高考数学一轮复习练案37第六章不等式第一讲不等关系与不等式含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第六章不等式第一讲不等关系与不等式A组基础巩固一、单选题1．(2021·河北承德第一中学月考)下列命题正确的是(C)A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bd〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质．对于A，若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，取a＝1，b＝－1不成立；对于B，若a>b，则a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，则ac>bd，即a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故选C.2．已知a，b，c均为实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(C)A．a2>b2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．ln2a<ln2b D．ac2>bc〖〖解析〗〗∵a，b，c∈R，且a>b，不妨，令a＝1，b＝－1，则12＝(－1)2，可排除A；eq\f(1,1)>eq\f(1,－1)＝－1，可排除B；1×02＝(－1)×02＝0，可排除D；对于C，当a>b时，由指数函数y＝2x的单调递增的性质可知，2a>2b，又因为对数函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln2a>ln2b成立，故C正确．3．(2021·重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是(D)A．若a>b，c>d，则ab>cdB．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<bC．若c<b<a，且ac<0，则ac2<bc2D．若|a|<b，则a＋b>0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质与不等关系．A项，不妨令a＝－1，b＝－2，c＝4，d＝1，显然满足a>b，c>d，但不满足ab>cd，故A不成立；B项，不妨令a＝1，b＝－1，显然满足eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，但不满足a<b，故B不成立；C项，因为ac<0，所以c2>0，又因为b<a，所以bc2<ac2，故C不成立；D项，若|a|<b，则b－|a|>0，即b>±a，所以a＋b>0，故D一定成立．故选D.〖关键点拨〗本题要选择的是一定成立的，因而对于不成立的选项，不必证明，只要找到反例即可．4．(2021·安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是(B)A．eq\f(a,b)>eq\f(a,c) B．a(c－b)<0C．ac2>bc2 D．ab(b－a)>0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质．因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则eq\f(a,b)<eq\f(a,c)，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．故选B.5．(2021·陕西西安中学月考)若b<c，则(D)A．|b|<|c| B．2b>2C．lg(c－b)<0 D．b3－c3<0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质，函数的单调性．A项，当b<c≤0时，|b|>|c|，A错误；B项，因为b<c且y＝2x在R上单调递增，所以2b<2c，B错误；C项，特值法：当b＝1<c＝11时，lg(c－b)＝1>0，C错误；D项，因为b<c，所以b3<c3，即b3－c3<0，D正确．故选D6．(2021·河南南阳统考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(A)A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>Q〖〖解析〗〗不妨取a＝b＝eq\f(1,2)，则P－Q＝eq\f(1,4)(x＋y)2－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)y2＝－eq\f(1,4)(x－y)2≤0，∴P≤Q，故选A.7．(2021·辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga3<logb3”是“3a>3b>3”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件〖〖解析〗〗本题考查充分条件、必要条件的判断，不等式的性质，由loga3<logb3，得0<b<a<1或0<a<1<b或a>b>1，由3a>3b>3，得a>b>1，∴“loga3<logb3”是“3a>3b>3〖方法总结〗充分条件、必要条件的判定(1)定义法：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)集合法：A⊆B，A是B的充分条件，B是A的必要条件；(3)命题法：原命题成立，即若p则q真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．二、多选题8．(2021·山东临沂质检)已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(BC)A．ab>ac B．abc<0C．a2c<b2c D．ac(a－c〖〖解析〗〗∵a>b>c且ac<0，∴a>0，c<0，a－b>0，a－c>0，∴ab>ac，ac(a－c)<0，∴选项A，D正确．故选B、C.9．(2021·四川绵阳诊断改编)若b<a<0，则下列结论正确的是(BD)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ab>a2C．|a|＋|b|>|a＋b| D．eq\r(3,a)>eq\r(3,b)〖〖解析〗〗对于A：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，故A不正确．对于B：∵a<0，∴ab>a2.正确．对于C：取b＝－2，a＝－1，显然b<a<0，但|a|＋|b|＝3＝|a＋b|，∴|a|＋|b|>|a＋b|错，故C不正确．对于D：y＝eq\r(3,x)为增函数，所以eq\r(3,a)>eq\r(3,b)正确．故选B、D.10．已知下列四个结论正确的是(CD)A．a>b⇔ac>bcB．a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D．a>b>1，c<0⇒ac<bc〖〖解析〗〗当c＝0时，A不正确．当a>0>b时，B不正确．由于c>d>0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，C正确．易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，由于a>b>1，c<0，故ac<bc，D正确．故选C、D.三、填空题11．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有①②④．〖〖解析〗〗运用倒数性质，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．12．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))．〖〖解析〗〗∵0<α<eq\f(π,2)，∴0<2α<π.又0≤β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0.∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π，即2α－eq\f(β,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)).四、解答题13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．〖〖解析〗〗设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5))).当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．14．已知－1<x＋y<4，且2<x－y<3，求z＝2x－3y的取值范围．〖〖解析〗〗解法一：(待定系数法)：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))从而2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，又由已知得－2<－eq\f(1,2)(x＋y)<eq\f(1,2)，5<eq\f(5,2)(x－y)<eq\f(15,2)，∴3<－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)<8，即z∈(3，8)．解法二：(线性规划法)：－1<x＋y<4且2<x－y<3表示的平面区域如图，其中，A(3，1)，B(1，－2)．当目标函数z＝2x－3y经过点A时，z取值3，当z＝2x－3y经过点B时，z取值8，故z∈(3，8)．B组能力提升1．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是(AD)A．a2>b2 B．ab<b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2 D．|a|＋|b|>|a＋b|2．(多选题)(2020·山东潍坊二模)若a<b<－1，c>0，则下列不等式中一定成立的是(BD)A．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) B．a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)C．ln(b－a)>0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(c)〖〖解析〗〗本题考查利用函数的性质及不等式的性质比较大小．由函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在(－∞，－1)上为增函数可知，当a<b<－1时，a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，故A错误；由函数g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上为增函数可知，当a<b<－1时，a＋eq\f(1,a)<b＋eq\f(1,b)，即a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)，故B正确；由a<b，得b－a>0，但不确定b－a与1的大小关系，故ln(b－a)与0的大小关系也不确定，故C错误；由a<b<－1可知，eq\f(a,b)>1，0<eq\f(b,a)<1，而c>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)>1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(c)>0，故D正确．故选BD.3．(2021·河北“五个一名校联盟”诊断)若p>1，0<m<n<1，则下列不等式正确的是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up12(p)>1 B．eq\f(p－m,p－n)<eq\f(m,n)C．m－p<n－p D．logmp>lognp〖〖解析〗〗对于选项A，由0<m<n<1可得0<eq\f(m,n)<1，又p>1，所以0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up12(p)<1，故A不正确；对于选项B，由于p－m>0，p－n>0，所以eq\f(p－m,p－n)<eq\f(m,n)等价于n(p－m)<m(p－n)，可得n<m，不合题意，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m<n<1，所以m－p>n－p，故C不正确：对于选项D，结合对数函数的图象可得当p>1，0<m<n<1时，logmp>lognp，故D正确．故选D.4．(2021·河南郑州重点高中期中联考)已知0<a<b<1，则在aa，ab，ba，bb中，最大的是(C)A．aa B．abC．ba D．bb〖〖解析〗〗∵0<a<b<1，∴ba>aa>ab，且ba>bb，∴最大的是ba，故选C.5．(2021·福建厦门质量检查)已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(A)A．x<z<y B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x〖〖解析〗〗∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，∴y－z＝a(ea－eb)，又a>b>0，e>1，∴ea>eb，∴y>z，z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，又a>b>0，eb>1，∴z>x.综上，x<z<y.故选A.第六章不等式第一讲不等关系与不等式A组基础巩固一、单选题1．(2021·河北承德第一中学月考)下列命题正确的是(C)A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bd〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质．对于A，若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，取a＝1，b＝－1不成立；对于B，若a>b，则a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，则ac>bd，即a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故选C.2．已知a，b，c均为实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(C)A．a2>b2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．ln2a<ln2b D．ac2>bc〖〖解析〗〗∵a，b，c∈R，且a>b，不妨，令a＝1，b＝－1，则12＝(－1)2，可排除A；eq\f(1,1)>eq\f(1,－1)＝－1，可排除B；1×02＝(－1)×02＝0，可排除D；对于C，当a>b时，由指数函数y＝2x的单调递增的性质可知，2a>2b，又因为对数函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln2a>ln2b成立，故C正确．3．(2021·重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是(D)A．若a>b，c>d，则ab>cdB．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<bC．若c<b<a，且ac<0，则ac2<bc2D．若|a|<b，则a＋b>0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质与不等关系．