rt△BCE中，BC=（2）会影响，长度为100米，理由如下，∵AB=200米，Rt△ABD中，BD=AB⋅∵141<150，∴该条航道被这片浅滩区域影响，根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，设BF=150米，Rt△BFD中，FD=根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键．14．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为30°，从点C沿坡度为1:3的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线CE(1)求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；(2)若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精确到0.01）．（注：sin67°≈0.92,【答案】(1)33(2)1.95米【分析】（1）过点F作FH⊥CE于H，可得四边形FHED是矩形，从而得到FH=DE，在Rt△CDE（2）根据CF的坡度为1:3，可得CH=3FH=9（米），从而得到EH=DF=18（米），在Rt【详解】（1）解：过点F作FH⊥CE于H，∵FD∥CE，∵FH∥DE,DF∥HE,∠FHE=90°，∴∠FHE=∠DEH=∠FDE=90°，∴四边形FHED是矩形，∴FH=DE，在Rt△CDE中，DE=CE⋅∴FH=DE=33答：点F到CE的距离为33（2）解：∵CF的坡度为1:3∴在Rt△FCH中，CH=在Rt△DCE中，∠DCE=30°∴CE=DE∴EH=DF=18（米），∵∠AFD=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD=DF=18米，在Rt△BCE中，BE=CE⋅∴AB=AD+DE−BE=18+33答：宣传牌AB的高度约为1.95米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．15．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD的空地，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB=2千米，CD=52千米．（参考数据：2≈1.414，

(1)如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）(2)该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费用是否充足？【答案】(1)需要19.3千米的防护栏(2)改造费用充足，计算见详解【分析】（1）过点D作BC的垂线段，交BC于点F，过点A作DF的垂线段，交DF于点E，根据题意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°−60°=30°，解直角三角形求出AD,BC的值，即可解答；（2）根据（1）求得数据，求出四边形ABCD的面积，即可解答．【详解】（1）解：如图，过点D作BC的垂线段，交BC于点F，过点A作DF的垂线段，交DF于点E，

据题意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°−60°=30°，∴sin∴FC=DF=2∵∠AEF=∠EFB=∠B=90°，∴四边形AEFB为矩形，∴EF=AB=2千米，∴DE=DF−EF=3千米，∴cos∴AD=DE∴BF=AE=1∴四边形ABCD的周长=AB+BF+FC+CD+DA=7+52答：需要19.3千米的防护栏；（2）解：四边形ABCD的面积=S∵18.562×20=371.24<380，∴判断改造费用充足．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练画出正确的辅助线是解题的关键．16．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．(1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73【答案】(1)观测站A、B之间的距离为102(2)补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于D点，可得∠BDP=∠ADP=90°，然后在Rt△PBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，DP的长，再在Rt△PAD中，利用锐角三角函数的定义求出（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意得：∠ABC=105°，∠PAD=30°，从而求出∠C=45°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】（1）解：过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP=∠ADP=90°，在Rt△PBD中，∠PBD=90°−45°=45°，BP=20∴DP=BP·sin45°=102在Rt△PAD中，∠PAD=90°−60°=30°∴AD=DP∴AB=BD+AD=10∴观测站A，B之间的距离为102（2）补给船能在82分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB=∠CFB=90°，由题意得：∠ABC=90°+15°=105°，∠PAD=90°−60°=30°，∴∠C=180°−∠ABC−∠PAD=45°，在Rt△ABF中，∠BAF=30°∴BF=1在Rt△BCF中，∠C=45°∴BC=BF∴补给船从B到C处的航行时间=10+10320∴补给船能在83分钟之内到达C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考期中）甲、乙两旅游爱好者从点B出发到点D，甲沿B−C−D的路线，乙沿B−A−D的路线．经测量，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西60°，点A在点B的正西方向，点D在点A的北偏东45°，AB=7000米，CD=20003

(1)求点D到直线BC的距离；(2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是6000米，当甲在点D，乙在点A时，乙能否收到甲的呼叫信号？请说明理由．（参考数据：2≈1.414，3【答案】(1)3000米(2)乙能收到甲的呼叫信号，理由见解析．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE（2）过点D作DF⊥AB于点F，在等腰直角三角形ADF中利用锐角三角函数或者勾股定理即可求出AD的长，比较即可解答．【详解】（1）如图，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

