2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之图形与几何综合含答案

2024～2025学年中考数学考前20天终极冲刺专题之图形与几何综合一、解答题1．（1）如图1，BP平分∠ABC,M,N分别在射线BA,（2）如图2，在△ABC中，CP⊥CB交边AB于点P,PH⊥AC于点H．已知∠ACP=∠B,（3）如图3，在等边△ABC中，点D在边AB上，P为BA延长线上一点，E为边AC上一点，已知CA平分∠PCD,∠ADE=∠CPD,2．已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）如图①，线段EF，CF之间的数量关系为，∠EFC的度数为；（2）如图②，将△AED绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α<30°)，请判断线段EF，CF之间的数量关系及∠EFC的度数，并说明理由；（3）若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到直线AB上时，连接BE，若BC=3，AD=2，请直接写出BE的长．3．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ABC=60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的延长线于点H．（1）当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；（2）求线段BD的长；（3）当△APH为直角三角形时，求HPPC（4）如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．4．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．（1）求证：DM是⊙O的切线；（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．①当tan∠BAP=13时，求②求CQAP5．已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为AC的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证BC=2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB=DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF=3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM，AT=42，求AB6．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．7．已知正方形ΑΒCD的对角线ΑC，ΒD相交于点Ο．（1）如图1，Ε，G分别是ΟΒ，ΟC上的点，CΕ与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CΕ，求证：ΟΕ=ΟG；（2）如图2，Η是ΒC上的点，过点Η作ΕΗ⊥ΒC，交线段ΟΒ于点Ε，连结DΗ交CΕ于点F，交ΟC于点G．若ΟΕ=ΟG，①求证：∠ΟDG=∠ΟCΕ；②当ΑΒ=1时，求ΗC的长．二、实践探究题8．已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点.

①②③（1）【建立模型】如图①所示，连接BE，DE.求证：BE=DE；（2）【模型应用】如图②所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，判断△FBG的形状，并说明理由；（3）【模型迁移】如图③所示，F是DE延长线上一点，EF交AB于点G，FB⊥BE，BE=BF，求证：GE=(2-1)DE.9．【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）【拓展应用】当m=3，AB=47，DE=4时，将10．（1）【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．（2）【变式求异】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求PQQM（3）【拓展应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求PQQM的值（用含m，n11．【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC（1）【特例证明】如图1，将RtΔPEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．①填空：k=▲；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明ΔPAM≅ΔPBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．)（2）【类比探究】如图2，将图1中的ΔPEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．（3）【拓展运用】如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．12．【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α．点D在边BC上将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．（1）【尝试探究】如图1，当α=60°时，易知AF=BE；如图2，当α=45°时，则AF与BE的数量关系为；（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；（3）【拓展应用】如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时．若BC=47，BD=1513．【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a，BC=b，由勾股定理，得AC2=（1）【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a，（2）【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a，BC=b，（3）【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8，BC=12，点P在边AD上，则PB14．综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；（1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．（3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．15．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求16．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.2.如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF.求证：CE=DF.证明：设CE与DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD.∴∠BCE+∠DCE=90°.∵CE⊥DF，∴∠COD=90°.∴∠CDF+∠DCE=90°.∴∠CDF=∠BCE.∴△CBE≌△DFC.∴CE=DF.某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究（1）【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.试猜想EGFH（2）【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.则EGFH=（3）【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E、F分别在线段AB、AD上，且CE⊥BF.求CEBF17．（1）【基础巩固】

如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．（2）【尝试应用】

如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC（3）【拓展提高】

如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

18．如图，（1）【推理】

如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.求证：△BCE≌△CDG.（2）【运用】

如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H.若HDHF=4（3）【拓展】

将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若ABBC=k，HDHF19．如图（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC（2）【尝试应用】如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长.（3）【拓展提高】如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=1三、综合题20．如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．（1）若点M的坐标为（3，4），①求A，B两点的坐标；②求ME的长．（2）若OKMK（3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1），OKMK21．（1）[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．22．如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO=DG，连接GB，GC，OB，OC（1）求证：四边形BOCG为菱形．（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．23．综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE=°，设AC=1，BC=x，那么AE=（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：底BC腰AC=5拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．（3）拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求这个菱形较长对角线的长．24．综合与实践．（1）提出问题.如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．①∠BOC的度数是．②BD：CE=．（2）类比探究.如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．①∠AOB的度数是；②AD：BE=．（3）问题解决.如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．①说明△MND为等腰三角形．②求∠MND的度数．

