高考数学一轮复习练案12第二章函数导数及其应用第九讲函数与方程含解析新人教版

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第九讲函数与方程A组基础巩固一、单选题1．若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，则与f(0)符号相同的是(C)A．f(4) B．f(2)C．f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))〖〖解析〗〗本题实质考查二分法．由题意知f(x)的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，可知f(0)与f(1)符号相同．2．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(C)A．(0，1) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，＋∞)〖〖解析〗〗易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．3．函数f(x)＝x·cos2x在区间〖0，2π〗上的零点的个数为(D)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗借助余弦函数的图象求解，f(x)＝x·cos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在〖0，2π〗上有eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4)，共4个根，故原函数有5个零点．4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为(C)A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．—个也没有〖〖解析〗〗因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.5．(2021·山东青岛模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(C)A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0〖〖解析〗〗在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logeq\s\do9(\f(1,2))x0，即f(x0)<0.6．(2021·湖南永州模拟)若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(D)A．(－∞，0) B．〖0，＋∞)C．(－∞，1) D．〖1，＋∞)〖〖解析〗〗由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D.7．(2021·广西宜州联考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈〖0，1〗时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(B)A．5 B．4C．3 D．2〖〖解析〗〗∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈〖0，1〗时，f(x)＝x，故当x∈〖－1，0〗时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.二、多选题8．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递减的是(AD)A．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3〖〖解析〗〗函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0.对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选A、D.9．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点可以是(AC)A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．2〖〖解析〗〗2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－eq\f(1,2)，故选A、C.10．已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是(AC)A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)〖〖解析〗〗本题考查函数的性质和零点问题，因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确，故选AC.三、填空题11．已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).12．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(0，1〗．〖〖解析〗〗当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1〗．13．(2021·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝2．〖〖解析〗〗因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.14．(2021·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为eq\f(3,2)．〖〖解析〗〗因为函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是eq\f(1,2)，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为eq\f(3,2).15．(2021·广东阳江调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,log\s\do9(\f(1,2))x，x≥1，))若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是(－1，0)．〖〖解析〗〗关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)．B组能力提升1．y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表：x123456y0.5－3－234－4则y＝f(x)在区间(1，6)上零点个数为(D)A．3个 B．奇数C．偶数 D．至少3个〖〖解析〗〗由表可知，在(1，2)，(3，4)，(5，6)三个区间内，y＝f(x)各至少有一个零点，故在(1，6)内至少有3个零点．2．函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．6〖〖解析〗〗函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点个数，即方程|lgx2|＝－x2＋2|x|的根的个数，考虑g(x)＝|lgx2|，h(x)＝－x2＋2|x|，定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，当x>0时，g(x)＝|2lgx|，h(x)＝－x2＋2x，作出函数图象：两个函数一共有两个交点，即当x>0时，|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，根据对称性可得：当x<0时|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，所以|lgx2|＝－x2＋2|x|一共4个根，即函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为4.故选C.3．(多选题)设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(AD)A．f(x)＝(2x－1)2 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2) D．f(x)＝4x－1〖〖解析〗〗选项A，x1＝eq\f(1,2)；选项B，x1＝0；选项C，x1＝eq\f(3,2)或－eq\f(1,2)；选项D，x1＝eq\f(1,4).因为g(1)＝4＋2－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋1－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).选项中，x1＝eq\f(1,2)和x1＝eq\f(1,4)时，满足|x1－x2|≤0.25.故选A、D.4．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(A)A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)〖〖解析〗〗由题意，知f′(x)＝ex＋1>0在x∈R上恒成立，故函数f(x)在R上单调递增，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝eq\f(1,x)＋1>0在x∈(0，＋∞)内恒成立，故函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递增．又g(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A.5．