在Rt△CDE∵∠DCE=60°，CD=20003∴sin即sin60°=解得：DE=3000米∴点D到BC的距离为3000米；（2）乙能收到甲的呼叫信号，理由如下：过点D作DF⊥AB于点F，

∵四边形BEDF是矩形，∴BF=DE=3000米，∴AF=AB−BF=7000−3000=4000米，∵∠DAF=45°，∴在等腰直角△DAF中，AF=DF=4000米，sin∠DAF=即sin45°=解得：AD=20002∵5656<6000，5656<6000，∴乙能收到甲的呼叫信号．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．（2023上·重庆·九年级重庆八中校考期中）如图，在河流EF两边有甲、乙两座山，现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线，已知甲山AF与地面CD的夹角∠AFC=60°，乙山BE的坡比为1:1，甲山上A点的高度AC=600米，从A处看B处的俯角为15°．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.414，(1)若AB之间电线的长度为900米，求河宽EF的长度：（结果精确到1米）(2)若在河边点F处有一个信号接收站，信号站附近480米内有电流会影响信号接收，请问电线安装完成后，是否会影响信号接收站的正常工作，并说明理由．【答案】(1)161米(2)不会影响信号接收站的正常工作，理由见解析【分析】（1）根据三角函数及矩形的性质得出CF=2003，DH=600，确定BH=234，AH=873，再由坡度确定DE=BD=366（2）过F作FG⊥AB于点E，连接FB，利用三角形等面积法求解即可．【详解】（1）：根据题意得四边形ACDH为矩形，∵∠AFC=60°，AC=600，∴CF=ACtan60°∵AB=900，∠HAB=15°，∴BH=sin15°⋅AB=234，∴BD=600−234=366，CD=AH=873，∵乙山BE的坡比为1:1，∴DE=BD=366，∴EF=873−366−2003（2）解：过F作FG⊥AB于点E，∵AH∥BC，∠AFC=60°，∴∠FAH=∠AFC=60°．∵∠BAH=15°，∴∠BAF=∠FAH−∠BAH=45°．在Rt△ACF中，tan∴CF=AC∴AF=2CF=4003在Rt△AGF中，sin∴FG=AFsin45°=4003×2∴不会影响信号接收站的正常工作．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车从B出发，沿BC行驶15003−1500米到达D处，此时D在A的西南方向．（参考数据：2≈1.414(1)求CD的距离；（结果保留根号）(2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路正在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数）【答案】(1)1500+5003(2)原计划所用时间较少，理由见解析【分析】（1）过点A，作AE⊥BC于点E，根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，求得BD=3−1AE，进而得出AE=1500（2）根据题意，求得AD+AC，然后根据路程除以速度，比较两段时间，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点A，作AE⊥BC于点E，根据题意可得∠DAE=45°,∠ABE=30°,∠ACE=60°，在Rt△ABE中，BE=在Rt△ADE中，AE=DE在Rt△AEC中，EC=∵BD=BE−DE=33−1∴AE=1500，∴CD=DE+EC=AE+3（2）解：DA+AC=2=15002D→C行驶所需时间为：1500+5003沿D→A→C绕道行驶所需时间为：15002∵7.7>5.9，∴原计划所用时间较少．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，构造直角三角形是解题的关键．20．（2022上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）为了充分利用教室里的书架，培养同学们养成收集和整理的好习惯，张老师为每个学习小组购买了同一规格的矩形资料盒．如图所示，右边10个资料盒沿书架内侧依次竖直放置，最左边一个资料盒自然斜放，A、D、E分别是资料盒与书架内侧、书架底面、另一资料盒侧面的接触点（A、B、C、D，E，F、H在同一平面内）．已知书架内侧长BC=90cm，资料盒AD=EF=18

