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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.2.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()A. B. C. D.3.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知集合,,,则()A. B. C. D.5.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.6.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.7.已知等差数列的公差为,前项和为,,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,若对任意的恒成立,则实数().A.6 B.5 C.4 D.38.在三棱锥中,,且分别是棱,的中点,下面四个结论:①;②平面;③三棱锥的体积的最大值为;④与一定不垂直.其中所有正确命题的序号是()A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②④9.已知集合,,则()A. B. C. D.10.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.11.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为()A.75 B.65 C.55 D.4512.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.15.的展开式中的系数为________.16.若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某公司生产的某种产品,如果年返修率不超过千分之一,则其生产部门当年考核优秀,现获得该公司年的相关数据如下表所示:年份20112012201320142015201620172018年生产台数(万台)2345671011该产品的年利润(百万元)2.12.753.53.2534.966.5年返修台数(台)2122286580658488部分计算结果:,,,,注:年返修率=(1)从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据,以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求的分布列和数学期望;(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润(百万元)关于年生产台数(万台)的线性回归方程(精确到0.01).附:线性回归方程中,,.18.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.19.(12分)已知向量,函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.20.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.21.(12分)已知.(1)若,求函数的单调区间;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果.【详解】,令,得,.其单调性及极值情况如下:x0+0_0+极大值极小值若存在,使得,则(如图1)或(如图2).(图1)(图2)于是可得,故选:D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.2.B【解析】
列举出循环的每一步,可得出输出结果.【详解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,输出的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.3.C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.4.D【解析】
根据集合的基本运算即可求解.【详解】解:,,,则故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.5.C【解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.6.D【解析】
根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.7.C【解析】
若对任意的恒成立,则为的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值时的n即可.【详解】由已知,,又三角形有一个内角为,所以,,解得或(舍),故,当时,取得最大值,所以.故选:C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的最值问题,考查学生的计算能力,是一道基础题.8.D【解析】
①通过证明平面,证得;②通过证明,证得平面;③求得三棱锥体积的最大值,由此判断③的正确性;④利用反证法证得与一定不垂直.【详解】设的中点为,连接,则,,又,所以平面,所以,故①正确;因为,所以平面,故②正确;当平面与平面垂直时,最大,最大值为,故③错误;若与垂直,又因为,所以平面,所以,又,所以平面,所以,因为,所以显然与不可能垂直,故④正确.故选:D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.9.D【解析】
先求出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知,,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.10.A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.11.B【解析】
计算的和,然后除以,得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为,故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理,考查等差数列前项和公式,属于基础题.12.B【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.14.【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.15.80.【解析】
只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为,令,则,故的展开式中的系数为80.故答案为:80.【点睛】本题考查二项式定理的应用,涉及到展开式中的特殊项系数,考查学生的计算能力,是一道容易题.16.【解析】
利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求出的单调递减区间.【详解】解:幂函数的图象经过点,则,解得;所以,其中;所以的单调递减区间为.故答案为:.【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析;(2)【解析】
(1)先判断得到随机变量的所有可能取值,然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率,进而得到分布列和期望.(2)由于去掉年的数据后不影响的值,可根据表中数据求出;然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程.【详解】(1)由数据可知,,,,,五个年份考核优秀.由题意的所有可能取值为,,,,,,,.故的分布列为:所以.(2)因为,所以去掉年的数据后不影响的值,所以.又去掉年的数据之后,所以,从而回归方程为:.【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算,所以在解题时要注意运算的合理性和正确性,对于题目中给出的中间数据要合理利用.本题考查概率和统计的结合,这也是高考中常出现的题型,属于基础题.18.(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】
(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,所以,即,取,则.所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,属于较难题.19.(1),(2)【解析】
(1)利用向量的数量积和二倍角公式化简得,故可求其周期与单调性;(2)根据图像过得到,故可求得的大小,再根据数量积得到的乘积,最后结合余弦定理和构建关于的方程即可.【详解】(1),最小正周期:,由得,所以的单调递增区间为;(2)由可得:,所以.又因为成等差数列,所以而,.20.(1)见解析,0(2)【解析】
(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:(1)的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第
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