2020-2021学年新教材数学第二册教师用书（含习题测试）：6.1 平面向量的概念

教材过关

第六章平面向量及其应用

6.1平面向量的概念

课标要求核心素养

1.通过对力、速度、位移等

课的分析，了解平面向量的实

i.通过具体实例理解向量的概

林际背景.

念，培养教学抽象核心素养.

解2.理解平面向量的意义和两

2。通过向量的表示和关祭逐步

读个向量相等的含义。

形成直观想象核心素养。

3o理解平面向量的几何表

示和基本要素.r重点）

精读教材•必备知识

情境导学

禁航变母舰导弹发射处接到命令:向1200km处发射两枚巡航

导弹（精度10m左右，射程超过2000km）。

问题1:导弹能否击中军事目标？

窿答案导弹不一定击中军事目标。

问题2:要使导弹击中目标，还需要知道什么条件？

窿答嚎需要知道口标在于什么方向.

教材研读

lo向量的概念

既有大小又有①空包的量叫做向量。

2.向量的表示

ri)几何表示：用②直包邀邀表示向量，有向线段的长度表示

向量的③大小，有句线段的方向表示句量的④空包。

(2)代教表示：用小写字母〃，仇c,…表示向量。

特别提醒

(1)小写字母表示向量的注意点：印刷时用黑体，手写时必

须加希•头。

C2J有向线段可以表示向量，但是向量不能说成有向线段.

(3J向量可以自由平移，即具有平移性，而有向线段是固定

不动的。

(4)一条有向线段对应着一个句量，但一个向量可以对应着

无教条有向线段.

3.与向量有关的概念

名称定义记法

向量靠

的

长度向量靠的大小|AB|

(或称

模)

零向量长度为⑤Q_的句量0

单位向长度等于⑥L个单位长度

量的向量

相等向长度⑦相等且方向⑧相

—a=b

量同的向量

平行向方向②相同或相反的非

a〃b

量零向量

r或共

规定：零向量与任意向量

线0〃a

⑩平行

向量）

思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平疔'一样吗?

e提示不一样，句量中的“平行”包括向量所在直线共线和平

行,而平面几何中的“平行”指两条直线平行.

互动探究・关键能力

探究一向量的有关概念

例1ri）r易错题）下列说法中正确的是r）

Ao数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的句量可以比较大

Co向量的大小与方向有关

Do向量的模可以比较大小

（2）（多选题）下列说法中正确的是（）

A.若向量〃与力同向，且/b\,则力

Bo单位向量的模都相等

Co对于任意向量/=|瓦若〃与力的方向相同，则a=b

Do向量〃与向量力平行,则向量〃与力方向相同或相反

窿答案(1)D(2JBC

度解析ri)向量不能比较大小，故A,B不正确；向量的大小

即向量的模，指的是有向线段的长度,与方向无关，故C不正确；

向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.

(2)因为向量是由大小和方向两个因素来确定的，所以两个

向量不能比较大小，故A不正确；

单位向量的模都是1,故B正确；

因为/〃/=|8/,且〃与力同向，由两向量相等的条件，可得

a=b,故C正确；

若向量〃与向量力中有一个是零向量，则其方向不足，故D不

正确.

易错点拨

1.到新一个量是不是向量的两个关键条件：

ri)大小;(2)方句。这两个条件缺一不可。

2.特殊向量的特殊性：

ri)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

(2J单核向量不一定相等，易忽略向量的方向；

(3)向量的模是长度，指的是大小，是数量。

3.常因零向量的方向不确定而到新失误。

,跟踪训练1

i-i下列说法中正确的是r

Ao零向量的长度为0

B.单伍句量都相等

Co向量就是有句线段

Do共线向量是左同一条直线上的向量

黛答案A零向量的长度等于0,故A正确；

因为单位向量的方向不一定相同，所以不一定相等，故B错误；

向量有两个要素：大小与方向,向量可以平移，而有向线段还有起

点和终点，不可以平移，故C错误；

共线向量包括两向量所在直线平行和两向量在同一条直线上，

故D错误.

1-2下列说法中正确的有r)

①单位向量的长度大于零向量的长度；

②零向量与任一单位句量平行；

③因为相等向量的相等关系具有传遗性，所以平行向量的平行关

系也具有传透性；

④因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等

向量。

Ao①②Bo②③Co②④D。③

金答案A①正确;②正确，零向量与任一向量平行;③错误，平

行向量的平行关系不具有传遗性；④错误，平行向量不一定是相

等向量。

探究二向量的表示

例2在如图所示的坐标纸r每个小方格的边长为1)上，

用直尺和圆规画出下列句量：

(1)画句量就，使版|=4奁，点A左点。北偏东45°方向；

(2)也向量荏，使|福=4,点B在点A的正东方向；

(3J画向量就，使I阮|=6,点C在点B北偏东30°方向。

O东

魔解析(1)因为点A在点O北偏东45°方向，所以在生标纸

上点A跖点O的横向小方格教与纨向小方格教相等。又|明二4僖

小方格边长为1,所以点、A跖点O的横向小方格教与纨句小方格

教都为4,于是点A的位置可以确定，后出向量而，如图所示。

(2)因为点B左点A的正东方向，且由|二4,所以左坐标纸上点

B跖点A的横向小方格教为4,纨句小方格数为0,于是点B的

位置可以确定，后出向量瓯如图所示。

C3J因为点C在点B北偏东30。方向，且品|=6,依据勾股

定理可得，放士标纸上点C跖点B的横向小方格数为3,纨向小方

格数为38丈5。2,于是点C的住置可以确定，画出向量品，如图

所示。

C

/

/

A/

/B

/

/

/

思维臾破

用有向线段表示向量的步骤

［定起点］---------［先确定向量的起点1

［定方向）---------［再确定向量的方向］

［定终点］---------［根据向量的长度确定向量的终点］

「跟踪训练I

2-1已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B

地，再从B地按南偏东30。的方向飞行2000km到达C地，再从

C地按西南方向飞行1000ekm到达D地。

（1）作出向量同，BC,CD,布；

C2J问：D地在A地的什么方向？D地跖A地多运？

e解析（1）由题意，作出向量同，阮，丽，DAf如图所示。

⑵依题意知,△ABC为正三角形，所以AC=2000km.又因为

ZACD=45°,CD=1OOOMm,所以△ACD为等腰直角三角形，所

以AD=1000V2km,NCAD=45°,所以D也在A地的东南方向，跖

A地1000遮km。

探究三相等向量与平行向量

例3如图,△ABC和△A'B'C'是左.各边的己处相交的两个全

等的等边三角形，设△ABC的边长为a,图中也出了长度均为三的

若干个向量，则

A

B'

BCC

A'

(1J与向量南相等的句量有;

(2)与向量而平行，且模相等的句量有;

(3)与向量嬴平行，且模相等的向量有.

簌答案(1)亩而

(2)M,LE^W^B,~HC

(3)阮而，前而，KBt

思维突破

寻找平行向量或相等向量的方法

(1)平行向量:看方向，先找与表示已知向量的有向线段平

行或共线的线段，再构造同句与反向的句量.

提醒：不要漏掉以表示已知向量的有句线段的终点为起点，

起点为终点的向量。

(2)相等向量：先看大小再看方向，先找与表示已知向量的有

向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.

・跟踪训练］

3-1如图所示,△ABC中，三边长均不相等，E,F,D分别是AC,

AB,BC的中点。

(1)写出与前共线的向量；

(2)写出与加长度相等的句量；

(3J写出与前相等的向量.

窿解析(1)：E,F分别是AC,AB的中点,

/.EF/7BC,

•>(f/L>>/>_------>>>>>>>

・•与EF线的FE^BD>DB,DC>CD^BC>CBo

(2)-/E,F,D分别是AC,AB,BC的中点，

.*.EF=2iBC,BD=DC=2iBC,

/.EF=BD=DCo

,/AB,BC,AC均不相等，

.,.与前长度相等的向量有城丽，DB^DCy~CD.

(3)与加相等的句量有丽，CD.

评价检测•素养提升

课堂检测

lo若a为任一非零向量,b为单位向量，则下列正确的是（）

A.|a|>|b|Boa〃b

Co|a|>0Dw"b

金答案C|a|不一定大于1,Ib|=l,「.A不正确;a与b不一定

平行，故B不正确；易知C正确消是a方向上的单位向量，不一

定平行于b,故D不正确。

2o下列结论中正确的是r）

①若a〃b且|a|二|b|,则a二b；

②若a二b,则a〃b且|a|二|b|；

③若a与b方向相同且|a|二Ib|,则a=b;

④若a^b,贝!1a与b方向相反且|a|^|b|.

A.①③B.②③Co③④Do②④

金答案B两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，②

③正确；两向量不相等，可能是不同句或者长度不相等或者不同

向且长度不相等，故④错误。

3.如图，在口ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，图中与

族平行的向量的个数为()

Ao1B.2Co3D.4

金答案C题图中与版平行的句量为丽，丽,成共3个.

4.左平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的

终^点、组成)O

*答嚎,一个圆

代解析左平面上杷所有模长相等的向量的起点平移到同一点

P,各向量的终点到P点的跖离都相等，所以它们的终点组成一

个圆。

5o如图所示的是中国象棋的半个棋盘，“马走日r两个有公共

边的小方格是象棋中马的走法.此图中，马可以从A处跳到

Ai处，用向量瓯表示马走了“一步”，也可以从A处跳到A2处,

用句量就表示马走了“一步”。靖左图中画出马左B,C处走了“一

步”的所有情况.

*解析如图，马左B处只有3种走法，马左C处有8种走法.

’素养演练

直观想象--图形与向量的关祭转化

如图所示，已知左四边形ABCD中，M,N分别是BC,AD

的中点，又同二虎.求证:CNMA。

DNA

审:前二反00ABCD=>AV=MC=>°AMCNOCN工MA。

联:利用平行四边形的到灾与性质证明.

证明：由前二反可知AB=DC且①,

所以四边形ABCD为平行四边形，从而②

又M,N分别是BC,AD的中点，所以③

所以AN=MC且④9

所以四边形AMCN是平行四边形，

所以CN=MA且CN〃MA,即CN&MA.

思:利用向量关系证明或到新线段平行或相等的方法:

（1）证明或到新线段相等，只需证明或到新相应向量的长度

r或模）相等.

（2J证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共

线。

康答案（DAB〃DC②而二品

Q）AN-'MC④AN//MC

「针对训练J

如图，左等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F

分别放两腰AD,BC上，EF过点P,且EF〃AB〃"）

AoAD^BCB.AC=BD

C.PE=PFDoEP=PF

0答嚎D由平面几何知识知，而与品方向不同，故而彳前；而与

丽方向不同，故前彳丽；前与标的模相等而方向相反，故即声讨;而与丽

的模相等且方向相同，所以前二两.

课时达标训练

G基础达标练

lo（2020］东泰安嵩一同步练习）下列说法正确的是r

Ao若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行

B.终点相同的两个向量不共线

Co若|a|>|b|,则a〉b

Do单伍向量的长度为1

窿答案D

2.如图，族正方形ABCD中,AC与BD交于点0,则图中与耐相等

的向量是r)

AoocBoOD

C.OBD.co

*答案D

3o在四逆形ABCD中，近〃而，|AB|片面|,则四边形ABCD是

c)

A.梯形B.平彳亍四边形

C.矩形D。正方形

金答案A

4。设0是4ABC的外心，则同，丽，而是()

A.相等向量

B.模相等的向量

C.平行向量

D.起点相同的向量

黛答案B因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点

。到三个顶点A,B,C的跖离相等，所以近，丽而是模相等的向

量.

5.(2020广东广州嵩一期末)已知左边长为2的菱形ABCD

中,NABO60。,则廊|二()

A.lBoV3

Co2Do2V3

度答案D易知AC_LBD,且NABD=30。,设AC与BD交于点

O,则AO=|AB=1o在RtAABO中，易得|司二%则|丽|=2|丽=2四。

6o如图，已知正方形ABCD的边长为2,0为其中心，则|而|

e答案V2

窿解析因为正方形的对角线长为2e，所以|明二也

7.如果在一个边长为5的正三角形ABC中，一个向量所对应的

有句线段为标（其中D左边BC上运动），则向量而长度的最小值

为O

女答案w

*解析左正三角形ABC中，有句线段标的长度最小时，而应与

边BC垂直，则前长度的最小值为正三角形ABC的氤为串

8o已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量同是平行向量,

与BC是共线向量，则m=.

*答嚎0

*解析因为A,B,C不共线，所以国与就不共线.又m与南，前都

共线，所以m=0.

9o如图所示的是4x3的矩形（每个小方格的边长都是1）,左起

点和终点都左小方格的顶点处的向量中，与向量近平行且模为企

的句量共有几个？与向量同方向相同且模为3鱼的句量共有几个？

金解析依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应

的向量及其相反方向的向量都和同平行且模为也因为共有12个

小方格，所以满足条件的向量共有24个。易知与向量同方向相

同且模为3鱼的向量共有2个。

6能力拔高练

10o已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的支点，则黑I力。I的

值为（）

。

AoL2Bi3C.lD.2

解答案C因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与

AP的支点，所以D为PA的中点，所以鬻的值为1.

11.（多选题）下列说法中正确的是（）

A.若纥为,则a一定不与b共线

B.若近二沆，则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点

C.在口ABCD中，一定有而二就

D.若a=b,b=c,贝“a=c

窿答案CD两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或

相反，所以a与b有共线的可能，故A不正确；A,B,C,D四点

可能左同一条直线上，故B不正确;在口ABCD中，|祠二|阮|,

而与阮平行且方向相同，所以而二就，故C正确;若a=b,则Ia|=|b|,

且a与b方句相同，若b=c,则|b|二|c|,且b与c方向相同，所

以a与c方向相同且模相等，故a=c,故D正确。

12.如图，在△ABC中,NACB的平分线CD交AB于点D。若正

的模为2,就的模为3,标的模为1,则丽的模为.

C

工

AnR

逐案I

窿解析如图，延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于

点E.

C

二八、、。、\