(1)求△ABD的周长；（结果精确到十分位）(2)若每4人组成一个学习小组，张老师班上共有56人，请问该书架能放下全班的资料盒吗？【答案】(1)73.8(2)该书架能放下全班的资料盒【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可得AB=12AD=9（2）设每个资料盒厚xcm，则DE=xcm，证出∠DEH=∠ADB=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得DH=12DE=【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠BDA=30°，AD=18∴AB=12AD=9∴△ABD的周长=AB+AD+BD=93（2）解：设每个资料盒厚xcm，则DE=x∵∠EDH+∠DEH=90°，∠EDH+∠ADB=90°，∴∠DEH=∠ADB=30°，∴DH=1由图可得：BD+DH+CH=BC，∴27+1解得：x=6，∴每个资料盒厚6cm∵56÷4=14，∴14×6=84<90，∴该书架能放下全班的资料盒．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．21．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°，他从点A出发，沿AC爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为4003米的山坡BD到达点D，BD的坡度为3:1，然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡EC到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：2≈1.414(1)求山顶C到AB的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡BD、山坡EC段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．【答案】(1)山顶C到AB的距离约为1873米(2)小红先到达山顶C处，理由见解析【分析】（1）过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．由BD的坡度为3:1，得到∠B=60°，在Rt△DBH和Rt△ECK中，利用特殊三角函数值分别求出DH（2）在Rt△ACM中，∠CAM=30°，得到AC=2CM=1200+1800【详解】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，交DE延长线于点K．由题意得，DH=KM，CK⊥EK，∵BD的坡度为3:1∴∠B=60在Rt△DBH中，sinB=DH∴DH=BD⋅sin在Rt△ECK中，∠CEK=45°，EC=1800∴CK=sin∴CM=KM+CK=DH+CK=600+9002答：山顶C到AB的距离约为1873米．（2）解：小红先到达山顶C处，理由如下：由题意得，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴AC=2CM=1200+18002∴小明到达山顶所需时间为：1200+1800270≈53.5∵53.5>51.5，∴小红先到达山顶C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）某城区正在创建文明城市，政府在一块形如Rt△ABC的草坪旁边修建一条四边形人行跑道BCED．如图，点A、B、D在同一直线上，∠BAC=90°，点C在点A的正东方向200米处，点E在点C的正北方向，BD长为180米，点B在点C的北偏西45°方向，点D在点E

(1)求跑道DE的长度；(2)点D处有一个自动售货机，小才从点C出发沿人行跑道去自动售货机买水，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明小才走哪条路较近．（结果精确到个位）（参考数据：sin53°≈0.80,【答案】(1)300米(2)见解析【分析】（1）由三角函数求出DE即可．（2）由点B在点C的北偏西45°方向，可得到Rt△ABC是等腰三角形，即可求出BC的值，可求出总路程，由（1）可知DE【详解】（1）解：由题意知BE=AC=200，∵点D在点E的北偏西53°方向，∴∠BDE=53°，cos53°=解得DE=300．（2）解：∵点B在点C的北偏西45°方向，∴Rt△ABC∴AC=AB=200，∴BC=A∵2∴BC=282，故从点C出发沿人行跑道去自动售货机买水，可以经点B到达点D的路程=BC+DB=462，经点E到达点D的路程=EC+ED=200+300=500，∵462<500，故从点C出发沿人行跑道去自动售货机买水，可以经点B到达点D比较近．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用中的方向角问题是解题的关键．23．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）五一假期期间，小育和小才约定一同去某公园游玩，如图，该公园有A、B两个门．经测量，东门A在西门B的正东方向，AB＝400米．小育自公园东门A处出发，沿北偏西45°方向前往游乐场D处；小才自西门B处出发，沿正北方向行走一段距离到达C处后，然后沿北偏东60°方向行走200米到达游乐场