A项，不妨令a＝－1，b＝－2，c＝4，d＝1，显然满足a>b，c>d，但不满足ab>cd，故A不成立；B项，不妨令a＝1，b＝－1，显然满足eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，但不满足a<b，故B不成立；C项，因为ac<0，所以c2>0，又因为b<a，所以bc2<ac2，故C不成立；D项，若|a|<b，则b－|a|>0，即b>±a，所以a＋b>0，故D一定成立．故选D.〖关键点拨〗本题要选择的是一定成立的，因而对于不成立的选项，不必证明，只要找到反例即可．4．(2021·安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是(B)A．eq\f(a,b)>eq\f(a,c) B．a(c－b)<0C．ac2>bc2 D．ab(b－a)>0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质．因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则eq\f(a,b)<eq\f(a,c)，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．故选B.5．(2021·陕西西安中学月考)若b<c，则(D)A．|b|<|c| B．2b>2C．lg(c－b)<0 D．b3－c3<0〖〖解析〗〗本题考查不等式的性质，函数的单调性．A项，当b<c≤0时，|b|>|c|，A错误；B项，因为b<c且y＝2x在R上单调递增，所以2b<2c，B错误；C项，特值法：当b＝1<c＝11时，lg(c－b)＝1>0，C错误；D项，因为b<c，所以b3<c3，即b3－c3<0，D正确．故选D6．(2021·河南南阳统考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(A)A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>Q〖〖解析〗〗不妨取a＝b＝eq\f(1,2)，则P－Q＝eq\f(1,4)(x＋y)2－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)y2＝－eq\f(1,4)(x－y)2≤0，∴P≤Q，故选A.7．(2021·辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga3<logb3”是“3a>3b>3”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件〖〖解析〗〗本题考查充分条件、必要条件的判断，不等式的性质，由loga3<logb3，得0<b<a<1或0<a<1<b或a>b>1，由3a>3b>3，得a>b>1，∴“loga3<logb3”是“3a>3b>3〖方法总结〗充分条件、必要条件的判定(1)定义法：p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)集合法：A⊆B，A是B的充分条件，B是A的必要条件；(3)命题法：原命题成立，即若p则q真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．二、多选题8．(2021·山东临沂质检)已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(BC)A．ab>ac B．abc<0C．a2c<b2c D．ac(a－c〖〖解析〗〗∵a>b>c且ac<0，∴a>0，c<0，a－b>0，a－c>0，∴ab>ac，ac(a－c)<0，∴选项A，D正确．故选B、C.9．(2021·四川绵阳诊断改编)若b<a<0，则下列结论正确的是(BD)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ab>a2C．|a|＋|b|>|a＋b| D．eq\r(3,a)>eq\r(3,b)〖〖解析〗〗对于A：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，故A不正确．对于B：∵a<0，∴ab>a2.正确．对于C：取b＝－2，a＝－1，显然b<a<0，但|a|＋|b|＝3＝|a＋b|，∴|a|＋|b|>|a＋b|错，故C不正确．对于D：y＝eq\r(3,x)为增函数，所以eq\r(3,a)>eq\r(3,b)正确．故选B、D.10．已知下列四个结论正确的是(CD)A．a>b⇔ac>bcB．a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D．a>b>1，c<0⇒ac<bc〖〖解析〗〗当c＝0时，A不正确．当a>0>b时，B不正确．由于c>d>0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，C正确．易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，由于a>b>1，c<0，故ac<bc，D正确．故选C、D.三、填空题11．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有①②④．〖〖解析〗〗运用倒数性质，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．12．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))．〖〖解析〗〗∵0<α<eq\f(π,2)，∴0<2α<π.又0≤β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0.∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π，即2α－eq\f(β,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)).四、解答题13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．〖〖解析〗〗设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5))).当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．14．已知－1<x＋y<4，且2<x－y<3，求z＝2x－3y的取值范围．〖〖解析〗〗解法一：(待定系数法)：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))从而2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，又由已知得－2<－eq\f(1,2)(x＋y)<eq\f(1,2)，5<eq\f(5,2)(x－y)<eq\f(15,2)，∴3<－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)<8，即z∈(3，8)．解法二：(线性规划法)：－1<x＋y<4且2<x－y<3表示的平面区域如图，其中，A(3，1)，B(1，－2)．当目标函数z＝2x－3y经过点A时，z取值3，当z＝2x－3y经过点B时，z取值8，故z∈(3，8)．B组能力提升1．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是(AD)A．a2>b2 B．ab<b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2 D．|a|＋|b|>|a＋b|2．(多选题)(2020·山东潍坊二模)若a<b<－1，c>0，则下列不等式中一定成立的是(BD)A．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) B．a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)C．ln(b－a)>0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(c)〖〖解析〗〗本题考查利用函数的性质及不等式的性质比较大小．由函数f(x)＝x－eq\f(1,x)在(－∞，－1)上为增函数可知，当a<b<－1时，a－eq\f(1,a)<b－eq\f