新高考一轮复习导学案第74讲 排列与组合（原卷版）

第74讲排列与组合知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．2.分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．3.排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝__eq\f(n！,（n－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)Aeq\o\al(n,n)＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，规定0！＝__1__．4.组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝__eq\f(n！,m！（n－m）！)__(n，m∈N*，并且m≤n)．(4)组合数的性质：性质1：Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__．性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)__．性质3：mCeq\o\al(m,n)＝__n·Ceq\o\al(m－1,n－1)__．1、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．12种 B．24种 C．36种 D．48种2、将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．60种 B．120种 C．240种 D．480种3、某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．4、）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．30种 B．60种 C．120种 D．240种5、有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．120 B．60 C．40 D．306、某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种1、已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中：①Aeq\o\al(3,6)＝120；②Aeq\o\al(7,12)＝Ceq\o\al(7,12)·Aeq\o\al(7,7)；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m+1,n＋1)；④Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.42、某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有()A.12种B.24种C.72种D.120种3、不等式Aeq\o\al(x,8)<6×Aeq\o\al(x－2,8)的解集为()A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}4、（多选题）将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（）A.编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360B.编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36C.恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40D.恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30考向一排列问题例1、有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.变式1、用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)五位数？(2)五位奇数？(3)五位偶数？变式2、（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有________个．变式3、7位同学站成一排照相．(1)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(4)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．考向二组合问题例2、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)现要从中选出2个球，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出红球、白球各2个，有多少种不同的选法？变式1、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．，从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？变式2、在2021中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机.若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）A．51种 B．168种 C．224种 D．336种方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．考向三排列与组合综合性问题例3、有6本不同的书．(1)分成三份：①每份2本，有多少种不同的分法？②1份4本，另2份各1本，有多少种不同的分法？③1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙3人：①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种不同的分法？②1人1本，1人2本，1人3本，有多少种不同的分法？③每人2本，有多少种不同的分法？④1人4本，另2人各1本，有多少种不同的分法？变式1、（1）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种（2）假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（）A．20种 B．14种 C．12种 D．10种变式2、国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A．65 B．125 C．780 D．1560变式3、当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）A．30种 B．36种 C．42种 D．64种变式4、（多选题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．1、某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为（）A．48 B．60 C．96 D．1682、为了支援山区教育，现在安排SKIPIF1<0名大学生到SKIPIF1<0个学校进行支教活动，每个学校至少安排SKIPIF1<0人，其中甲校至少要安排SKIPIF1<0名大学生，则不同的安排方法共有（）种A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动，若每个赛区两名志愿者，则安排方式共有（）A．15种 B．90种 C．540种 D．720种4、某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）.5、为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_______种．6、过氧化氢（SKIPIF1<0）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化SKIPIF1<0和SKIPIF1<0直接合成SKIPIF1<0目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0