(1)求公园东门A与游乐场D之间的距离（结果保留根号）；(2)若小育和小才两人分别从A，B两门同时出发，假设两人前往游乐场D的速度相同．请计算说明小育和小才谁先到达游乐场D？（参考数据：2≈1.4，3【答案】(1)4002(2)小育先到达游乐场，理由见解析；【分析】（1）根据矩形的性质及锐角三角函数即可解答；（2）根据等腰直角三角形及矩形的性质即可解答．【详解】（1）解：过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CE⊥DH于点E，∵∠CBH=90°，∴四边形CEHB是矩形，∵CD=200米，∠DCE=30°，∠DAH=45°，∴CE=cos∠DCE⋅CD=1003∴CE=BH=1003∵AB=400米，∴AH=AB−BH=400−1003∴AD=AH即公园东门A与游乐场D之间的距离4002（2）解：∵∠DAH=45°，AH=AB−BH=400−100∴AH=DH=400−100∴BC=HE=DH−DE=400−1003∴BC+CD=300−1003∵AD=4002∴AD<BC+CD，∴小育先到达游乐场，【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，锐角三角函数，掌握锐角三角形函数是解题的关键．24．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）某长500米的水库大坝的横截面是的四边形ABCD，坝顶CD与坝底BA平行，已知坝高24米，背水坡AD的坡度i=1:0.5．为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即DF=6米），∠AEF=60°．（参考数据：3≈1.732

(1)求坝底加宽的宽度AE；（保留根号）(2)据相关部门统计，现有填筑土石方83130立方米，请问是否足够加固大坝所需？【答案】(1)8(2)现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需【分析】（1）过点F作FH∥DA交BE于点H，过点F作FG⊥AB于点G，则FG=24m，证明四边形DAHF是平行四边形，可得DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB，从而可得tan∠FHA=tan∠DAB=2，由题意可得，tan（2）过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得，DM=24m，tan∠DAB=2，解直角三角形求得AM=12m，从而求得ME=83+6m【详解】（1）解：过点F作FH∥DA交BE于点H，过点F作FG⊥AB于点则FG=24m∵FH∥DA，∴四边形DAHF是平行四边形，∴DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB由题意可得，tan∠FHA=tan∠DAB=在Rt△FGH中，tan∠FHA=FG∴GH=12m在Rt△FGE中，tan∴GE=83∴HE=GE−GH=8∴AE=AH+HE=6+83

（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，由题意可得，DM=24m，tan在Rt△DMA中，tan∴AM=12m∴ME=AM+AE=12+83∴S四边形∴加固大坝的体积为963答：现有填筑土石方83130立方米，不够加固大坝所需．

【点睛】本题考查解直角三角形、平行四边形的判定与性质，理解题意，正确构造直角三角形是解题的关键．25．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且BD=400米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，

(1)求CD的长度（精确到个位）；(2)已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？【答案】(1)CD≈446米；(2)应选择乘坐观光车．【分析】（1）作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，推出四边形MBNC是矩形，得到CM=BN，CN=MB，求出BN=12BD=12×400=200（米），由锐角的正切定义求出（2）分别求出乘坐空中缆车，观光车所用的时间，即可判断．【详解】（1）解：作CM⊥AB于M，BN⊥CD于N，

