北师大版九年级下册数学全册教学设计

北师大版九年级下册数学全册教案完整版教学设计

第一章直角三角形的边角关系

1锐角三角形

课时1正切

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能

够用正切进行简单的计算.

从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密

切数学与生活的联系.

难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：

问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？

问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而

起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展,

“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字

吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？

通过本章的学习，相信大家一定能够解决.

用多媒体演示如下内容：

［师］梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个

梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学

们看下图，并回答问题（用多媒体演示）.

(D在图中，梯子和用哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

［生］梯子比梯子旗更陡.

［师］你是如何判断的？

［生］从图中很容易发现叨，所以梯子4?比梯子如陡.

［生］我觉得是因为口，所以只要比较8G加的长度即可知哪个梯子陡.B&FD,

所以梯子比梯子牙■陡.

［师］我们再来看一个问题(用多媒体演示)

(2)在下图中，梯子48和"哪个更陡？你是怎样判断的？

［师］我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从

第(1)问中得到什么启示呢？

［生］在第⑴问的图形中梯子的垂直高度即和麒是相等的，而水平宽度灰和FD不

一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡.

［师］这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子

4?和斯的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子力6和跖哪一

个更陡呢？

必__4__8ED3.335..835

生「反尸获:不丽=T7^=T?•rii

梯子必比梯子4?更陡.

想一想:

如图，小明想通过测量6c及/G,算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则

认为，通过测量晟G及/G,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法

吗？

⑴直角三角形力笈。和直角三角形被C有什么关系？

(2)隼■和笑有什么关系？

71C1力。2

(3)如果改变8在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

［师］我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾

斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨

论小明和小亮的做法.

［生］在上图中，我们可以知道Rt△阳G,和Rt△仍G是相似的.因为/反

=90°,/艮伍根据相似的条件，得RtAIAGsRt△假心.

［生］由图还可知：BiQVAQ,得与G〃5G,RtA^iG^RtA^G.

［生］相似三角形的对应边成比例，得

~&G=AGf即元T=而

如果改变反在梯子上的位置，总可以得到Rt△氏&4sRt48C4仍能得到的=器.

/1C\AC2

因此，无论与在梯子的什么位置(除4外)，爷=爷总成立.

/iCiA5

［师］也就是说无论与在梯子的什么位置储除外)，的对边与邻边的比值是不会改变

的.

现在如果改变N4的大小，ZJ的对边与邻边的比值会改变吗？

［生］ZJ的大小改变，ZJ的对边与邻边的比值会改变.

［师］你又能得出什么结论呢？

［生］N4的对边与邻边的比只与//的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无

关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.

［师］这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？

［生］小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A

是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与旦，员在梯子上的位置无关，即

与直角三角形的大小无关.

［生］但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量5G的长度，需攀到梯子的最高端，危险

并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成.

［师］这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为

了更好地应用数学.

由于直角三角形中的锐角力确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如

下定义：(多媒体演示)

如图，在中，如果锐角/确定，那么N4的对边与邻边之比便随之确定，这个

N4的对边

比叫做N4的正切(tangent),记作tan4即tan4=

N｛的邻边.

注意:

(Dtan/l是一个完整的符号，它表示的正切，记号里习惯省去角的符号“N”.

(2)tan/l没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中的对边与邻边的比.

(3)taM不表示"tan"乘以"4”.

(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切.

思^■:

(1)/8的正切如何表示？它的数学意义是什么？

(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3,梯子的倾斜程度与tan/有关系吗？

［生］(1)的正切记作tan6,表示N6的对边与邻边的比值，即tan6=重锚.

(2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图

1—3中，梯子越陡，tan/的值越大；反过来，tan/的值越大，梯子越陡.

例1(教材示例)如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan。、tan万的值，比较大

小，越大，扶梯就越陡.

M，N。的对边41

解：甲梯中,tana=市硒=京=》

^U-.。/£的对边55

乙梯中'tanB一/万的邻边—.132—52一正.

因为tana>tan£,所以甲梯更陡.

［师］正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡、

堤坝的坡度.

如图，有一山坡在水平方向上每前进100m,就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角。

的正切tana）就是tana=黑=,

1UU0

这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡

度.坡度越大，坡面就越陡.

例2己知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点4B,C,D,£都在小

正方形的顶点上，求tanN/〃C的值.

分析：先证明△4。2△/%1,再根据tan/4%=tan/8%即可求解.

解：根据题意可得4c=3411522=乖,CD=CE=7f+W=4,AD=BE=5,：.△

ACI廷△BCE^S）.；.NADC=4BEC.；.tan/4〃C=tan/缈g*

J

例3已知一水坝的横断面是梯形/颇，下底比长14m,斜坡的坡度为3：4,

另一腰切与下底的夹角为45°,且长为4mm,求它的上底的长（精确到0.1in,参考数

据：小七1.414,4七1.732）.

分析：过点A作4反L8C于点E,过点〃作DELBC于点、F,根据已知条件求出AE=DF

的值，再根据坡度求出豳最后根据外■=8（7—应一/匕求出

解：过点4作4吐阳过点〃作加垂足分别为反月与优的夹角为45°,

4[6

:.ZDCF=45。,：.4CDF=45。.'：CD=\A/6m,；.0F=Cf=^~=4乖(m),：.AE=DF

AE3r-

=4mm.:斜坡力6的坡度为3：十,tanNABE=痔忑=小...庞=4m.'：BC=14

m,；.EF=BC-BE-CF=14—4T木=10—4小(m).,:AD=EF,.*."=10—44七

3.1(m).所以，它的上底的长约为3.1m.

<g®®

本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，

它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在''直角三角形”中定义了tanA=.接着,

我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是

一个具有实际意义的很重要的概念.

^«©©

教材P4“随堂练习”.

第一章直角三角形的边角关系

1锐角三角函数

课时2正弦和余弦

W©©

1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数一一正弦、余弦，理解锐角的

正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.

2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简

单的计算.

理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.

体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.

设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用

（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究

欲望.

探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考:

(1)RtAAB.C,和RtAAB2C2的关系是

患和景的关系是

(2)

（3）如果改变民在斜边上的位置，则土和殳乱的关系是

AB}AB,

思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与

斜边的比值__________，根据是.

它的邻边与斜边的比值呢？

设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大

小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了•类比学习，可以知道，当直角三角形的一

个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生

能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.

归纳概念

1、正弦的定义：

如图，在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角/A的对边BC与斜边AB的比叫做/A

的正弦，记作sinA,即sinA=./［的

舄边

A'c

2、余弦的定义：/A的邻边

如图，在RtAABC中，NC=90°,我们把锐角NA的邻边AC与斜边AB的比叫做/A的

余弦，记作cosA,即cosA=.

3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做NA的三角函数.

温馨提示

（1）sinA,cosA是在直角三角形中定义的，NA是一个锐角；

(2)sinA,cosA中常省去角的符号“.但NBAC的正弦和余弦表示为：sinZBAC,

cosZBAC.Z1的正弦和余弦表示为：sinZLcosZl；

(3)sinA,cosA没有单位，它表示一个比值；

(4)sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”，“cos”乘以“A”；

(5)sinA,cosA的大小只与NA的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.

设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一

个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦

容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.

探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么

梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？

铅

百

高

度

避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感

受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.

探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：

sinA越大，梯子；

cosA越，梯子越陡.

探究活动3：如图,在RtZkABC中，ZC=90°,AB=20,sinA=0.6,求BC和cosB.

B

通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢？sinB与cosA呢？在其它直角三

角形中是不是也一样呢？请举例说明.

小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.

设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三

角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.

类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值B

例1、在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,求A的三个三角函数值.

类型二：利用三角函数值求线段的长度

例2、如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=O.6,求BC畲长

l.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的，NA是锐角（注意数形结合，构造直角

三角形）.

2.sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号，表示/A

的正切，习惯省去号；

3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序，

KsinA,cosA,tanA,均>0,无单位.

4.sinA,cosA,tanA,的大小只与/A的大小有关，

而与直角三角形的边长无关.

5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

第一章直角三角形的边角关系

230°,45°,60°角的三角函数值

1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步

体会三角函数的意义.

2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小.

4.积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“试验一猜想一证明一应用”

的数学活动提升科学素养.

能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

进一步体会三角函数的意义.

为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺;

②皮尺.请你设计一个测量方案，测出这棵大树的高度.（用多媒体演示上面的问题，并让

学生交流各自的想法）

①给学生时间，让学生去思考讨论如何测量大树的高度，让学生感受到数学在生活中的实际

应用.

②学生展示自己的想法.让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起

三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢点C,30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测

量出AB的长度，BE的长度.因为DE=AB,所以只需在Rt/XACD中求出CD的长度即可.

③在Rt/XACD中，ZCAD=30°,AD=BE,BE是已知的，设BE=a米，则AD=a米，如何求

CD呢？

④含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，

即AC=2CD.根据勾股定理，得（2CD）2=CD'+a2,解得CD=*a.

则树的高度即可求出.

C

⑤我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、

余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在图1—2—10中，//二--章

tan300=7^=—,则CD=atan30°,岂不简单？%.........」

ADa

2.在刚刚过去的双十一（11月11日）活动中，中国人创造了网购的奇迹，书写了世界的传

奇.今天是双十二（12月12日），网上称之为“年末促销全民疯抢购物节”，必将续写网购

的传奇.本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信

心抢到呢？

很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！（利用多媒体投影）商铺:

图

生：（积极“抢购订单”）

/A的对边、NA的邻边,NA的对边

订单1:sinA=COsA-

斜边-tfii-，tanA=/A的邻边•

订单2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.

订单3：一副三角尺含有30°,60°和45°三种锐角.

【探究1】探究特殊角的三角函数值

看样子大家都是网购高手！但刚才大家购得的都是过时的产品，

现在老师想研发一些新产品并投放到商铺出售，大家帮助老师研

发如何？

老师想研发以下几种新产品(利用多媒体投影):

图1一2—12

“产品”1：

sin30°表示在直角三角形中，30°角所对的直角边

与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.如图1一2—13,我们不妨设30°角所对的边为

a,根据“直角三角形中，30°角所

“产品”2：

在图1—2—13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的邻边为#(2a)a'u/a,所以

=返=也___a____1__#

cos300tan30°

2a2=而蔗=3・

“产品”3：

求60°角的三角函数值，可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和

邻边分别是60°角的邻边和对边，所以

V3ay[3a1y[3ayfi广

COS6°o=痛=5'tan6°o=a=T=^-

sin60°=2a=2

“产品”4：

求45°角的三角函数值，可以利用另外那个等腰直角三角尺，如图1—2—14.不妨设直角边

为a,则斜边长为47n=*a.所以cos45°=虚-=乎，sin45°=，彳=乎，tan45°

【探究2】熟记特殊角的三角函数值

仿照上面解决问题的过程，共同求一下30°,45°,60°角的三角函数值，然后填写下表.

学生分组求值:

角函数值

sinacosatana

角a

I

30°更更

223

45°亚亚1

22

1

60°亚

22小

例1计算:

(1)sin30°+cos450；

(2)sin'60°+COS260°—tan45".

解：(l)sin30°+cos45°=g+坐

(2)sin2600+COS260°-tan45°

=0.

例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为

60°,且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结

果精确到0.01m)

［解析］引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能

力.

解：根据题意画出如图1一2—15所示的示意图.

图1—2—15

可知NB0D=60°,0B=0A=0D=2.5m,ZA0D=1x60°=30°,

.,.0C=0D,cos30°=2.165(m).

，AC=2.5—2.165^0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.

例3计算：

(1)sin60°—tan45°；(2)cos600+tan600：

2

(3)、B-sin450+sin60°—2cos45°

叵11

等/1X⑵z3x

xl1.J22-\(z)2-

2

例4求适合下列条件的锐角a：

/、厂/、2cosa+1/、/—

(l)yJ2sina-1=0；(2)---------=1；(3)3tana=y/3.

分析：这里a是未知数，可以仿照解方程的步骤：去分母、移项.

解：(1)由Musina-1=0,得sina=芈.所以，锐角a=45°.

(2)由+1=1,得cosQ=巳.所以，锐角a=60°.

(3)由3tana得tana=好.所以，锐角a=30°.

例5图1—2—16为住宅区内的两幢楼，它们的高AE=CF=30m,两楼间的距离AC=

24in,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲

楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1m,y/2^1.41,gl.73).

4里

-

□

、□

、、、

□、

方□

-

■

I

_

□乙

□

口

O

-

.

C

/

6

2—1

图1—

点D

楼的

到乙

直射

顶E

从楼

光线

题.当

学问

为数

转化

问题

实际

可将

意，

据题

］根

［解析

m,

C=24

BD=A

中，

BDE

RtA

.在

甲楼)

LAE(

作DB

点D

，过

到光线

接受不

以下便

点D

时，

E.

DF=B

所以

高，

楼一样

乙两