2024-2025新教材高中数学课时检测27等差数列前n项和公式的实际应用习题课含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE6等差数列前n项和公式的实际应用(习题课)[A级基础巩固]1．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是()A．d＜0 B．S11＞0C．S12＜0 D．数列{Sn}中的最大项为S11解析：选AB∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确.又S11＝eq\f(11,2)(a1＋a11)＝11a6＞0，B正确．S12＝eq\f(12,2)(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确．2．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为()A．1.5尺 B．2.5尺C．3.5尺 D．4.5尺解析：选C从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋3d）＋（a1＋6d）＝31.5，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝85.5，))解得a1＝13.5，d＝－1，∴小满日影长为a11＝13.5＋10×(－1)＝3.5(尺)．故选C.3．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A．12 B．16C．9 D．16或9解析：选C设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180，得n<13且n∈N*.由n边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋eq\f(n（n－1）,2)×5.解得n＝16或n＝9.∵n<13，∴n＝9.4．若数列{an}满意：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3（k＋1）≤0，))所以eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3).因为k∈N*，所以k＝7.故满意条件的n的值为7.5．在我国古代闻名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．4日 B．3日C．5日 D．6日解析：选A由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.因为数列{an}的前n项和为eq\f(n（97＋15n＋82）,2)＝eq\f(n（179＋15n）,2)，数列{bn}的前n项和为eq\f(n（92＋93－n）,2)＝eq\f(n（185－n）,2)，所以eq\f(n（179＋15n）,2)＋eq\f(n（185－n）,2)＝840，整理得14n2＋364n－1680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢．6．植树节某班20名同学在一段直线马路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10m，起先时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走的路程总和最小，此最小值为________m.解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑动身前来领取树苗来回所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故全部同学来回的总路程为S＝9×20＋eq\f(9×8,2)×20＋10×20＋eq\f(10×9,2)×20＝2000(m)．答案：20007．设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________．解析：由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝14－3n≥0，,an＋1＝14－3（n＋1）≤0，))得n＝4，则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26.答案：大268．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)则数列{an}的通项公式为an＝________；(2)若bn＝eq\f(Sn,n＋c)(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，则c＝________．解析：(1)∵S4＝28，∴eq\f(（a1＋a4）×4,2)＝28，a1＋a4＝14，a2＋a3＝14，又∵a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝5，,a1＋2d＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3.(2)由(1)，知Sn＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c)，∴b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).又∵{bn}也是等差数列，∴b1＋b3＝2b2，即2×eq\f(6,2＋c)＝eq\f(1,1＋c)＋eq\f(15,3＋c)，解得c＝－eq\f(1,2)(c＝0舍去)．答案：(1)4n－3(2)－eq\f(1,2)9．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一：由a1＝9，d＝－2，得Sn＝9n＋eq\f(n（n－1）,2)·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．法二：由(1)知a1＝9，d＝－2＜0，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N*，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．10．某电站沿一条马路直立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m，最远一根电线杆距离电站1550m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车来回运输总行程为17500m，共直立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解：由题意知汽车逐趟(由近及远)来回运输行程组成一个等差数列，记为{an}，则an＝1550×2＝3100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17500.由等差数列的通项公式及前n项和公式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（n－1）×300＝3100，①,na1＋\f(n（n－1）,2)×300＝17500.②))由①得a1＝3400－300n.代入②得n(3400－300n)＋150n(n－1)－17500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，解得n＝10或n＝eq\f(35,3)(舍去)，所以a1＝3400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟来回行程400m，第一根电线杆距离电站eq\f(1,2)×400－100＝100(m)．所以共直立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100m.[B级综合运用]11．(多选)首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，现有下列四个命题，其中正确的命题有()A．若S10＝0，则S2＋S8＝0B．若S4＝S12，则使Sn>0的n的最大值为15C．若S15>0，S16<0，则{Sn}中S8最大D．若S7<S8，则S8<S9解析：选BC对于A，若S10＝0，则S10＝eq\f(（a1＋a10）·10,2)＝0，则a1＋a10＝0，即2a1＋9d＝0，则S2＋S8＝(2a1＋d)＋(8a1＋28d)＝10a1＋29d≠0，A不正确；对于B，若S4＝S12，则S12－S4＝0，即a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4(a8＋a9)＝0，由于a1>0，则a8>0，a9<0，则有S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝eq\f(16（a8＋a9）,2)＝0，故使Sn>0的n的最大值为15，B正确；对于C，若S15>0，S16<0，则S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)<0，则有a8>0，a9<0，故{Sn}中S8最大，故C正确；对于D，若S7<S8，即a8＝S8－S7>0，而S9－S8＝a9，不能确定其符号，D错误．12．已知{an}是等差数列，首项为a1，其公差d<0，前n项和为Sn，设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和为Tn.(1)若a1＝－4d，则当n＝________时，Tn有最大值；(2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则eq\f(a1,d)的取值范围是________．解析：(1)易知eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))，若a1＝－4d，则eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n－eq\f(9,2)d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)≥0，,\f(Sn＋1,n＋1)≤0，))解得8≤n≤9.即n＝8或9时，Tn有最大值．(2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(S6,6)＝a1＋\f(5,2)d>0，,\f(S7,7)＝a1＋3d<0，,d<0，))解得－3<eq\f(a1,d)<－eq\f(5,2).答案：(1)8或9(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(5,2)))13．一物体从1960m的高空着陆，假如第1秒着陆4.90m，以后每秒比前一秒多着陆9.80m，那么经过________秒落到地面．解析：该物体经过t秒着陆到地面．物体在着陆过程中，每一秒着陆的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t＋eq\f(1,2)t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.答案：2014．某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月起先算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解：因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}，且a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，…，an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，所以数列{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a10＝60－9×0.5＝55.5，S20＝eq\f(20[60＋（60－19×0.5）],2)＝1105.所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1105＋150＝1255(万元)．故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1255万元．[C级拓展探究]15．假如等差数列{an}的前n项和为Sn，那么S3，S6－S3，S9－S6是否成等差数列？你能得到更一般的结论吗？解：S3，S6－S3，S9－S6是等差数列，证明如下：设等差数列{an}的公差为d，则(S6－S3)－S3＝S6－2S3＝6a