∵AB∥∴四边形MBNC是矩形，∴CM=BN，∵∠DBN=60°，∴BN=1∵tan∠NBD=∴DN=2003∵∠CAM=45°，∴△AMC是等腰直角三角形，∴AM=CM=200（米），∴MB=AB−AM=100（米），∴CD=CN+ND=100+2003（2）解：由勾股定理得到BC=M∴BC+BD=400+1005∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200=2.23（分钟），∴应选择乘坐观光车．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题．26．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．一艘货轮由西向东航行，开始在A岛西偏南30.96°的B处，即∠ABD＝30.96°，往东行驶10海里后到达该岛西南方向的C处，即∠ACD＝45°．货轮继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin30.96≈0.51，cos30.96°≈0.86，【答案】没有触礁危险【分析】设AD＝x海里，通过解直角三角形求出BD、CD，再根据BC＝BD－CD，得到53x－x＝10，解方程即可求出AD【详解】解：设AD＝x海里．在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝xtan30.96在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan∵BC＝BD－CD，∴53x－x＝10．解得，x∴AD=15＞10．答：货轮继续向东航行没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意得到方程53x－x27．（重庆市云阳县第一初级中学教育集团2022-2023学年九年级下学期期中数学试题）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=600米，点B在点C的正西方向，且BC=2003米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=400米，点D在点A的东北方向．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732(1)求道路AD的长度（精确到个位）；(2)若甲从A点出发沿A−D−E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B−A−E的路径去点E，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）【答案】(1)AD的长度为980米(2)甲比乙快，快2.4米/分钟【分析】（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△（2）利用（1）的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△【详解】（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，由题意得：AF=CG，AG=CF，在Rt△AFB中，∠BAF=60°，∴AF=AB⋅cos60°=400×1BF=AB⋅sin60°=400×3∴CG=AF=200米，∵BC=2003∴CF=BF+BC=2003+2003∴AG=CF=4003在Rt△ADG中，∴AD=AGcos45°∴道路AD的长度约为980米；（2）∵CE=600米，CG=200米，∴EG=CE−CG=400（米)，在Rt△AGE中，∴AE=AG2在Rt△ADG中，∴DG=AG⋅tan45°=4003∴甲的路程=AD+DE=AD+DG−EG=(4006乙的路程=AB+AE=400+800=1200（米)，∵乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间=1200∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度=4006+400∴42.4−40=2.4（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．28．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）小明去旅游，在某地有A，B，C，D，4个景点．如图，C在A的东北方向，C和D分别在B的北偏东30°和北偏东75°处，C在D的西北方向，B在A的正东方向600米处．

(1)求BC的长度（结果保留根号）；(2)由于参观D处的人较少，景点负责人决定分别从C、B处修建一条笔直的小路，为人们参观D提供方便．现有甲乙两个工程队，已知甲工程队的工作效率为50米/天，甲修建好CD的同时，乙工程队刚好修建好BD，请求出乙工程队的工作效率．（结果精确到个位）（参考数据：3=1.732【答案】(1)BC的长度为(6003(2)乙工程队的工作效率约为68米/天【分析】（1）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE=x，表示出CE，BC，AE，根据AB=600求出x，即可得到BC；（2）过点C作CF⊥BD，交BD于点F，设DF=a，表示出相应线段，根据BC=6003+600求出a值，得到CD，【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，由题知：∠CAB=45°，∠CBE=60°，设BE=x，在Rt△BCE中，∠CBE=60°∴CE=3BE=3在Rt△ACE中，∠CAB=45°∴AE=CE=3∴AB=AE−BE=3∴x=3003∴BC=2x=6003答：BC的长度为(6003（2）过点C作CF⊥BD，交BD于点F，由题知：∠CBD=45°，∠CDB=60°，设DF=a，在Rt△CDF中，∠CDF=60°∴CF=3DF=3在Rt△BCF中，∠CBF=45°∴BF=CF=3a，∴a=3002∴DC=2a=6002+2006∵甲修CD，乙修BD，且同时修好，∴DCv甲=∴v乙答：乙工程队的工作效率约为68米/天．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是仔细分析，将角的度数转化为特殊三角形的性质．29．（2023年重庆市第一中学中考三模数学试题）五一节日到来，重庆又一次成为全国火热城市，小明和小亮两人相约去观赏洪崖洞夜景，小明从A地出发，小亮从B地出发，相约到C地观景．在A处测得C在A的北偏东45°方向上，在B处测得C在B的正北方向上，且B在A的北偏东75°方向上．小明小亮同时分别从A、B两地出发，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方向慢跑，小亮沿着北偏西60°以150m/min的速度跑了2分钟到达D（参考数据：3≈1.73，

(1)求AB的长度（结果保留根号）；(2)他们在D处汇合的时间恰好为18：58，若他们汇合之后立即沿DC方向同行的速度为200m/min（汇合时间忽略不计）则他们能在19：00【答案】(1)1502+150(2)能，理由见解析【分析】（1）如图所示，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据题意得出∠CAE=45°,∠DAB=75°−45°=30°，∠BAE=90°−75°=15°，∠DBF=45°，得出BF=DF=22DB=1502m，在Rt△DAF（2）如图所示，过点D作DG⊥CE于点G，得出CD=2DG，Rt△BDG中，得出DG=1503，进而求得CD的长，依题意，【详解】（1）解：如图所示，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，

∵在A的北偏东45°方向上，在B处测得C在B的正北方向上，且B在A的北偏东75°方向上．∴∠CAE=45°,∠DAB=75°−45°=30°，∠BAE=90°−75°=15°，在Rt△ABE中，∠ABE=90°−∠BAE=90°−15°=75°∵小亮从B地出发，小亮沿着北偏西60°以150m/min的速度跑了∴BD=150×2=300m，∠CBD=60°，∴∠DBF=45°，∴BF=DF=22DB=150在Rt△DAF中，AF=∴AB=AF+FB=1502+150（2）解：如图所示，过点D作DG⊥CE于点G，

∵∠EAC=45°，∠E=90°，∴∠C=45°，∴CD=2∵Rt△BDG中，∴CD=2DG=1506∵200×2=400>367.5，∴他们能在19：00之前到达C地．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．30．（2023年重庆市渝中区巴蜀中学校中考三模数学试题）如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．

(1)求B、D两地的距离；（结果精确到0.1m(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数据：2≈1.414,【答案】(1)B、D两地的距离为339.4(2)公园管理部门采购的380米数据线够用【分析】（1）过点B作BP⊥AD于点P，在Rt△ABP中，解直角三角形求出BP，根据含30度直角三角形的性质即可求出BD（2）过点B作BM⊥CD于点M，在Rt△BDN和Rt△BCM中，根据三角函数的定义求出BD，BM，DM，CM，继而求出【详解】（1）解：过点B作BP⊥AD于点P，

由题意知∠BAD=45°，∠CBD=75°，∴∠ADB=30°，∠ABP=45°=∠A，∴BD=2BP，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=AB∴BD=2BP=2402答：B、D两地的距离约为339.4m；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M，

由（1）得BD=2BP=2402∵∠CDB=180°−60°−75°=45°，∠CBD=75°，∠DCB=60°，∴∠DBM=45°=∠CDB，∴BM=DM，在Rt△BDN中，BD=2402，∴BM=DM=BD⋅sin在Rt△BCM中，∠CBM=75°−45°=30°∴CM=BM⋅tan∴DC=DM+CM=240+803∵380>378.56，答：公园管理部门采购的380米数据线够用．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．31．（2023年重庆实验外国语学校中考三模数学试题）五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点B处前往登机口点A处登机．已知点A位于点B东北方向且AB=100米．点B的正东方向有另一入口点C，商店D位于点C的正北方向，同时位于点A的南偏东60°，AD=40米．

(1)求两个入口BC的距离；（结果保留根号）(2)妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店D处逛逛，他们沿B→C→D→A路线行走，步行速度为60米/分，在商店D处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：2≈1.41，3【答案】(1)502(2)能【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，则四边形CDFE是矩形，CE=DF，解Rt△AEB、Rt△AFD求得BE、（2）通过解Rt△AEB，Rt△AFD求得AE、AF，进而求得CD，根据“时间=路程【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，

∴四边形CDFE是矩形，∴CE=DF，∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴BE=cos∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴DF=sin∴BC=BE+CE=502答：两个入口BC的距离为502（2）解：∵在Rt△AFD中，AD=40，∠FAD=60°∴AF=cos∵在Rt△AEB中，AB=100，∠ABE=45°∴AE=sin∵四边形CDFE是矩形，∴CD=EF=AE−EF=70.5−20=50.5（米），∴BC+CD+DA=502∵195.6÷60+25=28.26<30，∴妈妈和小明可以能准时登机．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．32．（2023年重庆市南开中学校中考二模数学试题）想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营，如图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B，再沿北偏东60°方向行驶到营地C．由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C．已知AD=60千米，CD=90千米．（参考数据：2≈1.41,

(1)求BC的长度（结果保留根号）；(2)欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时．已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷．【答案】(1)BC的长度为602(2)欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷【分析】（1）过D作DN⊥AB于点N，作BM⊥CD于点M，解Rt△ADN求出DN=302千米，再证明四边形DNBM为矩形，得出BM=DN=302（2）分别求出两人所需时间，再进行比较即可得出结论．【详解】（1）过D作DN⊥AB于点N，作BM⊥CD于点M，如图，