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，又∵BP=BP,∴△BMP≌△BNP(SAS)，∴PM=PN；（2）解：如图，过C作CD⊥AB于点D．∵CP⊥CB,∴∠PCD=∠B，又∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠PCD，∵PH⊥AC，PD⊥CD，∴CH=CD=2，∴S（3）解：如图，在线段CP上取一点F，使CD=CF，并连结AF．∵CA平分∠PCD，∴∠FAC=∠ACD，又∵CD=CF,∴△CAF≌△CAD(SAS)，∴AF=AD=3,∴∠PAF=60°，∵∠PAF=∠DAE=60°，∠ADE=∠CPD，∴△PAF∽△DAE，∴APAD∴AP=92．【答案】（1）EF=CF；120°（2）解：EF=CF，∠EFC=120°；理由：如图，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN．∵BM=MA，BF=FD，∠ACB=90°，∴MF∥AD，MF=12AD∵AN=ND，∴MF=AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF=AM=MC，∠FMA=∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN=ND，∠AED=90°，∴EN=1在△AEN和△ACM中，∠AEN=∠EAN，∠MCA=∠MAC，∵∠MAC=∠EAN，∴∠AMC=∠ANE，又∵∠FMA=∠ANF，∴∠FMC=∠ENF，∴△MFC≌△ENF(SAS)，∴FE=FC，∠NFE=∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD=∠ABD，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，△BMC是等边三角形，∠MCB=60°，∴∠EFC=∠EFN+∠NFD+∠DFC=∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB=∠ABC+∠MCB=60°+60°=120°；（3）解：BE的长为21或573．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAB=∠ABC，∵点G是AB的中点，∴AG=BG，∵∠AGH=∠BGC，∴△AGH≌△BGC(AAS)；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=60°，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠ABD=1∴∠AOB=90°，∴AO=1∴BO=A∴BD=2BO=63（3）解：∵△APH为直角三角形，∴AP⊥AD，∴∠DAP=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠ADB=12∠ADC=30°，AD=AB=6∴AP=1∵AP2+A∴PD=43，AP=2∵AD∥BC，∠ABC=60°，∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−60°=120°，∴∠BAP=∠BAD−∠PAD=120°−90°=30°=∠ABP，∴BP=AP=23∵AD∥BC，∴△BPC∽△DPH，∴DP∴HP（4）解：∠CGN的度数是定值，如图，取BC的中点H，连接OH、HM、NC，，∵MN是CG的垂直平分线，∴GN=CN，GM=CM，∴∠NGC=∠GCN，∵点H是BC的中点，GM=CM，∴MH∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AC⊥BD，∠CBO=1∵点H是BC的中点，AO=CO，∴OH∥AB，∴点M、点H、点O三点共线，∵点H是BC的中点，AC⊥BD，∴HO=HB=CH，∴∠CBO=∠BOH=30°，∵∠COB=∠NMC=90°，∴∠CON+∠NMC=180°，∴点O、点C、点M、点N四点共圆，∴∠BOH=∠NCM=30°，∴∠CGN=∠NCM=30°．4．【答案】（1）证明：如图，连接OD，CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=180°−∠ADC=90°，∵点M为边BC的中点，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，即∠MCD+∠OCD=90°，∴∠MDC+ODC=∠MCD+∠OCD=90°，即∠ODM=90°，∴DM⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DM是⊙O的切线；（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，在Rt△ABC中，AB=A设PT=x，∵tan∠BAP=1∴PT∴AT=3PT=3x，∴BT=AB−AT=10−3x，∵tan∠ABC=PT∴x解得：x=8∴PT=8∵sin∠ABC=PTBP=∴BP=10当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，∵tan∠BAP=1∴BK设BK=a，则AK=3a，在Rt△ABK中，AK即(3a解得：a1=10，a∴AK=310，BK=∵S∴AP设BP=m，则AP=4在Rt△ACP中，AC即82解得：m1=509，∴BP=50综上所述，BP的长为103或50②设CP=n，则AP=A如图，∵AC是⊙O的直径，∴CQ⊥AP，∵CQ⋅AP=AC⋅CP，∴CQ=AC⋅CP∴CQ∵n>0，∴(∴64+n∴CQ∴CQAP的最大值为5．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵N为AC的中点，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC中位线，∴BC=2OH；（2）证明：如图，连接OC，设∠BDC=2α，∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，

∴△DOB≌△DOC，

∴∠BDO=∠CDO=12∠BDC=α，∴∠DBO=∠BDO=α，∴∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴DO∥AC；（3）解：连接AD，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌△CHE，∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴CE=AE=DF，∴∠EAC=∠ECA=α，∠AED=∠EAC+∠ECA=2α，∴∠BDC=∠AED，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴四边形ADFE矩形，∴∠EFD=90°，∴tan过点A作AS⊥DE垂足为S，∴sin∵FR⊥DC，∴sin∵FD∥AE，∴∠FDR=∠AES，∴sin∴FR=AS，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACS=90°，∵∠ASC=90°，∴∠CAS+∠ACS=90°，∴∠BCE=∠CAS，∵∠BCE=∠TCM，∴∠CAS=∠TCM，∵TM⊥DC，∴∠TMC=90°，∴∠TMC=∠ASC，∵FR=CM，∴AS=CM，∴△CAS≌△TCM，∴CT=AC，∵∠ACT=180°−90°=90°，∴∠CAT=∠CTA=45°，∴AC=AT⋅sin∵∠EDF=∠BAC，∴tan∴BC∴BC=6，∴AB=A6．【答案】[探究1]如图1，设BC=x，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，

∴AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，

∴D'B=AD'-AB=x-1，

∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，

又∵点C'在DB延长线上，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴D'C'AD=D'BAB，即1x=x−11，

解得x1=1+52，x2=1−52(不合题意，舍去)；

[探究2]D'M=DM，理由如下：

证明：如图2，连结DD'，

∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，

∴AD'=AD，∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB，

∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，

∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，

∵AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，

∴∠MDD'=∠MD'D，

∴D'M=DM；

[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：

证明：如图3，连结AM，

∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，

∴△AD'M≌△ADM(SSS)，

∴∠MAD'=∠MAD，

∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN=∠NAM，

∴MN=AN，

在△NAP与△NDA中，

∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，

∴△NAP∽△NDA，

∴PNAN=7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.∴AC⊥BD，OD=OC.∴∠DOG=∠COE=90°.∴∠OEC+∠OCE=90°.∵DF⊥CE.∴∠OEC+∠ODG=90°.∴∠ODG=∠OCE.∴△DOG≌△COE（ASA）.∴OE=OG.（2）①证明∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°.又OE=OG.∴△DOG≌△COE（SAS）.∴∠ODG=∠OCE.②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1∴BH=1-x∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°∵EH⊥BC∴∠BEH=∠EBH=45°∴EH=BH=1-x∵∠ODG=∠OCE∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE∴∠HDC=∠ECH∵EH⊥BC∴∠EHC=∠HCD=90°∴△CHE∽△DCH∴EHHC=HC∴HC2=EH·CD得x2+x-1=0解得x1=5−12，x2=∴HC=5−18．【答案】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°.∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE.（2）解：△FBG为等腰三角形.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=90°，∴∠AGD+∠ADG=90°.由(1)知△ABE≌△ADE，∴∠ADG=∠EBG，∴∠AGD+∠EBG=90°.∵FB⊥BE，∴∠EBF=90°，∴∠FBG+∠EBG=90°，∴∠AGD=∠FBG.∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，∴FG=FB，∴△FBG是等腰三角形.（3）证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE=90°.在Rt△EBF中，BE=BF，∴EF=BE2+BF由(1)知BE=DE，由(2)知FG=BF，∴FG=BF=BE=DE，∴GE=EF-FG=2BE-DE=2DE-DE=(2-1)DE.9．【答案】（1）BE⊥AD（2）解：成立；理由如下：

∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵DCCE∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=90°，∴∠AGB=180°−90°=90°，∴BE⊥AD；（3）解：当点E在线段AD上时，连接BE，如图所示：设AE=x，则AD=AE+DE=x+4，根据解析（2）可知，△DCA∽△ECB，∴BEAD∴BE=3根据解析（2）可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE即x2解得：x=2或x=−8（舍去），∴此时BE=3当点D在线段AE上时，连接BE，如图所示：设AD=y，则AE=AD+DE=y+4，根据解析（2）可知，△DCA∽△ECB，∴BEAD∴BE=3根据解析（2）可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE即(y+4)2解得：y=4或y=−6（舍去），∴此时BE=3综上分析可知，BE=63或410．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°-∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，∠A=∠DCMAD=CD∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如图2，作QN⊥BC于点N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四边形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴PQQM∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴AB=A∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴DQBC∴DQ=16∴PQQM（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC-CQ＝（m-mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴BC=A如图3，作QN⊥BC于点N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴PQQM∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴QNBA∴QN=mn∴PQQM11．【答案】（1）解：①1；②证明：∵四边形ABCD是正方形，△EPF是直角三角形.∴∠APB=∠MPN=90°，∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，∴∠APB−∠BPM=∠MPN−∠BPM，即∠APM=∠BPN，∴△PAM≅△PBN(∴PM=PN．（2）解：PMPN过点P作PG//BD交BC于G，如图∴∠AOB=∠APG，∠PGC=∠OBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°，∠PGC=∠PCG=∠PAM，∴PG=PC，∠APG−∠MPG=∠MPN−∠MPG，即∠APM=∠GPN，∴△PAM∽△PGN，∴PM（3）解：过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°，∴∠MPN−∠GPN=∠GPH−∠GPN，即∠MPG=∠NPH，∴∠PMG=∠PNH，由（2）得PMPN=k

∴PM=kPN，

又∴PM=EN，∴△PGM≅△ECN(∴GM=CN，PG=EC，∵∠BPN=∠PCB=45°，∠PBN=∠CBP，∴△BPN∽△BCP，∴PB∴PB2=BC⋅BN，

∵BC=BA，∴BM=BN，∴AM=CN=GM，∴AG=2CN，∵∠PAB=45°，∴PG=AG，∴EC=2CN，∴tan令HN=a，则PH=2a，CN=3a，EC=6a，∴EN=(PN=a∴k=EN12．【答案】（1）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∠ACB=α，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°−2α．∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=α，∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．∴∠EFC=180°−2α．∴∠BAC=∠EFC．∴△ABC∽△FEC．∴BCEC∴BCAC∵∠ACB=∠FCE=α，∴∠BCE=∠ACF．∴△BCE∽△ACF．∴BEAF∵AB=AC，H为BC的中点，∴BC=2CH．在Rt△AHC中，∠AHC=90°，∴cos∠ACH=∴BEAF∴BE=2cos又α=45°，∴BE=2（2）解：BE=2cos如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∠ACB=α，∴∠ABC=∠ACB=α，∴∠BAC=180°−2α．∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=α，∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．∴∠EFC=180°−2α．∴∠BAC=∠EFC．∴ΔABC∽ΔFEC．∴BCEC∴BCAC∵∠ACB=∠FCE=α，∴∠BCE=∠ACF．∴△BCE∽△ACF．∴BEAF∵AB=AC，H为BC的中点，∴BC=2CH．在Rt△AHC中，∠AHC=90°，∴cos∠ACH=∴BEAF∴BE=2cos（3）解：AF=4如图，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，∴DM∥CH．∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，∴DB=DE．∴BM=EM．∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=30°，∴FE=FC，∠FEC=∠FCE=30°．∴∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°．∴∠HCF=180°−∠H−∠HFC=30°．∴FC=2FH．∵FE=FC，∴FE=2FH．设BM=x，则BE=2x，∵DM∥CH，∴BMBH∴BH=5BM=5x．∴EH=BH−BE=3x．∵FE=2FH，∴FE=FC=2x，FH=x．∴HC=3在Rt△BHC中，∠BHC=90°，BC=47∴BH∴(5x)2+(∴BE=2x=4．∵△BEC∽△AFC，∴AF=313．【答案】（1）解：结论依然成立，理由如下：

作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠AEB=∠CFD=90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，若AB=a，BC=b，

∴AB=DC=a，AD∥BC，AD=BC=b，∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴AE=DF，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，

∴BE=CF，

∴AC2+BD2=AE2（2）证明：延长BO到点C，使OD=BO，

∵BO为△ABC的一条中线，

∴OA=CO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=a，BC=b，AC=c．

∴由【探究发现】可知，AC2+BD2=2(AB2+BC（3）20014．【答案】（1）解：AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）解：在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；（3）解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4515．【答案】（1）解：∵将ΔAEB沿BE翻折到ΔBEF处，四边形ABCD是正方形，∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，∴∠BFG=90°=∠C，∵AB=BC=BF，BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设FH=HC=x，在Rt△BCH中，BC∴8解得x=7∴DH=DC−HC=11∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，∴ΔBFG∽ΔBCH，∴BFBC=∴BG=254，∵EQ//GB，∴ΔEFQ∽ΔGFB，ΔDHQ∽ΔCHB，∴BCDQ=∴DQ=88设AE=EF=m，则DE=8−m，∴EQ=DE+DQ=8−m+88∵ΔEFQ∽ΔGFB，∴EQBG=解得m=9∴AE的长为92（3）解：（Ⅰ）当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD设DQ=x，QE=y，则AQ=6−x，∵CP//∴ΔCPE∽ΔQDE，∴CP∴CP=2x，∵ΔADE沿AE翻折得到ΔAFE，∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，∴AE是ΔAQF的角平分线，∴AQAF=QE∵∠D=60°，∴DH=12DQ=12在Rt△HQE中，HE∴(1−联立①②可解得x=3∴CP=2x=3（Ⅱ）当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交同理∠Q∴AQ'由HQ'2可解得x=12∴CP=1综上所述，CP的长为32或616．【答案】（1）解：EGFH过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴AM＝HF，AN＝EG，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM＝AN，即EG＝FH，∴EGFH（2）n（3）解：∵∠ABC=60°，AB=BC，∴ΔABC是等边三角形，∴设AB=BC=AC=a，过点CN⊥AB，垂足为N，交BF于点M，则AN=BN=1在RtΔBCN中，CN=B∵CN⊥AB，CE⊥BF，∴∠ABF+∠BMN=90°，∠ECN+∠CMF=90°，又∵∠CMF=∠BMN，∴∠ABF=∠ECN，∵CN⊥AB，∠DAB=90°，∴∠DAB=∠CNE=90°，∴ΔNCE∽ΔABF，∴CEBF=CN17．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF．∴DGBF=∴DG∵BF=CF，∴DG=EG．（2）解：由(1)得DG=EG，∵CG⊥DE，∴CE=CD=6．∵AE=3，∴AC=AE+CE=9．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴DE（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连结FM，作MN⊥BC，垂足为N．在▱ABCD中，BO=DO，∠ABC=∠ADC=45°．∵EG∥BD，∴由(1)得ME=GE，∵EF⊥EG，∴FM=FG=10，∴∠EFM=∠EFG．∵∠EGF=40°，∴∠EFG=50°．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG=∠CFG=50°，∴∠BFM=180°-∠EFM-∠EFG-∠CFG=30°．∴在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5，FN=FMcos30°=53，∵∠MBN=45°，MN⊥BN，∴BN=MN=5，∴BF=BN+FN=5+53．18．【答案】（1）证明：如图1，

∵△BFE由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠BCE=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，又∵正方形ABCD，∴BC=CD，，∴△BCE≌△CDG(AAS)（2）解：如图，连接EH，由（1）得△BCE≌△CDG，∴CE=DG=9，由折叠得BC=BF，CE=FE=9，∴∠BCF=∠BFC.∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，∴∠BCG=∠HGF，又∵∠BFC=∠HFG，∴∠HFG=∠HGF，∴HF=HG.∵HDHF=∴HD=4，HF=HG=5.∵∠D=∠HFE=90°∴HF∴5∴DE=310（DE=−3（3）解：如图，连结HE，由已知HDHF=45可设DH=4m，①当点H在D点左边时，如图，

同（2）可得，HF=HG，∴DG=9m，由折叠得BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC=90°，又∵∠D=90°，∴∠ECF+∠CGD=90°，∴∠BEC=∠CGD，又∵∠BCE=∠D=90°，∴△CDG∽△BCE，∴DG∵CD∴9m∴CE=9m∴DE=9mx∵∠D=∠HFE=90°，∴HF∴(5m)∴x=k2+9∴②当点H在D点右边时，如图，同理得HG=HF，∴DG=m，同理可得△BCE∽△CDG，可得CE=mk=FE∵HF∴(5m)∴x=9k2∴19．【答案】（1）解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A∴△ADC∽△ACB∴AD∴AC2=AD·AB（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，---6分又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴BF2=BE·BC，∴BC=B∴AD=16（3）解：如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC=12∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC=EG，CG=AE，∠EAC=∠G，∵∠EDF=12∴∠EDF=∠BAC，∴∠EDF=∠G，又∵∠DEF=∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴DE2=EF·EG，又∵EG=AC=2EF，∴DE2=2EF²，∴DE=2EF，又∵DG∴DG=2DF=52，∴DC=DG-CG=52-220．【答案】（1）解：①连接DM、MC，如图1．∵OM是⊙P的直径，∴∠MDO=∠MCO=90°．∵∠AOB=90°，∴四边形OCMD是矩形，∴MD∥OA，MC∥OB，∴BDDO=BM∵点M是AB的中点，即BM=AM，∴BD=DO，AC=OC．∵点M的坐标为（3，4），∴OB=2OD=8，OA=2OC=6，∴点B的坐标为（0，8），点A的坐标为（6，0）；②在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，∴AB=OB∴BM=12∵∠OBM=∠EBD，∠BOM=∠BED，∴△OBM∽△EBD，∴BMBD=BO∴54=8∴BE=325∴ME=BE﹣BM=325﹣5=（2）解：连接DP、PE，如图2．∵OKMK∴OK=3MK，∴OM=4MK，PM=2MK，∴PK=MK．∵OD=BD，OP=MP，∴DP∥BM，∴∠PDK=∠MEK，∠DPK=∠EMK．在△DPK和△EMK中，∠PDK=∠MEK∠DPK=∠EMK∴△DPK≌△EMK，∴DK=EK．∵PD=PE，∴PK⊥DE，∴cos∠DPK=PKPD=1∴∠DPK=60°，∴∠DOM=30°．∵∠AOB=90°，AM=BM，∴OM=BM，∴∠OBA=∠DOM=30°（3）解：y关于x的函数解析式为y=21−提示：连接PD、OE，如图3．设MK=t，则有OK=yt，OM=（y+1）t，BM=OM=（y+1）t，DP=PM=(y+1)t2PK=(y+1)t2﹣t=(y−1)t由DP∥BM可得△DKP∽△EKM，则有DPME=PKMK，可得ME=∵OM是⊙P的直径，∴∠OEM=90°，∴OE2=OM2﹣ME2=[（y+1）t]2﹣[y+1y−1t]2=(y+1)2t即OE=(y+1)ty−1•yBE=BM+ME=（y+1）t+y+1y−1t=(y+1)yt∴x=tan∠OBA=OEBE=y∴x2=y2−2yy整理得：y=21−21．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，

∵CP=CP，

∴△DCP≌△BCP，

∴PD=PB；

②∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；

理由如下：如图所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠B