中考数学二轮复习-专题06 阅读材料（填空题）解析版

二轮复习2023-2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题06——阅读材料（填空题）（重庆专用）1．（2023上·重庆铜梁·九年级重庆市巴川中学校校考期末）两位数p和两位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为Fp,q，例如：F（1）F12,34的值为（2）若一个两位数m=31x+y，两位数n=42+y（1≤x≤3，1≤y≤6，x，y是整数），交换两位数m的十位数字和个位数字得到新数m′，当m′与n的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“幸福数对”，则所有“幸福数对”中Fm,n【答案】74304【分析】本题考查新定义，（1）根据给定的规则即可求出；（2）根据给定的条件求出x和y的值，可以找出两对“幸福数对”，然后分别求出Fm,n通过给定的条件求出x和y的值是解题的关键．【详解】解：（1）F12,34故答案为：74；（2）根据题意可得：m=31x+y=30x+x+y，n=42+y=40+∴数m的个位上为x+y，十位上为3x；数n的个位上为2+y，十位上为5，∴m′∵m和n为“幸福数对”，∴13x+10y+32+y=13x+13y+6能被∴13x+13y+611∵1≤x≤3，1≤y≤6，x，y是整数，∴10≤2x+2y+6≤24，①当2x+2y+6=11时，x+y=2.5，不合题意舍去，②当2x+2y+6=22时，x+y=8，∴x=2，y=6或x=3，y=5，当x=2，y=6时，m=31x+y=68，n=42+y=48，此时：Fm,n当x=3，y=5时，m=31x+y=98，42+y=47，此时：Fm,n∵304<362，∴Fm,n的最小值为304故答案为：304．2．（2024上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定FM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，GM等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果FM=60，那么M各数位上的数字之和为；有一个四位正整数N=1101+1000x+10y+z(0≤x≤8，0≤y≤9，0≤z≤8，且为整数)是一个“共进退数”，且FN【答案】151125【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解不等式组等知识，由四位正整数M为“共进退数”推出2a+c=b+d，由FM=60推出10a+c+b+d=60，从而解得a+c=5，b+d=2a+c=10，继而得解；由N=1101+1000x+10y+z=1000x+1+100×1+10y+z+1推出N的各位数字，继而表示出FN与GN，由N是一个“共进退数”推出z=2x+2y【详解】解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则M=1000a+100b+10c+d，∵四位正整数M为“共进退数”，∴2a+c又∵FM∴10a+b+10c+d=60∴10a+c∴a+c=5，∴b+d=2a+c∴a+b+c+d=15，即M各数位上的数字之和为15．∵N=1101即N的千位数字是x+1，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是z+1，∴FNGN又∵N是一个“共进退数”，∴2x+1化简得：z=2x+2y，∴FN∵0≤z≤8，z=2x+2y，∴0≤2x+2y≤8，∴0≤x+y≤3，1≤x+y+1≤4，又∵FN是一个平方数，F∴x+y+1=3，即x+y=2，∴z=2x+2y=4，y=2−x∵0≤x≤8，0≤y≤9，∴0≤x≤8，0≤2−x≤9，解得：0≤x≤2，∴GN∴GN又∵GN∴x是7的倍数，∴x=0，y=2−x=2，∴N=1000x+1故答案为：15；1125．3．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=a+b+c+d,G(M)=a−4b+4c−d2c−5．若P(M)15为整数，G(M)是4的倍数，则b+c=；所有满足条件的M【答案】58082【分析】根据定义得到P(M)=3(b+c)，进一步得到b+c=5；a+d=10，G(M)=2a−102c−5+4，则2a−10是4的倍数，a=1,59，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出b+c=5【详解】∵a+d=2(b+c)，∴P(M)=a+b+c+d=3(b+c)，∴P(M)∴b+c=5；a+d=10，G(M)=a−4b+4c−d2c−5=∴2a−10是4的倍数，∴a=1,5或9a=1时，M取到最小值，d=9,2a−10=−8∴2c−5=±1,c=3或2，∴M的最小值为1239a=9时，M取到最大值，d=1,2a−10=8∴2c−5=±1，c=3∴M的最大值为9321；∴差为8082，故答案为：5，80824．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）各数位上的数字均不相等的两位数称为好数，s,t是由两个好数组成的有序数对，将s的各位数字中最大的数作为千位数字，将t的各位数字中最小的数作为百位数字，将s的各位数字中最小的数作为十位数字，将t的各位数字中最大的数作为个位数字，这样构成了一个新的四位数M，称为s,t的衍生数，若此时M=1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，1≤d≤9），记FM=2a+b+c−2d．则47,50的衍生数为；若p,12的衍生数为P，98,q的衍生数为Q，其中p=10x+2，q=30+y（x、y为整数，1≤x≤9，4≤y≤8，x≠y），且FP−F【答案】7045129【分析】第一空：根据“好数”、“衍生数”的定义，得到47,50的衍生数为7045；第二空：根据有序数对p,12，p=10x+2，1≤x≤9，得到当1≤x<2时，x=1，有序数对为12,12，其衍生数P=2112，得到FP=2；有序数对98,q，q=30+y，4≤y≤8，有序数对为98,30+y，衍生数为Q=9380+y，得到FQ=29−2y，根据FP−FQ=2，得到2−29−2y=2，解得y=292，不合；当2<x≤9时，有序数对为10x+2,12，其衍生数P=1000x+122，得到2x−1−29−2y=2，解得x+y=16，得到7≤y≤8，本题主要考查了新定义“好数”，“有序数对的衍生数”，“FM【详解】第一空：47,50的衍生数为，1000×7+100×0+10×4+5=7045；故答案为：7045；第二空：∵有序数对p,12中p=10x+2，∴10x+2,12，∵1≤x≤9，∴当1≤x<2时，x=1，有序数对为12,12，∴P=2000+100+10+2=2112，∴FP∵有序数对98,q中q=30+y，4≤y≤8，∴98,30+y，∴Q=9000+300+80+y=9380+y，∴FQ∵FP∴2−29−2y∴y=29当2<x≤9时，有序数对为，10x+2,12，衍生数为，P=1000x+100+20+2=1000x+122，∴FP∵4≤y≤8，∴有序数对98,30+y的衍生数仍为Q=9380+y，FQ∴2x−1−29−2y∴x+y=16，∴7≤y≤8，8≤x≤9，∵x≠y，∴x=9，y=7，∴p=10×9+2=92，q=30+7=37，∴p+q=129，综上，p+q=129．故答案为：129．5．（2023上·重庆·九年级重庆市松树桥中学校校考期中）一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N>0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”．例如：M=47，N=2×42−72=15>0，则47的“叠加数”为4715；M=26，N=2×22−62=−20<0，则26没有“叠加数”．那么34的“叠加数”是．若两位数M=10a+b（1≤a≤5，【答案】34205484【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据题意可得当M=34时，N=20>0，则34的“叠加数”是3420；当M=10a+b时，则N=4a2−b2，可得12a−M−N=2a−b1−2a−b，再推出−2≤2a−b≤9，−1≤1−2a−b≤−13，由a、b都是整数，得到2a−b，1−2a−b都是整数，再由12a−M−N能被13整除，得到1−2a−b=−13，则b=14−2a，再由1≤b≤4，即可求出a=5【详解】解：当M=34时，N=2×3∴34的“叠加数”是3420；当M=10a+b时，则N=2a∴12a−M−N=12a−10a−b−4=2a−b−==2a−b∵1≤a≤5，1≤b≤4，∴−2≤2a−b≤9，−1≤1−2a−b≤−13，∵a、b都是整数，∴2a−b，∵12a−M−N能被13整除，∴2a−b1−2a−b∴1−2a−b=−13，∴2a+b=14，∴b=14−2a，∵1≤b≤4，∴1≤14−2a≤4，∴5≤a≤6.5，又∵1≤a≤5，∴a=5，∴当a=5时，b=4，此时N=4a2−故答案为：3420；5484．6．（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）任意一个大于2的正整数m都可以表示为：m=pp+1+q（p、q是正整数），在m的所有这种表示中，如果p−q最小时，规定：Fm=p−qp．例如：21可以表示为：21=1×2+19=2×3+15=3×4+9=4×5+1，∵1−19>2−15>3−9>4−1，∴F21=34，则F45=【答案】12/0.51312【分析】本题考查实数的计算，（1）根据题意即可得到F45（2）根据题意先列出代数式，再取符合题意的值，最后逐一计算Ft【详解】解：根据题意知：45=1×2+43=2×3+39=3×4+33=4×5+25=5×6+15=6×7+3，∵|1−43|>|2−39|>|3−33|>|4−25|>|5−15|>|6−3|，∴F45∵t与其各个数位上的数字之和能被7整除，t=30x+y，∴t+y=7n（n为正整数），∴30x+2y=7n，∵1≤x≤6,0≤y≤9,x≥y，x、y均为整数，∴可取值为：x=4,y=3;x=5,y=2;x=6,y=1，∴①当x=4,y=3时，t=123，∵123=1×2+121=2×3+117=3×4+111=4×5+103=5×6+93=6×7+81=7×8+67=8×9+51=9×10+33=10×11+13∵|1−121|>|2−117|>|3−111|>|4−103|>|5−93|>|6−81|>|7−67|>|8−51|>|9−33|>|10−13|，∴F123②当x=5,y=2时，t=152，∵152=1×2+150=2×3+146=3×4+140=4×5+132=5×6+122=6×7+110=7×8+96=8×9+80=9×10+62=10×11+42=11×12+20∵|1−150|>|2−146|>|3−140|>|4−132|>|5−122|>|6−110|>|7−96|>|8−80|>|9−62|>|10−42|>|11−20|，∴F152③当x=6,y=1时，t=181，∵181=1×2+179=2×3+175=3×4+169=4×5+161=5×6+151=6×7+139=7×8+125=8×9+109=9×10+91=10×11+71=11×12+49=∵|1−179|>|2−175|>|3−169|>|4−161|>|5−151|>|6−139|>|7−125|>|8−109|>|9−91|>|10−71|>|11−49|>|12−25|∴F181∵1312∴满足条件的数t中Ft的最大值是：F综上所述：F45=1故答案为：12；137．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期中）对于一个四位正整数q，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为零，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数q为“和平数”．在“和平数”q中，从千位数字开始顺次取出三个数字依次作为百位数字、十位数字和个位数字构成一个三位数，共形成四个三位数，再把这四个三位数的和与222的商记为F（q）．例如：q=1245，F1245=124+245+451+512222=6，由此F6835=．若s，t都是“和平数”，其中s=32x(y+1)，t=m1(n+2)6，（x，y，m，n都是整数，且1≤x≤9，【答案】1135【分析】本题考查了因式分解、完全平方数，关键是注意取值范围．根据公式可得F6835、Fs、Ft，s，t都是“和平数”，可得x与y、m与n的关系，化简k【详解】解：F6835FsFt∴k=∵s，t都是“和平数”，∴3+y+1=2+x，∴x=y+2，∴Fs+F∵x，y，m，n都是整数，且1≤x≤9，∴1≤x≤9，∵Fs+Ft∴m=4，y=2，Fs+F故答案为：①11②38．（2024上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“翻折数”，将“翻折数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“翻折数”记为M′，记PM=M−M′99，例如：当M=2772时，M′=7227，则P2772=2772−722799=−45．若“翻折数”A=abba，满足PA能被5整除，则【答案】16616336【分析】本题考查因式分解的应用，理解题意，分类讨论，搞清楚数量关系是解决问题的关键．根据题意可得PA=9a−b，由于PA能被5整除，则a−b是5的倍数，讨论即可得a、b的值；同理可得PB=9m−n,因为【详解】解：A=abba=1000a+100b+10b+a则A′∴P==9a−b∵PA能被5∴a−b是5的倍数且0<a<9,0<b<9，∴a−b的最小值为−5，∴a=1,b=6，∴A的最小值为1661；又∵B=mnnm∴B′∴同上，PB∴PA∴9a−b∴a−b+kn=km−kn，即k2n−m∴k=b−a又∵a−b是5的倍数且0<a<9,0<b<9，k为正整数，∴b−a=±5，当b−a=5时，∴k=b−a又∵k为正整数，∴2n−m=1，或2n−m=5，当2n−m=1时，则n=m+12，m的值可为1，因1111的各个数位完全相同，不合题意，则B最小为3223，要使A−B最大，则A最大，B最小，此时A=4994，这时A−B=4994−3223=1771；当2n−m=5时，则n=m+52，m的值可为1，3，5，7，9，n对应的值为3，4，5，6，7，则B最小为1331，要使A−B最大，则A最大，B最小，此时这时A−B=4994−1331=3663；∵1771<3663∴A−B最大为3663；当b−a=−5时，∴k=b−a又∵k为正整数，∴2n−m=−1，或2n−m=−5，当2n−m=−1时，则n=m−12，m可取的数为3，5，7，要使A−B最大，则A最大，B最小，此时A=9449，这时A−B=9449−3113=6336；当2n−m=−5时，则n=m−52，m可取的数为7，9，n对应的值为1，2，则B最小为7117，要使A−B最大，则A最大，B最小，此时这时A−B=9449−7117=2332；∵2332<6336，∴A−B的最大值是6336；∵3663<6336，∴A−B的最大值是6336；故答案为：1661；6336．9．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）对于一个各位数字都不为零的四位正整数N，若千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，那么称这个数N为“三生有幸数”，例如：N=5321，∵5=2+3，3=1×3，∴5321是个“三生有幸数”；又如N=8642，∵8≠4+3，∴8642不是一个“三生有幸数”．则最小的“三生有幸数”是．若将N的千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的“反序数”，记作N′，例如：N=5321，其“反序数”N′=1235．若一个“三生有幸数”N的十位数字为x，个位数字为y，设PN=N−N【答案】43113331【分析】依据“三生有幸数”定义，要想它最小，每位数字都取到最小，即可得到答案；根据题意，算出N和N′，得到PN=11x−9y+37，利用PN除以6余数是1，得到11x−9y是6的倍数，且x、y为正整数，求出x、【详解】解：由题意，首先“三生有幸数”是一个各位数字都不为零的四位正整数，千位数字比十位数字大3，百位数字是个位数字的3倍，要想它最小，每位数字都取到最小，则十位数字应该取1，则千位数字应该取4，,个位数字也取1，百位数字取3，∴最小的“三生有幸数”是4311，由题意，“三生有幸数”N的十位数字为x，则个位数字为y，则N=1000x+3则N′∴PN∵PN除以6余数是1，n∴11x−9y+37=6n+1，则11x−9y=6n−36，由此11x−9y是6的倍数，且x、y为正整数，则1≤x≤91≤y≤9即1≤x≤6,1∴x=3,y=3或x=6,y=2，当x=6,y=2时，N的最大值为9662，当x=3,y=1时，N的最小值为6331，∴N的最大值与最小值的差是9662−6331=3331，故答案为：4311；3331．【点睛】此题考查了不等式组，整式的混合运算等知识，理解“三生有幸数”定义是解题的关键．10．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）一个三位正整数M，其各数位上的数字均不相等且都不为零，若M的百位数字与个位数字之和比十位数字的正整数倍多1，则称M为“首尾数”，例如M=235，∵2+5−3×3=1，∴235为“首尾数”，那么满足条件的最小“首尾数”是，若一个三位数M=ab4且为“首尾数”，将M的百位数字放在其个位数字的后得M1=b4a，再将M1的百位数字放在其个位数字后得M2=4ab【答案】124634【分析】本题考查新定义问题．关键是理解题意搞清楚数量关系，以及分类讨论的思想．由已知条件可得：M=100a+10b+4，M1=100b+40+a，M2=400+10a+b，2M+2M1+2M2111+4a+2b=6a+4b+8，根据已知6a+4b+8能被7整除，所以6a+4b+8是7的倍数，则6a+4b+8=21或28或35【详解】设正整数M的个位数字为x，十位数字为y；百位数字为z，则M=100z+10y+x∴M的百位数字与个位数字之和比十位数字的正整数倍多1，且各数位上的数字均不相等且都为正整数并且不为0，∴x+z=2y+1，当y=1时，x+z=3．无论怎样x、z中必有1个数为1，不符合题意；当y=2时，x+z=2×2+1=5当z=1时，M值最小，M=124，即满足条件的最小“首尾数”为124∵M=ab4且为“首尾数”，M1∴M=100a+10b+4，MM∴2(100a+10b+4)+2==2(a+b+4)+4a+2b=6a+4b+8∵6a+4b+8能被7整除∴6a+4b+8是7的倍数∵1≤a+b≤9∴1≤a≤8，1≤b≤8∴18≤6a+4b+8≤60∴6a+4b+8=21或28或35或42或49或56∵6a+4b+8是偶数∴6a+4b+8是28或42或56当6a+4b+8=28时∴6a+4b=20，则b=5−∵a、b为正整数，且a≠b∴a=2，b=2，不符合条件（舍去）当6a+4b+8=42时∴6a+4b=34当a=1，b=7当a=2，b=11当a=3，b=4当a=4，b=5当a=5，b=1∴M=344（舍去），M=514当6a+4b+8=56时∴6a+4b=48，则b=12−∴a=2，b=9，a=4，b=6；a=6，b=3，∴M=294，不符合题意，舍去M=464（舍去）M=634综上所述:满足条件的“首尾数”为：514，634故M的最大值是634故答案为：124，63411．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如果一个四位自然数A，满足千位与十位数字之和为8，百位数字与个位数字之和为5，则称A为“宏志数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数A′，PA=A−A′99，A的千位数字与百位数字之差记为QA，FA=PAQ【答案】31471【分析】本题考查了新定义数，正确理解定义，列出等式计算是解题的关键．【详解】∵a37b是“宏志数”，∴a+7=8,3+b=5，解得a=1,b=2，故a+b=3，故答案为：3；设四位自然数A的千位数字是m，百位数字是n，根据“宏志数”的定义得，十位数字是8−m，个位数字是5−n，故A=1000m+100n+108−mA′∴P==20m+2n−85=210m+nQA∴F=20m−20n+22n−85∵1≤m≤7,0≤n≤5，FA（1）当n=0时，FA当m=1时，FA当m=5时，FA此时的四位数是5035；当m取2，3，4，6，7时，FA（2）当n=1时，FA当m=1时，无意义，不符合题意；当m=2时，FA当m=3时，FA当m=4时，FA当m=5时，FA当m=6时，FA当m=7时，FA（3）当n=2时，FA当m=1时，FA当m=2时，无意义，不符合题意；当m=3时，FA此时的四位数3253；当m=4时，FA当m=5时，FA当m=6时，FA当m=7时，FA（4）当n=3时，FA当m=1时，FA当m=2时，FA此时四位数为2362；当m=3时，无意义，不符合题意；当m=4时，FA当m=5时，FA当m=6时，FA当m=7时，FA（5）当n=4时，FA当m=1时，FA此时四位数1471；当m=2时，FA当m=3时，FA当m=4时，无意义，不符合题意；当m=5时，FA当m=6时，FA当m=7时，FA（6）当n=5时，FA当m=1时，FA当m=2时，FA当m=3时，FA当m=4时，FA此时四位数是4540；当m=5时，无意义，不符合题意；当m=6时，FA当m=7时，FA故最小的四位数是1471，故答案为：1471．12．（2023上·重庆南岸·九年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）把一个四位数M的各个数位上的数字（均不为零）之和记为PM，把M的千位数字与百位数字的乘积记为SM，十位数字与个位数字的乘积记为TM，称P（1）1234的“除差数”为；（2）若M的千位与个位数字之和能被8整除，且PM=15，M的“除差数”为3，则满足条件的M的最大值是【答案】15253【分析】本题考查了不定方程的应用，有理数的混合运算，绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．（1）根据定义求得P1234=1+2+3+4=10，S1234（2）根据题意得出a+d=8,b+c=7,ab−cd【详解】（1）解：根据定义求得P1234=1+2+3+4=10，S1234∴1234的“除差数”为PM故答案为：1．（2）设M=abcd∵M的千位与个位数字之和能被8整除，且PM∴a+d=8,b+c=7,∴SM=ab,∴M的“除差数”为3，PM∴ab−cd=5要使得M最大，则千位数字最大，当a=8时,b=5当a=7时,b=3当a=6时,b=198或当a=5时,b=13当a=5时,b=2,c=5,d=3,则M=5253,所以M的最大值是5253；故答案为：5253．13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”R的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为R′，记MR=R+R′737，例如：当R=4212．时，R′=2421，则M4212=4212+2421737=9【答案】121809【分析】本题考查了新定义代数推理问题，多以阅读理解的形式呈现，解题关键是“理解新定义的数位关系，将文字语言转化为数学语言（等量关系）”．首先由千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍与R=abcd,S=7m4n得出R,R′,S,S′，a+b=2c+d【详解】解：∵R=abcd∴R=1000a+100b+10c+d,R∴R+R∵千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，∴a+b=2c+d∴R+R∴S=1000×7+100m+10×4+n,S∴S+S同理可得：7+m=8+2n，即m=2n+1，S+SMRMS∵a、b、c、d是不完全相同的正整数且均不为零，∴a+b≤18，∴3∵MR∴32a+b解得：a+b=12或a+b=16∵mM===mMS−27n−5MR∵m、n是正整数且均不为零，m=2n+1，∴n≤4当n=1时2n当n=2时2n当n=3时2n当n=4时2n∴n=2，∴S=7542，求R−S的最大值只需R最大，∵a+b=12，c+d=6，∴a=9,b=3,c=5,d=1，∴R=9351，∴R−S=9351−7542=1809，故a+b=12，R−S=1809．14．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）对任意一个四位数，若其千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，称这样的四位数为“平衡数”．对任意一个“平衡数”M，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得新数N，记F(M)=M+N1111．若A，B是“平衡数”，且A的千位为5，B的个位为7，当FA+FB【答案】10【分析】设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，根据“平衡数”的定义及F(M)=M+N1111可求出FA=a+5，设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，并得出FB【详解】解：设A的百位数字为d，十位数字为a，则个位数字为a+5-d，根据题意得：FA则FA设B的百位数字为b，十位数字为c，则千位数字为b+7-c，同理可得：FB∵FA∴a+5+b+7=15．∴a+b=3．∵a为十位上的数字，a最小取0，∴b的最大值为3．则FB故答案为：10．【点睛】此题考查了新定义下的整式加减的应用，理解“平衡数”的定义，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数位的特点求出相应字母的最大值是解题的关键．15．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“和差数”．若将M的千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，则F(M)=M−M′9．若mln5为“和差数”，且F(mln5)=323，则m+n=．若将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M【答案】109162【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算是解题的关键．根据“和差数”定义，得M=m1n5=1000m+10n+105，M′=5n1m=5010+10n+m，则FM=M−根据M=abcd=1000a+100b+10c+d，M′=1000d+100c+10b+a，M″=1000c+100d+10a+b，则F(M)+G(M)10=121a+11b−110d10，再根据F(M)+G(M)10为整数，即可求出a【详解】解：∵M=m1n5∴M′∴FM∵F(m∴111m−10n−545=323，∴111m−10n=868，∵mln∴m−5=1+n，∴m=6+n，把m=6+n代入111m−10n=868，解得：n=2，∴m=8，∴m+n=10；∵M=abcd=1000a+100b+10c+d，M′∴F(M)=M−M′∴F∵F(M)+G(M)10为整数，即121a+11b−110d∴a=1,2,34,5,6,7,8,9，b=9,8,7,6,5,4,3,2,1，d为任数字，∵当a最大时M最大，∴a=9，b=1∵M是“和差数”，∴a−d=b+c∴c+d=a−b=8∵M各数位上的数字互不相等且均不为零，且M取最大值，∴c=6，d=2，∴M=9162故答案为：10；9162．16．（2023上·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如果一个三位正整数M可以表示为mm+3的形式，其中m为正整数，则称M为“幸运数”．例如：三位数270，∵270=15×15+3，∴270是“幸运数”；又如：三位数102，∵102=1×102=2×51=3×34=6×17，∴102不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为；若M与N都是“幸运数”，且M−N=350，则所有满足条件的N的和为【答案】990614【分析】本题考查了新定义的运算，因式分解，根据“幸运数”的定义即可得到最大的“幸运数”；设M=aa+3，N=bb+3，得到M−N=a−ba+b+3=350【详解】解：∵30×30+3=990，∴最大的“幸运数”为990；∵M与N都是“幸运数”，设M=aa+3，N=b∴M−N=aa+3∵350=1×350=2×175=5×70=7×50=10×35，∴a−b=1a+b+3=350或a−b=2a+b+3=175或a−b=5a+b+3=70或a−b=7解得a=124b=123（不符）或a=87b=85（不符）或a=36b=31（不符）或a=27∴满足条件的N为460和154，∴所有满足条件的N的和=460+154=614，故答案为：990，614．17．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“八喜数”，把数M分解成M=A×B的过程，称为“八喜分解”．例如572=22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，故572是“八喜数”．判断1472（填“是”或“不是”）“八喜数”．把一个“八喜数”M进行“八喜分解”，即M=A×B，A与B之和记为PM，A与B之差记为QM，令，当GM=P(M)【答案】不是3528【分析】本题考查了因式分解的新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“八喜数”含义，能把A和B用含a和b的式子表示出来．读懂题意，按照题目给出的新定义，先因式分解，再判断1472是不是“八喜数”即可；设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8−b，根据GM能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出【详解】解：∵900<1472<1600∴1472分解的两个两位数的十位为3，∵1472的个位数为2，∴分解的两个两位数的个位数上的组合就有1，2或2，6或3，4或4，8或6，7或者8，9，∵个位数字之和为8，∴两个两位数的个位数上分别为2，6，即32×36=1152≠1472故1472不是“八喜数”；设A的十位数为a，个位数为b，则A=10a+b，10a+8−b∴A+B=20a+8，A−B=∵GM∴20a+82b−8∴5a+2=∴5a+2是4的倍数，∴满足条件的a有2，若a=2，则482b−8∴3∴b−4是3的因数，∴b−4=−3，−1，1，3，∴满足条件的b有1，3，5，7，∴A=21，B=27或A=23，B=25或∴A×B=567或575，若a=6，则1282b−8∴8∴b−4是8的因数，∴b−4=−8，∴满足条件的b有2，3，5，6，∴A=62，B=66或A=63，B=65或∴A×B=62×66=4092或4095，综上，M的值为567或575或4092或4095．所以M的最大值与最小值的差=4095−567=3528故答案为：不是，352818．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称这样的四位数为“镜像数”，将“镜像数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“镜像数”记为M′，记P(M)=M−M′11，例如：当M=5885时，M′=8558，则P5885=5885−855811=−243．若“镜像数”A=abba，满足P(A)能被7整除，则A的最大值是；在P(A)【答案】9229−8008【分析】本题主要考查了数字规律探索，新定义运算，整式加减的应用，解题的关键是根据定义得出PA=81a−b，根据P(A)+81kn=kP(B)，得出k=b−a2n−m，根据0<m≤7，0<n≤9，k为正整数，得出2n−m=±1或2n−m=±7【详解】解：∵A=abba∴A′∴P==81a−b∵P(A)能被7整除，∴a−b是7的倍数，∵0<a≤9，0<b≤9，∴当a=9，b=2时，A的值最大，∴A的最大值为9229；∵B=mnnm∴B′∴PB∵P(A)+81kn=kP(B)，∴81a−b∴a−b+kn=km−kn，∴2n−mk=b−a∴k=b−a∵P(A)能被7整除，0<a≤9，0<b≤9，且a≠b，∴a−b=7或a−b=−7，∴当a=1，b=8时，A的值最小为1881，∴k=72n−m或∵0<m≤7，0<n≤9，k为正整数，∴2n−m=±1或2n−m=±7，∴当m=9，n=8时，B的值最大为9889，∴A−B最小值为9889−1881=−8008．故答案为：9229；−8008．19．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州国本中学校校考阶段练习）一个四位正整数m，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字和个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将m的首位数字放在末尾得到一个新数记为m1，再将m1的首位数字放在末尾得到m2，以此类推得到m3，记Fm=m+m1+m2+m3202，则F8514的值为．已知s、t均为“间和数”，其中s=2000x+100y+10b+1304，t=1000a+10b+c+2510【答案】999834【分析】根据题目规律对F8514进行计算即可；由题得Fs=【详解】解：F8514∵s=2000x+100y+10b+1304=1000∴s1=1000y+3+100b+40+2x+1、∴Fs∵t=1000a+10b+c+2510=1000a+2∴t1=5000+100b+1+10c+∴FtF∴2x+y+b+8∵s、t均为“间和数”∴2x+1+b=y+3+4，a+2+b+1=5+c，∴b=y−2x+6，a+b=3+c，∵1≤x≤4，1≤y≤6，0≤a≤7，0≤b≤8，1≤c≤9，且均为整数且s取最大值，当x=4，y=6时，则∴2×4+6+4+8a+4+c+8则a+c=−12当x=4，y=5时，则∴2×4+5+3+8a+3+c+8则a+c=1符合题意，∴smax故答案为：99，9834．【点睛】本题主要考查整式的数字规律，正确理解题意是解题的关键．20．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“同差数”，对于一个“同差数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定，FN=s+2t29；例如：N=7513，因为7−3=5−1，故：7513是一个“同差数”．所以：s=73−51=22,t=71−53=18，则：F7513=22+3629=2．已知8734是“同差数”，根据以上材料可得F8734=；若自然数P,Q都是“同差数”，其中P=1000x+10y+616【答案】113178【分析】本题主要考查了整式加减的应用、有理数加减乘除运算的应用（1）根据“差同数”的定义和F(N)的定义即可得；（2）根据“差同数”的定义和已知条件，根据3FP−FQ能被11整除时，求出x,y,m,n【详解】解：∵8−4=7−3，∴8734是“差同数”，∴s=84−73=11，t=83−74=9，∴F(N)=11+2×9∵1≤x≤9，0≤y≤8，且x，y都是整数，∴P的千位数为x，百位数为6，十位数为(y+1)，个位数为6，∵P是“差同数”，∴x−6=6−(y+1)即x+y=11，sp=(10x+6)−(60+y+1)=10x−y−55，∴F(P)=s∵1≤m≤9，0≤n≤7，且m，n都是整数，∴Q的千位数为3，百位数为m，十位数为4，个位数为(n+2)，∵Q是“差同数”，∴3−(n+2)=m−4，即m+n=5，sQ=30+n+2−(10m+4)=n−10m+28，∴F(Q)=s∴3F(P)−F(Q)=3(x−6)−(3−m)=3x+m−21，∵x+y=11且1≤x≤9，0≤y≤8，∴3≤x≤9，∵m+n=5且1≤m≤9，0≤n≤7，∴1≤m≤5，∴10≤3x+m≤32，∴−11≤3x+m−21≤11，∵3F(P)−F(Q)能被11整除，∴3x+m−21=−11或0或11，①当3x+m−21=−11时，则x=3，m=1，y=8，n=4，此时P：3696，Q：②当3x+m−21=11时，则x=9，m=5，y=2，n=0此时P：9636，Q：③当3x+m−21=0时，则3x−m=21，结合3≤x≤9，1≤m≤5，有x=6，m=3，y=5，n=2此时P：6666，∵“差同数”的各数位上的数字不全相同且均不为0，∴P不存在，综上P+Q最大值为13178，故答案为：1；1317821．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期末）对于一个四位数n，其各个数位上的数字都不为0，若n的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n为“等和数”．将“等和数”n的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”n′，记Fn=n+n′101，Gn=n−n′99．例如n=1342，n′=4213，F1342【答案】729647【分析】将n=5236代入进行计算即可得到答案；根据“等和数”的定义设：n=1000a+100b+10m−a+m−b=990a+99b+11m1≤a≤9，1≤b≤9，【详解】解：根据题意得：F5236根据“等和数”的定义设：n=1000a+100b+10m−a+m−b则n′∴Fn=n+∵Fn13∴m为13的倍数，且2≤m≤18，∴m=13，∴n=990a+99b+143=9910a+b∵G∴设20a+2b−143=7k，则20a+2b=7k+143，其中k为整数，∵0<a≤9，∴0<7k+143<198，∴k最大取7，此时20a+2b=7k+143=192，即10a+b最大为96，∴最大的n值为：9910a+b故答案为：72，9647．22．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的2倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数M为“强基数”，例如：M=4325，∵4=2×2，5=3+2，∴4325是个“强基数”；又如M=6538，∵8≠5+2，∴6538不是一个“强基数”．若将任意一个四位正整数N的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，那么称这个数为数N的“逆袭数”，同时记FN为四位正整数N与其“逆袭数”之差，例如：N=5876，其“逆袭数”为6785，F5876=5876−6785=−909．若一个“强基数”M的个位数字为x，设TM=FM【答案】21522【分析】根据题意，设M的十位数字为y，先用x、y表示出FM、TM，接着根据【详解】根据题意，设M的十位数字为yFT53y−25x−58∵1≤y≤4，2≤x≤9∴−9≤5y−x−5≤13∵TM∴只有5y−x−5=−8，5y−x−5=∴y=1时，xy=2时，x=5y=3时，x=2y=4时，x=7所有满足题意的四位正整数M之和为：2618+4325+6032+8547=故答案为：21522．【点睛】本题考查了因式分解的应用，列式表示出FM、T23．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）一个三位正整数M，当M的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，我们称这个三位数是“吉利数”．记M的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，并规定：F(M)=3x−z．若M是最小的“吉利数”，则F(M)=；若有两个“吉利数”M1=abc，M2=mbn，其中a≠m，c≠n，且4F(【答案】−21431【分析】本题为新定义题型，根据“吉利数”的定义可得出当x=1时，M最小；再根据定义可得出a，b，c，m，n之间的关系，用m，n表达a，b，c的，并由此表达M1+M2，再根据“整数”的限制可得出【详解】解：∵M是最小的“吉利数”，M的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，∴x−6=y−z，当x=1，y=0时，z=5，即M的最小值为105，∴F(M)=3×1−5=−2；∵有两个“吉利数”M1=abc，M2=mbn，其中∴a−6=b−c①；m−6=b−n②；4(3a−c)−5(3m−n)=4③，由①②③可得，a=19∴=100(==238m+15n−95+9∵1≤m≤9，0≤n≤9，分别将m，n代入上式，可得当m=6，n=6时，M1当m=7，n=9时，M1+M∴M1+故答案为：−2；1431．24．（2023上·重庆铜梁·九年级铜梁二中校考期中）定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789．而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789．已知四位“格调数”m和n，则最大的m是，若m-n=2222，且m能被3整除，则m的值为【答案】67893456或6789【分析】本题考查了新定义和整式的加减，理解题意，掌握对新知识新概念的应用是解答本题的关键．根据定义可求出最大的m的值，设m=1000a+100a+1+10a+2+a+3=1111a+123，【详解】解：根据定义可知最大的m是6789，设m=1000a+100a+1n=1000b+100b+1∵m−n=2222，∴1111a−1111b=2222，∴a−b=2，∴a=b+2，∴当m=6789时，n=4567，当m=5678时，n=3456，当m=4567时，n=2345，当m=3456时，n=1234，∵m能被3整除，∴m的值为3456或6789．故答案为：6789，3456或6789．25．（2023上·重庆·九年级重庆南开中学校考期中）如果一个各数位上的数字均不为0的四位自然数abcd(c≠d)，满足2(a−b)=c+d，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数5171，∵7≠1，2×(5−1)=7+1，∴5171是“倍差等和数”；又如：四位数6321，∵2×(6−3)=2+1，∴6321不是“倍差等和数”．最大的“倍差等和数”为，将“倍差等和数”M=abcd的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和M的个位数字之差能7整除，令G(M)=c2−a−d2【答案】97315331【分析】本题考查因式分解的应用，整式的乘法运算，根据题意找出数量关系，当“倍差等和数”为最大时，最高数位只能为9，分析讨论即可的结论；若12G(M)【详解】解：当“倍差等和数”为最大时，则最高位上a=9，设b=8则c+d=2(a−b)=2，∵c≠d，∴舍去，此时设b=7．则c+d=4，则c=3，d=1时最大，此时四位数为9731；∵12G(M)∴G(M)=1或2或3或4或6或12，∵2(a−b)=c+d，∴G(M)=c2−a−∵2c−2d−1为奇数，∴G(M)是偶数，排除1、3两种可能，①当G(M)=2时，a−b=1，2c−2d−1=2，∴c+d=2(a−b)=2，c−d=1，c=1，不合题意舍去，②当G(M)=4时，若a−b=2，2c−2d−1=1，则c+d=4，c−d=1，c=5③G(M)=6时，若a−b=1，2c−2d−1=3，则c+d=2，c−d=2，：∴c=2，d=0，(不合题意舍去)，若a−b=3，2c−2d−1=1．则c+d=6，c−d=1，∴c=72，(不合题意舍去④当G(M)=12时，若a−b=2，2c−2d−1=3，则c+d=4，c−d=2，c=3，d=1，若a−b=6，2c−2d−1=1则c+d=12，c−d=1，c=13综上所述c、d只有一种可能即c=3，d=1，此时a−b=2，设a=3，b=1此时abc−d=313−1=312，不能被7整除舍去，设a=4，b=2此时abc−d=423−1=422不能被7整除舍去，设a=5，b=3，此时abc−d=533−1=532，∴532÷7=76，能被7整除，∴M的最小值为：5331，故答案为：9731，5331．26．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n′，把n′放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数的差再除以99所得的商记为Fn，例如：n=13时，n′=31,F13=1331−311399=−18．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y(1≤b<a≤9,1≤x,y≤9，且a,b,x,y为整数)．若Fs能被5整除，则a−b的值为【答案】59118【分析】本题考查了整式的乘法运算，二元一次方程的整数解，理解整除的意义是解题的关键．根据题意列式表示，并根据整除的意义求解．【详解】解：∵s=10a+b，∴Fs∵F(s)能被5整除，1≤b<a≤9，∴a−b=5；∵t=10x+y，∴同理可得：Ft∵F(s)+9ky=kF(t)，∴9a−b∵a−b=5，∴9×5+9ky=k⋅9∴k=5∵k为整数，∴x−2y=±1或±5，∴x−2y是奇数，2y是偶数，∴x是奇数，又∵1≤x，y≤9，要使s与t乘积的最大值，s与t都要取最大值，t=10x+y∴x的最大值是9，将x=9代入x−2y=±1或±5中得：9−2y=±1或±5，解得：y=4或5或2或7，∴x=9，y=7时，当tmax∵a−b=5，1≤b<a≤9，∴s的值为：94或83或72或61，∴st的最大值为：94×97=9118，故答案为：5，9118．27．（2023下·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）一个各个数位数字均不为0的四位正整数m=abcd，记Fm=a+2bc+2d，将m的首位数字a放在末尾产生的第一个新数bcda，记为m1，同样再将新数m1首位上的数字放在末尾，产生第二个新数m2，以此类推得到m3，记Gm=m+m1【答案】36633【分析】先表示出m,m1,m2,m3，再根据Gm9为整数，得出a+b+c+d是9的倍数，进而得出a+b+c+d=9或18或27或36，根据题意可知a−c=d，进而得出2a+b=9或18或27或36，c=a−d，则d=2【详解】解：根据题意可得：m=1000a+100b+10c+d，m3m2m1∴Gm∴Gm∵Gm∴101a+b+c+d能被9整除，即a+b+c+d∵0<a≤9，0<b≤9，0<c≤9，0<d≤9，且a、b、c、d均为整数，∴0<a+b+c+d≤36，则a+b+c+d=9或18或27或36，∵a−c=d，∴a+b+c+a−c=2a+b=9或18或27或36，∵a+2b+3c=27，∴a+2b+3a−d∴3d=22a+b−27，则∵0<a≤9，0<c≤9，d=a−c，a、c、d均为正整数，∴0<d≤8，∴2a+b=18，∴d=2×18∵a−c=d=3，∴Fm∵0<c≤9，∴6<c+6≤15∵Fm∴c+6=9，解得：c=3，则a−d=a−3=3，解得：a=6，则2a+b=2×6+b=18，解得：b=6，∴m=6633，故答案为：3，6633．【点睛】本题主要考查了新定义，整除问题和数字问题，解题的关键是根据题意得出2a+b=18．28．（2023下·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）若一个四位数正整数t=abcd，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“笃学数”，记为Dt，“笃学数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“图新数”，记为Tt，例如：3412的“笃学数”为D3412=3×5+412=427，3412的“图新数”T3412=4×5+27=47，则T6234【答案】744467或4564或4661【分析】根据图新数”的概念即可求得T6234；设这个四位数为4a6b(0≤a≤9，0≤b≤9，且a、b【详解】解：T6234设这个四位数为4a6b(0≤a≤9，0≤b≤9，且a、则D4a6bT4a6b∴D4a6b∵105a+2b+160能被33整除，且0≤a≤9，0≤b≤9，a、∴①当a=0时，即2b+160能被33整除，得b=5②当a=1时，即2b+160能被33整除，得b=16不符合题意；③当a=2时，即2b+160能被33整除，得b=13不符合题意；④当a=3时，即2b+160能被33整除，得b=10不符合题意；⑤当a=4时，即2b+160能被33整除，得b=7符合题意；⑥当a=5时，即2b+160能被33整除，得b=4符合题意；⑦当a=6时，即2b+160能被33整除，得b=1符合题意；⑧当a=7时，即2b+160能被33整除，得b=29⑨当a=8时，即2b+160能被33整除，得b=23⑩当a=9时，即2b+160能被33整除，得b=17综上可知，这个四位数为4467或4564或4661．故答案为：74，4467或4564或4661．【点睛】本题考查列代数式、整式的加法、数位上数字的特征等知识点．根据题意掌握“笃学数”和“图新数”的概念是解题关键．29．（2023下·重庆九龙坡·九年级四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”m=abcd满足a≤8且d=1，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m′，并记F(m)=m+m′101；一个两位数N=10a+2b，将N的各个数位数字之和记为G(N)；当F(m)−G(N)−4a=k2+3（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足G(N)【答案】±62231【分析】设一个“一致数”m=abcd满足a≤8且d=1，得出F(m)−G(N)−4a=【详解】解：设一个“一致数”m=abcd满足a≤8且d=1则m=1000a+100b+10c+1，m∴F(m)=m+一个两位数N=10a+2b，将N的各个数位数字之和记为G(N)，则G(N)=a+2b，∵F(m)−G(N)−4a=即10a+b+10c+1−a−2b−4a=∴5a−b+10c=∴a=k2∵满足G(N)为偶数时，a为偶数，5a−b+10c=∵0<a≤8，∴0<k2+2+b当a=2时，则k2当c=1，k2+2+b=20时，b=9（当c=2，k2+2+b=30时，b=3（当c=3，k2+2+b=40时，b=2，则∴m=2231，故答案为：±6；2231．【点睛】本题考查了整除，整式的加减，求不等式组的整数解，理解题意解题的关键．30．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为Gp和Gq，Fp,q=p−q10，若【答案】6【分析】根据定义和已知条件分别设p=1000(m+2)+100m+73，q=1000(n+3)+100n+93，再根据定义进行计算，由Fp,qGp−Gq+3=55−【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，故数p的十位数是3+4=7，数q的十位数是设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是(m+2)，数q的千位数是(n+3)，而且0≤m≤7，0≤n≤6，∴Gp=(m+2)+m+7+3=2m+12，∴GpGp∴p=1000(m+2)+100m+73，q=1000(n+3)+100n+93，∴Fp,q∴F∵Fp,q∴m−n为51的约数，而要使GpG∴m−n=1或m−n=3，当m−n=1时，即m=n+1，Gp此时，当n=6，m=7时，GpGq当m−n=3时，即m=n+3，Gp此时，当n=0，m=3时，GpGq综上所述：当n=0，m=3时，GpGq故答案为：6【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过Fp,qGp−Gq31．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若一个各位数字均不为0的四位数M=abcd（1≤c≤a≤9，1≤b，d≤9，a，b，c，d为整数）满足：把M的千位数字作为十位数字，M的十位数字作为个位数字组成的两位数ac与5的和记作X，M的千位数字与个位数字的2倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y−1的和是一个正整数K的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数K称“赓续元素”；当c=1，d=9时，最小“赓续数”为；若“赓续数”M满足前两位数字之和a+b与后两位数字之和c+d相等，且ab+cd9为整数，则满足条件的最大【答案】11198127【分析】当c=1，d=9时，可知X=a1+5=a6，Y=a+18，则K2=a+6+a+18−1=2a+23，当K=5时，a可以取得最小值1，且1≤b≤9，据此即可求得答案．根据a+b=c+d和ab+cd【详解】∵c=1，d=9，∴四位数M=ab19∴X=a1+5=a6∴K2∴当K=5时，a可以取得最小值1．又1≤b≤9，∴Mmin∵a+b=c+d，∴ab+∵ab+∴2a+b又1≤c≤a≤9，1≤b≤9，∴a+b=18或a+b=9．①当a+b=18时．根据题意可知a=9，b=9，c=9，d=9．X=ac+5=99+5=104，∴K2∴K=31∴a+b=18不符合题意．②当a+b=9，且a=8，b=1，4<c≤9时．根据题意，得a+b=c+d=9，X=ac+5=8c∴K2∵K为正整数，∴d=5．∴c=4．∴a=8，b=1，d=5，c=4不符合题意．③当a+b=9，且a=8，b=1，1≤c≤4时．根据题意，得a+b=c+d=9，X=ac+5=8c∴K2∵K为正整数，∴d=7．∴c=2．∴M=8127．综上所述，符合条件的M的最大值为8127．故答案为：1119，8127．【点睛】本题主要考查实数，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．32．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记Fm=m1+m21111．若s，t都是“同和数”，其中s=5400+10y+x，t=1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，规定：k=FsFt【答案】x+5f+6【分析】由题意可知5+x=4+y，f+6=e+7，求得Fs=x+5，Ft=f+6，k=FsFt=x+5f+6，由1≤x≤9，1≤f≤9，可知13≤x+5+f+6≤29，根据Fs+Ft能被20整除，可得Fs+【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中s=5400+10y+x，t=1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，∴5+x=4+y，f+6=e+7，∴Fs=s∴k=F∵1≤x≤9，1≤f≤9，∴13≤x+5+f+6≤29，∵Fs∴Fs+Ft∴k=x+5f+6=∵各个数位上的数字都不为零且互不相同，∴x≠4,5,f≠6,7，∴当x=1，6，7，8时：k=37，119，3∴k的所有取值之积为：37故答案为：x+5f+6，143【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键．33．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”M=abcd且1≤a≤9,1≤b≤5,1≤c≤6,0≤d≤9，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定GM=a+12−2a+b+c−d−17，FM=M+N17【答案】73162【分析】根据给出的新定义来化简GM，即可求出b+c；表示出M、N，从而表示出FM，根据【详解】解：由题意可得：a2∴GM∵1≤b≤5,1≤c≤6，GM∴b+c=7；设M=1000a+100b+10c+d，N=1000b+100a+10d+c，∴M+N=1100a+110b+11c+11d=11100a+100b+c+d∵a2∴FM=M+N∴a=3,b=1,c=6,d=2∴M=1000a+100b+10c+d=3162；故答案为：7；3162．【点睛】本题主要考查整式的计算，通过新定义来推导对应的关系，用a、b、c、d来表示，通过讨论求出最终的解．34．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）对于四位数M=abcd，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定FM=s−t−10b−d，则Fab64=；若一个四位数M=1201+1000a+100b+30c+d（0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且【答案】826939【分析】①根据题目所给“双倍差数”的定义，以及FM的运算法则，计算出Fab64的值即可；②将M化为1000a+1+100b+2+10⋅3c+d+1，即可得出各个数位上的数字，再得出FM的表达式，根据“双倍差数”的定义，得出FM=82a−82b−82，根据FM除以13余1，得出82a−82b−83能被13整除，进而得出4a−4b−5能被13整除，根据a【详解】解：①s=100a+10b+6，t=100b+64，∴Fab64∵该四位数为“双倍差数”，∴2a−b=6−4，解得：∴Fab64②M=1201+1000a+100b+30c+d=1000+200+1+1000a+100b+30c+d=1000∵0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，∴1≤a+1≤9，2≤b+2≤9，0≤3c≤9，1≤d+1≤9，∴M个位上的数字为d+1，十位上的数字为3c，百位上的数字为b+2，千位上是数字为a+1，∵s=100a+1+10b+2∴FM=100a+1∵M是“双倍差数”