【时间信号的傅里叶变换及MATLAB实现分析8100字（论文）】

V时间信号的傅里叶变换及MATLAB实现分析目录TOC\o"1-2"\h\u13839摘要 1110671绪论 2223391.1研究的背景和意义 246611.2时间信号的傅里叶变换的国内外研究现状 3161761.3相关时间信号的傅里叶变换研究方法和步骤 335771.4论文的构成及研究内容 464172连续时间的傅里叶变换 4161013离散时间的傅里叶变换 106634窗口傅里叶变换 16128815总结与展望 20摘要本文利用MATLAB实现了信号的幅度调制、性质的波形仿真以及线调频信号的加窗傅里叶分析结果，研究了相关时间信号的傅里叶变换的基本性质和定理。主要内容包括以下三部分。第一部分给出了连续时间的傅里叶变换的基本定义，然后用MATLAB进行了幅度调制和波形仿真，研究了连续时间的傅里叶变换的重要性质和定理，并且对程序运行结果进行了分析讨论。第二部分给出了离散时间的傅里叶变换的基本定义和性质，同时引出了卷积定理和离散相关定理，另外对离散时间的傅里叶变换的性质和定理进行了详细的数学公式推导证明。第三部分首先对比了传统的傅里叶变换，给出了窗口傅里叶变换的基本思想和定义，其次介绍了时窗、频窗和时频窗的相关定义，最后用MATLAB进行了线调频信号的加窗傅里叶分析，并且对程序运行结果进行了分析讨论。关键词：连续时间傅里叶变换；离散时间傅里叶变换；窗口傅里叶变换；MATLAB1绪论1.1研究的背景和意义1.1.1研究的背景随着数学的不断进步和发展，在1822年法国的著名数学家傅里叶发表了题为《热的解析理论》的论文，提出了以2π为周期的函数可展开成无限多个正弦函数和余弦函数的和，随后傅里叶又通过不断的努力和研究提出了傅里叶积分，起初傅里叶变换只是一种主要用于统计分析模拟信号和系统的通用数学工具。不过随着现代数字通信技术的不断发展和进步，随着各种模拟信号逐渐演变成一种新型的数字通信信号，从20世纪60年代起，逐步出现并发展了由数字计算机和各种新型的数字通信硬件直接处理模拟信号的各种技术和方法。在这样的条件下，又引入了离散时间的傅里叶变换的一些相关知识。在1946年D.Gabor提出了窗口傅里叶变换，也称为短时傅里叶变换。对比传统傅里叶变换，窗口傅里叶变换的时窗和频窗不会随着时移和平移的改变而发生改变，解决了传统傅里叶变换的局限性，并且推进了傅里叶变换的发展。1.1.2研究的意义我在大学期间学习过《积分变换与场论》和《常微分方程》这两本书，均有涉及傅里叶变换的内容，尤其是《积分变换与场论》这本书的主要内容都是介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关概念、性质和定理，当时通过老师耐心的讲解，在学习的时候就对这部分内容很感兴趣。于是我的毕业设计就选择了傅里叶变换的相关内容进行了详细的研究。傅里叶变换方法具有较高的普适性。例如线性系统信号输出的傅里叶相位变换的方向就是系统输入相位信号与线性系统响应函数傅里叶相位变换的方向乘积；许多常微分方程和偏微分方程的求解都是通过傅里叶这种变换法来求得的。即傅里叶变换在各个领域中都能被应用。在现代数字信号图像处理中，离散信号的傅里叶分析应用的更为广泛，而根据周期性对离散信号的傅里叶分析进行了分类。对比传统傅里叶变换，窗口傅里叶变换的时窗和频窗不会随着时移和平移的改变而发生改变，解决了传统傅里叶变换对于非平稳信号的局限性。因此引入窗口傅里叶变换也起着很重要的作用。1.2时间信号的傅里叶变换的国内外研究现状在1822年法国的著名数学家傅里叶发表了题为《热的解析理论》的论文，提出了一些基本原理。泊松、高斯等人把这一研究成果大范围推广至量子电学，得到了当时广泛的应用。进入20世纪以后，由于对一系列具体问题的分析和解决，使得傅里叶分析进一步得到了迅速的发展。傅里叶变换在许多不同的领域都有着广泛的应用。从20世纪60年代开始，逐步产生和发展了由数字计算机和各种新型数字通信硬件直接处理模拟信号的各种理论和技术方法。在这样的情况下，当时又引入了离散时间的傅里叶变换的一些相关知识。在1946年D.Gabor提出了窗口傅里叶变换，和一般傅里叶变换不一样的是，窗口傅里叶变换的时窗和频窗不会随着时移和平移的改变而发生改变，推进了傅里叶变换的发展。但由于窗口傅里叶也存在着一些不足之处，此时便出现了小波变换，而小波变换克服了这些问题，并且推进了傅里叶变换的发展。通过上文描述，我们已经讨论了傅里叶变换的部分发展现状。1.3相关时间信号的傅里叶变换研究方法和步骤（1）连续时间傅里叶变换：本文的第一部分研究的是连续时间的傅里叶变换。首先给出了其基本定义，其次给出了一个具体实例，用MATLAB对该实例进行了幅度调制，并且用MATLAB实现了波形仿真，研究了连续时间的傅里叶变换的重要性质和定理，最后对程序运行结果进行了详细的分析讨论。（2）离散时间傅里叶变换：本文的第二部分研究的是离散时间的傅里叶变换。首先给出了其基本定义和性质，同时引出了卷积定理和离散相关定理，然后对离散时间的傅里叶变换的相关性质和定理进行了详细的数学公式推导证明。（3）短时傅里叶变换：本文本文的第三部分研究的是窗口傅里叶变换。首先对比了传统的傅里叶变换，给出了其基本思想和定义，其次介绍了时窗、频窗和时频窗的相关定义，最后用MATLAB进行了线调频信号的加窗傅里叶分析，并且对程序运行结果进行了详细的分析讨论。1.4论文的构成及研究内容本文分为五个章节，对所研究的内容进行了详细的介绍，各章节的主要内容如下：第一章：绪论，介绍了毕设课题的研究背景、研究意义以及国内外研究现状，指出了傅里叶变换在各个领域中的重要性，并且分析了当前傅里叶变换存在的主要问题，提出了本文主要研究的重要内容。第二章：介绍了连续时间的傅里叶变换的相关内容，用MATLAB研究了其重要性质和定理，并且对程序运行结果进行了详细的分析讨论。第三章：介绍了离散时间的傅里叶变换的相关内容，对离散时间傅里叶变换的相关性质和定理进行了详细的数学公式推导证明。第四章：介绍了窗口傅里叶变换的相关内容。首先对比传统傅里叶变换，引出了窗口傅里叶变换。其次用MATLAB实现了两种加窗处理的信号问题，最后对这两种情况下的程序运行结果进行了详细的分析讨论。第五章：总结与展望。2连续时间的傅里叶变换2.1原理概述2.1.1傅里叶级数设ft是以T0为周期的周期函数，并且在一个周期内具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积t0则在连续点处成立ftCn这里Cn称为函数fft其中ab2.1.2连续傅里叶变换令ft在−ftft在无限区间−∞,+则成立下列等式Fuft其中t为时域变量，u为频域变量。如果ω=ℱf公式中j=−1，ft通常把式（2.1.6）和式（2.1.7）称为傅里叶变换对。函数ftFωFωFωϕωFω称为ft的傅里叶谱，而2.2用MATLAB实现信号的幅度调制以一个实例绘出原信号ft例：ft=εt+1−εt−1，ω=10π程序运行结果：图2.1信号的幅度调制运行图结果分析：如图所示，ft是脉宽为2的门信号，f1t为周期函数，ft经傅里叶变换为Fjω，Fjω以ω=0为对称轴且在ω=0处取得最大值，同时在对称轴附近图形波动明显，f12.3用MATLAB实现傅里叶变换性质的波形仿真2.3.1尺度变换特性若ft≪fat例：设ft=εt+1−εt−1=g2t，即门宽为τ=2的门信号，程序运行结果：图2.2尺度变换特性运行图结果分析：如图所示，当a>0时，若将fx的图像沿横轴方向压缩a倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向扩展a倍，同时高度变为原来的a<0时，2.3.2时域卷积定理设f1t，ℱf1则成立ℱf程序运行结果：图2.3时域卷积定理运行图结果分析：上述四幅图依次为：“脉宽为2的门函数、y=ft∗ft、Fω的幅度频谱、F1ω的幅度频谱”图形。y是ft与自身的卷积，Fω是ft经傅里叶变换得到，F1ω是Fω与自身的乘积。脉宽为2的门函数与y=ft∗2.3.3对称性质例：设ft=Sat，Fjω=程序运行结果：图2.4对称性质运行图结果分析：如图所示，抽样信号的时域波形与门信号的时域波形是以t=0为对称轴的轴对称图形；抽样信号的频域与门函数信号的频域是以ω=0为对称轴的轴对称图形。其中抽样信号的时域波形与门信号的频域波形相似，门信号的时域波形也与抽样信号的频域波形相似。3离散时间的傅里叶变换3.1原理概述在信号处理中信号与函数往往是通用的。若t是连续变量，则ft是连续时间函数。若t仅在离散点处取值，则ff最常用的离散时间序列是在时间轴的等距离散点上给出，即fk=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...定义3.1.1对于任一属于l1空间的离散时间序列Axω为Ak的离散时间傅里叶变换DTFT，其中xω为由于x故xω是以2π为周期Ak离散时间傅里叶正逆变换也可以定义为xs这里xs是以1为周期的函数，ω=2πs,dω3.2DTFT的基本性质性质1线性性：设有DTFT对Ak~xs，BCk=aA这里a，b为常数，则可得zs事实上a性质2设有DTFT对AkCk事实上y其中k+p=l,k=l−p。一般来说当离散时间序列Ak为复序列时，其DTFTxs也为复数。我们将AkAxs这里Akr，Aki，xrsx由此可以得出x类似地由DTFT逆变换可得Ak=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...（3.2.6）性质3定义在实数上，成立xr−s=事实上，当Ak为实序列时，Akr=xx（3.2.7）将“−s”代入上述两式可得xr−s=性质4实序列Ak的DTFTxxs这里xs表示x事实上，由于xsxx即由（3.2.7）式推出了（3.2.8）式。当离散时间序列为实偶序列或实奇序列时容易得到下面两个性质：性质5实偶序列Ak的DTFTxs为s的实偶函数，即xk=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...（3.2.9）性质6实奇序列Ak的DTFTxs为s的虚奇函数，即xk=...,−N,−N+1,...,−1,1,...,N,...（3.2.10）3.3卷积和相关定理3.3.1卷积定理定义3.3.1我们称序列Ck=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...（3.3.1）为离散时间序列Ak，Bk的卷积，记为定义3.3.2设xs，yzs为xs，ys的卷积，记为关于离散时间序列的卷积和DTFT之间成立的定理如下：定理3.3.1（卷积定理）设有DTFT对Ak~xs，（1）若C则成立zs=（2）若C则成立zs=3.3.2相关定理定义3.3.3我们称序列Ck=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...（3.3.5）为离散时间序列Ak，Bk的互相关，记为Ck=corrA,BCk=...,−N,−N+1,...,−1,0,1,...,N,...（3.3.6）称为离散时间序列Ak定理3.3.2（离散相关）设有DTFT对Ak~xs，若Ckzs=x这里Ak，Bk为实离散时间序列，xs证明由DTFT定义可得z3.3.3Parseval定理定理3.3.3（Parseval）设有DTFT对Akk=−∞∞A证明由于k=−∞∞A4窗口傅里叶变换4.1原理概述4.1.1窗口傅里叶变换的基本思想我们知道傅里叶分析对于处理平稳信号有着巨大的贡献，但在自然界中绝大多数的信号都被认为是非平稳的。对于非平稳的信号，我们需要知道短时时域的信号相对应的主要局部频率特征，或称时-频局部化要求。但傅里叶变换并不具备这个功能。因此在1946年D.Gabor提出了窗口傅里叶变换，它通过加窗处理使得窗口傅里叶变换达到了时-频局部化要求。4.1.2窗口傅里叶变换的定义定义4.1.1设gt满足0−∞为窗口傅里叶变换，记为Gfω,b公式（4.1.1）表示窗口傅里叶变换达到了时域局部化要求。下面介绍其在频域局部化方面的作用。由于Gf其中，Gω是gt的傅里叶变换。即Gfω,b公式（4.1.2）表示窗口傅里叶变换达到了频域局部化要求。综上所述，Gfω,b在t=b附近观察时域信号ft，在ω附近观察频域信号Fω。因此，只要选择合适的窗函数g4.2时窗、频窗和时频窗定义4.2.1设gtt∗为时窗中心，称∆t=为时窗半径。可令−∞窗函数gtt∗∆t=在以上定义下，时窗函数gt的窗口为t∗−由定义可推出窗函数gt−bt∗∆t定义4.2.2设gt是时窗函数，则称Gω∗是频窗中心，称∆ω=是频窗半径。当频窗平移η后，即频窗为Gωω∗∆ωGω−η=∆ω（4.2.11）由以上可知，若gt是时窗函数，则要求式（4.2.4）和式（4.2.5）中t∗和∆tgt<类似地，若GωGω因此，gt和Gω应该同时具有较强的衰减性。另外不是任何的函数都可以作为窗函数，例如δt4.4基于MATLAB的窗口傅里叶变换用MATLAB语言分别对线调频信号进行加矩形窗处理和加Blackman窗处理，并且绘制出原信号、原信号的幅度谱、时频谱图、谱图的等高线。程序运行结果：图4.1线调频信号加矩形窗的分析结果结果分析：如图所示，给出了线调频信号加矩形窗的傅里叶分析结果，即用函数timefreq加矩形窗分析线调频信号ft程序运行结果：图4.2线调频信号加Blackman窗的分析结果结果分析：如图所示，给出了线调频信号加Blackman窗的傅里叶分析结果，即用函数timefreq加Blackman窗分析线调频信号ft=expj2π对比上述两幅图，第一幅图加矩形窗时的处理效果具有显著的干扰，没有第二幅图加Blackman窗时处理效果那么好。由于矩形窗在频域的局部化特性不如Blackman窗好，则在实际中，Blackman窗和Hamming窗应用的更为广泛，而很少使用矩形窗。5总结与展望由于我在大二的时候学习过《积分变换与场论》和《常微分方程》这两本书，并且都有涉及到傅里叶变换和拉普拉斯变换的内容，当时就对傅里叶变换很感兴趣，于是毕设题目我就选择了《时间信号的傅里叶变换及MATLAB实现》进行了深入研究。本次毕业设计包含了以下三部分内容。本文的第一部分研究的是连续时间的傅里叶变换。首先给