由题得：∠DAN=45°,∠CBM=60°,AD=60千米，在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴DN=ADsin∵∠DNB=∠NBM=∠BMD=90°，∴四边形DNBM为矩形，∴BM=DN=302在Rt△CBM中，∠BMC=90°,BC=答：BC的长度为602（2）在Rt△CBM中，∠BMC=90°CM=BCsin∵CD=90千米，∴DM=CD−CM=90−30∵四边形DNBM是矩形，∴BN=DM=90−30在Rt△ADN中，∠DNA=90°∴AN=ADcos∴AB=AN+BN=90−30∴AB+BC=90−30∴t欢∵AD+CD=60+90=150千米∴t乐∴t∴欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，从题目中提取数学模型是解题关键．33．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模数学试题）“轻轨飞梭幻影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各她的游客，而李子坝的“轻轨穿楼”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN．

(1)求观景平台MN的长；（结果保留根号）(2)小青在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度．（结果精确到0.1米，2≈1.414，3【答案】(1)观景台MN的长为153(2)轻轨所穿楼栋AB的高度为35.7米【分析】（1）由题意可得：∠ECD=30°，∠DNF=45°，CM=12，CD=42，则DM=CD−CM=30，延长MN交DE于点F，在（2）过点M作MH⊥AE于点H，MG⊥AB于点G，则四边形AGMH为矩形，从而可得到AG=MH=6，MG=AH=AC+CH=30+63，则NG=MG+MN，在Rt△BNG中，【详解】（1）解：由题意可得：∠ECD=30°，∴DM=CD−CM=30，延长MN交DE于点F，

，∵MN∥CE，∴∠DMF=30°，在Rt△DMF中，∠DMF=30°∴DF=1在Rt△DNF中，∠DNF=45°∴FN=DF=15，∴MN=FM−FN=153答：观景台MN的长为153（2）解：在Rt△MCH中，∠MCH=30°∴MH=12CM=6过点M作MH⊥AE于点H，MG⊥AB于点G，如图所示，

，则四边形AGMH为矩形，∴AG=MH=6，∴NG=MG+MN=30+63在Rt△BNG中，∠BNG=30°∴BG=NG⋅tan∴AB=BG+AG=53答：轻轨所穿楼栋AB的高度为35.7米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，正确的进行计算是解题的关键．34．（2023年重庆市巴蜀中学校中考二模数学试题）五一节期间，小墩和小融相约去动物园A游玩，小融家C在小墩家B正北方向，动物园A在小墩家B的北偏西30°方向上、在小融家C的北偏西75°方向上，已知小墩家B与小融家C距离为1600米．

(1)求动物园A与小墩家B距离为多少米？（结果保留根号）(2)在小墩家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，小墩到动物园A可以走路线1：B→C→A，也可以走路线2；B→D→M→A，请经过计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：3=1.73，2【答案】(1)800+8003(2)走路线2：B→D→M→A较近【分析】（1）过点C作CN⊥AB于N，根据三角形外角的性质得∠A=45°，则AN=CN，在Rt△BNC中求出CN和BN（2）根据AB的值确定BN的值，解直角三角形求出BD、DM，分别求出路线B→C→A，路线B→D→M→A，比较即可得出答案．【详解】（1）过点C作CN⊥AB于N，

∵∠ABC=30°∴∠A=75°−30°=45°∴CN=BC·BN=BC⋅∵∠A=45°，CN⊥AB∴AN=CN=800m，∴AB=AN+BN=800+800答：动物园A与小融家C距离为800+8003（2）∵M为AB的中点∴AM=BM=400+400∵BC∴∠BMD=∠ABC=30°∵∠D=90°∴BD=DM=∵AN=CN=800m，∴AC=∴路线1：B→C→A为BC+AC=800路线2：B→D→M→A为BD+DM+AM=1200+800∵2584<2728∴走路线2：B→D→M→A较近．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰直角三角形的判定和三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握方向角定义．35．