(2021·天津部分区质量调查)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋1），－1<x<0，,－x2＋2x，x≥0，))若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))〖〖解析〗〗假设a<b<c，通过作图可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，b＋c＝2，所以a＋b＋c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，故选D.第九讲函数与方程A组基础巩固一、单选题1．若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，则与f(0)符号相同的是(C)A．f(4) B．f(2)C．f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))〖〖解析〗〗本题实质考查二分法．由题意知f(x)的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，可知f(0)与f(1)符号相同．2．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(C)A．(0，1) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，＋∞)〖〖解析〗〗易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．3．函数f(x)＝x·cos2x在区间〖0，2π〗上的零点的个数为(D)A．2 B．3C．4 D．5〖〖解析〗〗借助余弦函数的图象求解，f(x)＝x·cos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在〖0，2π〗上有eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4)，共4个根，故原函数有5个零点．4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为(C)A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．—个也没有〖〖解析〗〗因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.5．(2021·山东青岛模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足(C)A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0〖〖解析〗〗在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logeq\s\do9(\f(1,2))x0，即f(x0)<0.6．(2021·湖南永州模拟)若函数f(x)＝2|x|－k存在零点，则k的取值范围是(D)A．(－∞，0) B．〖0，＋∞)C．(－∞，1) D．〖1，＋∞)〖〖解析〗〗由函数f(x)＝2|x|－k存在零点，得2|x|＝k有解，作出函数y＝2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)＝2|x|－k存在零点，只需y＝2|x|与y＝k的图象有交点，则k≥1，故选D.7．(2021·广西宜州联考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈〖0，1〗时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(B)A．5 B．4C．3 D．2〖〖解析〗〗∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.当x∈〖0，1〗时，f(x)＝x，故当x∈〖－1，0〗时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.二、多选题8．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递减的是(AD)A．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3〖〖解析〗〗函数y＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋1)在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，且x＝0时y＝0.对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选A、D.9．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点可以是(AC)A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．2〖〖解析〗〗2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－eq\f(1,2)，故选A、C.10．已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，且f(－3)·f(6)<0，那么下列结论中正确的是(AC)A．f(x)可能有三个零点 B．f(3)·f(－4)≥0C．f(－4)<f(6) D．f(0)<f(－6)〖〖解析〗〗本题考查函数的性质和零点问题，因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)<0，所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)<0，f(6)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3，6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确，故选AC.三、填空题11．已知函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为－eq\f(1,2)．〖〖解析〗〗由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).12．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(0，1〗．〖〖解析〗〗当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1〗．13．(2021·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝2．〖〖解析〗〗因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.14．(2021·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为eq\f(3,2)．〖〖解析〗〗因为函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是eq\f(1,2)，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为eq\f(3,2).15．(2021·广东阳江调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,log\s\do9(\f(1,2))x，x≥1，))若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是(－1，0)．〖〖解析〗〗关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)．B组能力提升1．y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，相应的x值与y的值如下表：x123456y0.5－3－234－4则y＝f(x)在区间(1，6)上零点个数为(D)A．3个 B．奇数C．偶数 D．至少3个〖〖解析〗〗由表可知，在(1，2)，(3，4)，(5，6)三个区间内，y＝f(x)各至少有一个零点，故在(1，6)内至少有3个零点．2．函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为(C)A．2 B．3C．4 D．6〖〖解析〗〗函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点个数，即方程|lgx2|＝－x2＋2|x|的根的个数，考虑g(x)＝|lgx2|，h(x)＝－x2＋2|x|，定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，当x>0时，g(x)＝|2lgx|，h(x)＝－x2＋2x，作出函数图象：两个函数一共有两个交点，即当x>0时，|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，根据对称性可得：当x<0时|lgx2|＝－x2＋2|x|有两根，所以|lgx2|＝－x2＋2|x|一共4个根，即函数f(x)＝|lgx2|＋x2－2|x|的零点的个数为4.故选C.3．(多选题)设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(AD)A．f(x)＝(2x－1)2 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2) D．f(x)＝4x－1〖〖解析〗〗选项A，x1＝eq\f(1,2)；选项B，x1＝0；选项C，x1＝eq\f(3,2)或－eq\f(1,2)；选项D，x1＝eq\f(1,4).因为g(1)＝4＋2－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋1－2>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs