2021年沪教版数学必修二同步第11讲向量的数量积（讲义）学生版

第n讲向量的数量积

知识梳理

1、向量的夹角：已知两个非零向量Z出，如果以。为起点作函=£,丽=很，那么射线

。4,的夹角。叫做向量Z与B的夹角.。的取值范围是

(1)当6=0时，表示向量Q与B方向相同；

(2)当e=»时，表示向量〃与B方向相反；

(3)当。=一时，表示向量。与B相互垂直.

2

2、向量的数量积

已知两个非零向量Z与B的夹角为e(o<0<7T\贝匹巴同Wcosd叫做£与坂的数量积,

记作.即半•盾=|a||B|cos。.

(1)两个向量的数量积是一个实数；

(2)a-a=a>0f当且仅当〃・。=0时，a-6；

(3)已知两个非零向量£与办的夹角为。，则^cosd叫做向量B在£方向上的投影.

显然B在Z方向上的投影等于

\a\

(4)7坂的几何意义：等于其中一个向量Z的模问与另一个向量另在向量Z的方向

上的投影忖cos8的乘积.

3、向量数量积的运算律

①交换律成立：=②对实数的结合律成立：仿)与=41%)=)体卜£尺)；

③分配律成立：(a+b^-c=a-c+b-c=c-(a+b^.

特别注意：

(1)结合律不成立：(2)消去律不成立=不能得到Z=

(3)a-b-0不能得到〃=。或1=0.

/—*—\(-—>\—2—►2-2I—*|2/—*—»\2—♦2—f-2

④但是乘法公式成立：\a+by\a-bj-a-b=a-/?；\a±bj=a±2a-b+b

1一|2f2

=a+2a-b+b；等等.

⑤两个向量垂直的充要条件是：a-b=O.

例题解析

思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再

判断正误（完成下表）：

运算律实数乘法向量数量积判断正误

交换律baa,b—b•a

结合律(a人)c=a(6c)(a,H)c=a(b,c)

分配律(a+A)c=ac+be(a+6)•c—a•c+b•c

a-b=b•c(b#0)=>a

消去律a6=A(Z?W0)0a=c

—c

思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.

例1.（2020•天津市军粮城中学高一月考）设向量［，晟是两个互相垂直的单位向量,

且。=24一02，5=02贝!1|万+26|=()

A.272B.75C.2D.4

例2.（2021•天津市第八中学高一月考）若同=4,问=6,而与］的夹角。为45。，则

m-n等于（）

A.12B.12&C,-12A/2D.-12

例工（2021•江苏南通市•启东中学高一月考）在边长为3的等边三角形ABC中,

BM=^MC,则通.丽7=(

)

33

A.B.C.D.

2222

例4.（2021•江苏淮安市•高一月考）已知口=21卜0,且关于x的方程

itrr

/+,工+。必=0有等根，则向量z与B的夹角是（）

A.三B.卫CD.里

6336

例5.（2021•江苏苏州市•星海实验中学高一月考）己知向量5满足

131=1,^=（—2,1）,且|河―51=2,则"Z.

例6.（2019•全国福州三中高一期末）已知向量;=（2,3）,3=（4,-3）,则向量"在B

方向上的投影为.

例7.（2017•瓦房店市高级中学（文））与向量万=（3,4）垂直的单位向量为

例8.在△,盔密中，三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,MABBC=.

例9.（2021•苏州市第三中学校高一月考）已知向量|万|=1,出|=2

（1）若向量万万的夹角为120。，求万石的值；

（2）若|万+5|=逐，求|2万-3万|的值;

（3）若万•（万—5）=o,求万,5的夹角.

例10.(2021•天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考)已知向量万与5的夹角为

。=彳，且"=3,忖=20.

(1)若左Z+2B与3Z+4B共线，求左

⑵求万名，归+小

(3)求万与Z+B的夹角的余弦值

例11.已知口=后涸=3,)与3夹角为45°,

(1)求(2口-44；

(2)(a+kb)±[ka+b^,求左；

(3)(a+kb)ll[ka+可,求左；

(4)&+应与他+勾夹角为锐角，求左的取值范围.

例12.已知正三角形A4A3,点4、4、4分别是所在棱的中点，则当1W/W6,i<j<6,

且，时，数量积A耳•呵的不同数值的个数为.

JI、

例13.已知3,b,c为单位向量，且满足3a+46+7c=0,H与6的夹角为丁，则实数几=

例14.设。为两个非零向量a,6的夹角，已知对任意实数力，%+同的最小值为1.()

A.若占确定，贝1a|唯一确定B.若。确定，则|引唯一确定

C.若㈤确定，则个唯一确定D.若㈤确定，则J唯一确定

例15.设a,6为非零向量，|6|=2|a|,两组向量无，Xi,x-i,心和力，/，%,%均由2个

a和2个6排列而成.若Xi-yi+xi•yh+xs•yi+xt•%所有可能取值中的最小值为41a12,

则a与6的夹角为()

2兀jiji

A.-I-B.-C.-D.0

336

【巩固训练】

1.给出下列结论：①若aWO,a•b=3则6=0；②若a•b=b•c,则a=c；③(a•H)c=

a(b•。@a•[b(a•c)~c(a•Z?)]=0,其中正确结论的序号是.

2.设加力是两个单位向量夹角为60°,若Q=2加+〃,办=—3根+2孔,

(1)求aZ；(2)求W；(3)求a与3夹角；(4)求B在。的投影.

3.设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：

①a•c~b•c=(a-b)•c；②(6・c)•a—(c•a)•6不与c垂直;

③|a|—|引—b\；④(3a+2b),(3a—2b)—91a|2—41Z?|2.

其中正确的序号是.

4.知向量a与力的夹角为120°,且|a|=4,|引=2,求：

(1)(2a—A)•(a+36)；(2)13a—4bl.

5.己知a与会是两个互相垂直的单位向量，"为何值时，向量与"&+a的夹角为

锐角？

6.已知非零向量a,b,且a+36与7a—56垂直，a—46与7a—26垂直，求a与6的夹角.

7.如图，正六边形/况叱的边长为1,贝U否・应