2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 . 2 抛物线的简单几何性质

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一由抛物线的标准方程探究其几何性质

1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是()

A.(-m,-n)B.(m,-n)

C.(-m,n)D.(-n,-m)

2.已知抛物线x2=8y的焦点为F,点P在抛物线上，且|PF|=6,Q为抛物线准线与其

对称轴的交点,则APFO的面积为()

A.20V2B.16V2

C.12V2D.8V2

3.(2021四川成都七中期中)已知A,B是抛物线x2=2y上的两点,0为坐标原点.若

|OA|=|OB|,且aAOB的面积为12点则NAOB=()

A.30°B.45°

C.60°D.120°

4.(多选)平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-l的距离相等的动点的轨迹为曲线

C.关于曲线C,下列结论正确的有()

A.曲线C的方程为x=4y

B.曲线C关于y轴对称

C.若点P(x,y)在曲线C上,则y22

D.若点P在曲线C上,贝IJ点P到直线1的距离d22

题组二由抛物线的几何性质求标准方程

5.以x轴为对称轴,坐标原点为顶点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线的方

程是（）

A.y2=8x

B.y2=-8x

C.y2=8x或y2=-8x

D.x2=8y或x2=-8y

6.（2020海南琼山中学月考）已知抛物线的焦点为椭圆9+白1的下焦点,顶点为

49

椭圆中心，则该抛物线的方程为（）

A.x2=-4V5yB.y2=-4V5x

C.x2=-4V13yD.y2=-4V13x

7.已知F为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于

M,N两点，以MN为直径的圆交y轴于C,D两点,且|CD|=3,则抛物线的方程为

（）

A.y2=2xB.y2=2V3x

C.y2=4V3xD.y2=6x

8.（多选）（2020江苏盐城响水中学期中）已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M到其准

线及对称轴的距离分别为3和2或,则p的值可以是（）

A.1B.2C.4D.V2

9.（多选）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在

抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为出,则点M的坐标可以为（）

4

A.（0,-1）B.（0,-2）

C.(0,2)D.(0,1)

10.(2021湖南长沙雅礼中学月考)斜率为8的直线1过抛物线C:y2=2px(p>0)的

焦点F,若1与圆M:(x-2)2+y2=12相切,贝！Jp=()

A.12B.8C.10D.6

11.(2020河北衡水中学临考模拟)已知圆x2+y2=l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B

两点，与抛物线的准线交于C,D两点,且坐标原点0是线段AC的中点，则p的值

为.

12.若抛物线的顶点在原点，开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物

线上一点，且IAM|=717,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

13.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F,P为抛物线上的动点,M为其准线上的动点,

若^FPM是边长为2的等边三角形,求此抛物线的标准方程.

题组三抛物线的焦点弦问题

14.(2020江西景德镇期末)过抛物线y2=4x焦点的直线1与抛物线交于A,B两点,

线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|=()

A.4B.6C.3D.8

15.过抛物线yJ2Px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(xi,yj,B(x2,y2)两点，则

ka-koB的值为()

A.4B.-4C.p2D.-p2

16.(2020江西吉安期末)直线1过抛物线x=-2py(p>0)的焦点F,交抛物线于M,N

两点,且满足7^+占;=2,若疝=2前,则|MN|二()

\FM\|FN|

A.-B.-C.—+2D.6

842

17.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,求弦AB的中点到直

线x+1=0的距离.

能力提升练

题组抛物线的几何性质及其应用

1.（2021河北邢台期中）已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点0,并且

经过点M（3,y。），若点M到该抛物线焦点F的距离为6,则|0M|=（）

A.5B.3V5

C.6D,6V2

2.已知M是抛物线C:y2=2px（p>0）上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛

物线C的准线与x轴的交点，则NMKF=（）

A.60°B.45°

C.30°D.15°

3.（2022陕西宝鸡质量检测）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C

的准线于D,E两点.已知|AB|二4VI|DE[=2a则C的焦点到准线的距离为（）

A.8B.6C.4D.2

4.（2021江西南昌第十中学月考）在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上

不同时与原点0重合的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C

面积的最小值为（）

4「3

AA.一兀B.-Tl

54

C.（6-2V5）3TD.-n

4

5.（多选）（2021山东临沂学分认定考试）已知斜率为8的直线1经过抛物线

C:y2=2px（p>0）的焦点F,与抛物线C交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线

的准线交于点D,若1AB|=8,则以下结论正确的是（）

A-加温1B.|AF|=6

C.IBD|=2|BF|D.F为AD的中点

6.(2021福建福州八县(市)一中期中联考)如图所示,抛物线形拱桥的跨度是20

米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一个支柱支撑,则其中最长支柱的长

度为米.

7.(2021江苏南京东山外国语学校月考)已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦

点为F,准线为1,线段FA交抛物线于点B.过B作1的垂线,垂足为M,若AM_LMF,

则4AFM的面积S=.

8.(2020陕西榆林高考模拟)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(l,2)

和动点P都在抛物线C上，点B⑵0),则儒的最大值为.

9.(2021江苏南京期中调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆F:(x-

2)2+y2=l,动圆M与直线l:x=-l相切且与圆F外切.

(1)记圆心M的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

⑵已知A(-2,0),曲线C上一点P满足|PA|=迎|PF|,求ZPAF的大小.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B由抛物线方程可知其关于x轴对称，故点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B.

2.D由x2=8y,可知抛物线的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,所以Q(0,-2).设

P(m,n),由|PF|=6得n+2=6,所以n=4,所以m=土4V2,则

SAPF(3=|X|FQ|X|m=|X4X4鱼=8

3.C如图，不妨设点A在y轴左侧,F为抛物线的焦

点，NB0F=6.•••|OA|=|OB|,，A,B两点关于y轴对称，设

A(必力任)•e•SAAOB=1x2aXy=12V3,解得a=2g,，B(28,6),Atan

9,易知0为锐角，0=30°，.=ZA0B=20=60°.故选C.

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4.AB由抛物线的定义知，曲线C是以F为焦点,直线1为准线的抛物线,其关于

y轴对称,方程为x2=4y,所以A,B正确；由x2=4y知y20,点P到直线1的距离

del,所以CD错误.故选AB.

5.C依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所

以自2,所以2P=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.

6.A由次+”=1知a2=9,b2=4,所以c2=5,

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故椭圆的下焦点为(0,-遮).

设抛物线的方程为x?=-2py(p>0),则P=2V5,

所以抛物线的方程为x2=-4岔y,故选A.

7.B由题意可知|MN|=2p,所以圆的半径是p,

在△COF中,(02+(|)2=p2,

解得P=H(负值舍去)，

所以抛物线的方程为y2=2V3x,故选B.

8.BC因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和

2V2,

白-1、[”“1=2/,(\yM\=2y[2,

所以即_oP

+万=3,=3

代入抛物线方程可得8=2p(3-9，

整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选BC.

9.BC设M(0,y。)，易知Fg,O),则B©,葭)，如图所示:

则IBBJ=9"乎,解得p=V2,

424

抛物线方程为y2=2V2x,且B(牛，引，

又点B在抛物线上，

,那二2近X4,解得y0=±2.

点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.

10.A抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为《,0),

则直线1的方程为y=V3(x-0,

即0x-y-fp=0.

因为1与圆M:(x-2)2+y2=12相切，

所以圆心⑵0)到1的距离d=h±d=2v3,

解得p=12(负值舍去).故选A.

11.答案当

解析易得抛物线的准线方程为x=q,所以由抛物线的对称性得点A出±p),

2

代入圆的方程，得⑨+(±p)2=l,

解得p=¥(负值舍去).

12.解析设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x。,y。)，由题知M(0,-与.

因为|AF|=3,所以y0+/.

因为|AM|=A/I7,所以以+(yo+§=17,

所以诏=8,代入方程诏=2py(>,得8=2p•(3-£),解得p=2或p=4.

故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.

13.解析因为4FPM为等边三角形,所以IPM|=|PF|,由抛物线的定义可得PM垂

直于抛物线的准线.

设P(m,am2),贝！J又F(0,^),

所以抛物线的标准方程为x2=2y.

14.B因为/=4x,所以2p=4,p=2.设A（x“yO,B（x2,y2）,则线段AB的中点坐标为

（笠匕空），依题意有詈=2,

所以xi+x2=4,于是|AB|=XI+X2+2=6.

22

J

15.B易得xiX2=j,yiy2=-p,由于k0A,k0B=—•—故k0A•媪=多=一4.

4%2%1%2E_

4

16.B由于痛=2丽,所以F在线段MN上，向量而,前方向相同，因此有

|FM|=2|FN|,又因为高+高=2,所以|FM|=|,|FN|=|,因止匕|MN|=|FM|+|FN|=（

17.解析易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点Q,0）,所以AB为焦点弦.

设A（xi,y）,B（X2,y2）,则AB的中点坐标为（包产，"产），|AB|=XI+X2+]=4,所以

中=2故AB的中点到直线x+i=0的距离为Z+；=2.

242424

能力提升练

1.B由题意设抛物线的标准方程为y2=2px（p〉0）,

因为点M⑶yo）到焦点F的距离为6,所以|MF|=3+.=6,则p=6,所以抛物线的方程

为y2=12x,

令x=3,可得韬=36,

所以10M|力32+据=3形.故选B.

2.B由题意得点M的坐标为弓,p）,又抛物线的准线方程为x=-*所以K的坐标

为（q,0）,则|KF|=p，所以在直角△MFK中，|MF|=|KF|=p，所以NMKF=45°,故选B.

3.C不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0).如图，设弦AB,DE分别交x轴于点

G,F,则|AG|=2位,即A点的纵坐标为2V2,则A点的横坐标为之即|0G|=±,由勾股

VP

定理,知|DF12+1OF12=|DO12=1,|AG12+10G12=|A012=1,即(遍)2+(02=(2a)

解得p=4,即抛物线C的焦点到准线的距离为4.故选C.

*

4.A设直线1:2x+y-4=0,由题意可知，以AB为直径的圆C经过点0,所以

|OC|=||AB|=d,其中d表示点C到直线1的距离,所以圆心C的轨迹是以0为焦

点，1为准线的抛物线,设原点。到直线1的距离为d',则d'=、,圆C半径的最小

值为;d'=；><%=§,所以圆C面积的最小值为H义(乎)专故选A.

22V55\5/5

5.BCD如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为Ai,Bb

直线1的斜率为8,则NxFA=60°,则NFDA尸30°.

设BD=x,贝ijIBB』哆|AA.|=4+p

所以|BF|=|BBiW，|AF|=|AA』=4+；,

所以IAB|=|AF|+1BF|=4+/=4+x=8,解得x=4,所以|BF|=2,|AF|=6,故B正确;

|BD|=4二2|BF|,故C正确;

DF|=|BD|+1BF|=4+2=6=|AF|,故D正确.

故选BCD.

6.答案fl(或3.84)

信息提取①抛物线形拱桥;②跨度是20米,拱高是4米;③求最长支柱的长度.

数学建模本题以抛物线形拱桥为背景,建立开口向下的抛物线模型.以抛物线

的顶点为坐标原点0,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设所求抛物线

的方程为x2=-2py(p>0),由题意可得点A(-10,-4)在该抛物线上，可求得p的值，

然后将x=2代入抛物线的方程,即可求得结果.

解析以抛物线的顶点为坐标原点0,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标

系如图：

A