2021-2022学年数学苏教版必修第二册练习：单元形成性评价第10章 三角恒等变换

单元形成性评价（二）（第10章）

Q20分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.（2020•全国HI卷）已知2tan。-tan+今）=7,则tan。=（）

A.-2B.-1C.1D,2

【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于

中档题.

1+tan0

选D.由题意可知2tan9----------=7,

1-tan9

整理得：2tan0-2tan20-1-tan0=7-7tan0,

解得tan0=2.

2.若sina+cosa=也，贝［Jtana+而号的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

、”—1sinacosa1

选

B.tana+;t-a-n--a-=-c-o-s---a+-sina=s-i-n--a--c-o-s---a,

又sina+cosa=啦,

所以sinacosa=；,

所以tana+7---=--2.

tana

(今

3.函数y=sin12x+?+sin2x-的最小值为（）

A.也B.-2C.-^2D.小

：

选C.y=sinQx++sinf2x-:

・c兀c・兀.c兀

=sm2xcos+cos2xsm+sin2xcos

71I-

cos2xsin4=y/2sin2x,

所以函数y的最小值为-V2.

4.若sin(7i-a)=-当且a£（兀，学），则sin7：a

7+2,=()

A.一田芈

R远D.

B•-6-6

选B.sin(71-a)=sina=-9

口(3九

又aGlir,y

2

所以cosa=1-sin2a

3.

V6

6

兀aa亚

所以sin+o=cos2

226'

5.已知函数f(x)=cos2g+xj.cos2g-xj，则局等于()

3113

ABc-D-

44

1616

选71

A.f(x)=COS2t+X•cos2“X

1+cos|^2+2xJ1+cos-2x

2,2

1-sin2x1+sin2x1-sin22x

~~2'2=4

6.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618

优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金

y[5-1

分割比1=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18。，则

1-2sin227°

A.4B.C.2D.1

1-2sin227°

选D.把t=2sin18。代入­

_______cos54°______________sin36°

2sin18°^4-4sin218°4sin18°cos18°，.

7.设AABC的三个内角为A,B,C,向量m二sinA,sinB),n

=（cosB,小cosA）,若m-n=1+cos（A+B）,则C=（）

兀c兀z->i27i5兀

A.7B・7C.D.7

6336

选C.因为m,n=小sinAcosB+sinB-

小cosA=小sin（A+B）=小sinC=1-cosC,

所以sin（C+1）=!，又因为0<C<7T,

所以c+5=T，故C潦.

8.在^ABC中，若sin（B+C）sin（B-C）=sin2A,则^ABC是（）

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

选C.因为0<A<7T,所以sinA>0,同理sinC>0,

因为sin2A=sin（B+C）sin（B-C）

=sin（兀-A）sin（B-C）=sinAsin（B-C）,

所以sin（B-C）=sinA=sin（B+C）,

则sinBcosC-cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC可得cosBsinC

=0,

___TV

所以cosB=0,因为0<B<7T,所以B=2.

因此AABC是直角三角形.

二多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分)

9.已知0G(O,K),sin0+cos0=1,则下列结论正确的是()

A.0£(卷,兀)B.cos0=-^

37

C.tan0=-D.sin0-cos0=7

选ABD.因为sin0+cos。=1①，

所以(sin0+cos=@,

即sin20+2sin0cos0+cos20=飞,

_24_

所以2sin9cos0=-^,因为0G(O,n),

所以sin0>0,cos0<0,

所以0£悍，兀)，

所以(sin0-cos0)=1-2sin0cos0=1|,

7

所以sin0-cos0=②，

43

①加②得sin。二弓,①减②得cos0=,

4

mi”csin。54

所以

tan0=-c-o--s--0n=-o3=-3Q.

-5

10.已知ap是锐角qosa=^,cos(a-P)=则cos0=()

A也B顼

C巫D-也

选AC.由a是锐角，cosa=坐,

则sina=41-cos2a=邛5,

又a,P是锐角，则-，

得周，

又cos(a-P)=,

贝Usin(a-P)=±-^,

则cosP=cos[a-(a-0)]=cosacos(a-P)+

•・/Q\亚出叵遮

sinasm(a-P)=^~义-布^5~xJQ-

3啦±2啦皿pV2也

=10，彳导cos0=2或cosB二行.

11.关于函数f(x)=3sinxcosx+3小sin2x-+1,下列命题正

确的是()

A.由f(xi)=f(x2)=1可得Xl-X2是兀的整数倍

B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x-爸+1

C.y=f(x)的图象关于点件，1)对称

D.y=f(x)的图象关于直线x=-盍对称

选BD.因为f(x)=3sinxcosx+3小sin2x-+1所以f(x)=|sin

2x-cos2x+1

=3sin(2x-§+1.

A.由f(x)=3sin(2x-m+1=1

得sin(2x=0，又函数的最小正周期T=兀则XLX2是3■的

整数倍，故A错误,

B.f(x)=3sin"x-jj+1

故B正确，

一、i,3兀,.C3兀*.(3兀兀1,77r

C.当x=1n时，sin^2x---J=sm瓜-句=sm=-g和，即

函数关于存，1)不对称，故C错误，

D.当x=-专时，sin2x(-日-鼻=

sin(-1)=sin(-外=-1,是最小值，则y=f(x)的图象关于

直线X=-它对称，故D正确.

12.已知0<a<P<2,且tana,tan0是方程x2-kx+2=0的两不等

实根，则下列结论正确的是()

A.tana+tanP=-kB.tan(a+p)=-k

C.k>2y/2D.k+tana>4

选BCD.因为tana,tanp是方程x2-kx+2=0的两不等实根,

所以tana+tan|3=k,tana-tan0=2,

tana+tanPk

tan(a+P)=-----------------=----=-k,

1-tana-tan0-1

由0<a<P<2,tana,tanP均为正数，

则tana+tanP=k>2^/tana-tanP=2\[2,当且仅当tana=tanP时取

等号，等号不成立，

k+tana=2tana+tanP>2-\/2tana-tanP=4,当且仅当2tana=tanP

时取等号.

三、填空题(每小题5分，共20分)

1-2sin10°cos10°

13.化简：7----

cos100-1-cos2170°

-2sin100cos10°《in210°-2sinICTcos10。+cos210°

cos10°-A/1-COS2170°COS10°-^sin2170°

sin100-cos10°cos10°-sin10°

-cos10°-|sin170°|"cos10°-|sin(180°-10°)|

cos10°-sin10°

----------------------=1.

cos100-sin10°

答案：1

2

14.(2020.全国H卷)若sinx=-w，贝[]cos2x=

答案：/

【加固训练】

设cosx=t,用t的代数式表示cos2x=；用t的代数式表示

cos3x=.

cos2x=2cos2x-1=2t2-1,

cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-1)cosx-2sinxcosxsinx

=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx

=4cos3x-3cosx=4t3-3t.

答案：2t2-14t3-3t

15.定义运算a:=ad-be,若cosa=J,

cd/

sinasinP_对1JT

,0<p<a<2，则B=

cosacosP-14

sinasinp

根据题意得到=sinacos0-sinPcosa=sinVa"PJ=

cosacosP

3s

14

a-(a-p)]

COSP=cos=cosacos(a-p)+

sinasin(a-0)

又0<p<a<^,所以0<a-帽,

V713muQ1。兀

乂cosa=,sina=，则cosP=]，P=§.

今素•-

口木-3

16.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边

tan(-a)+sing+al

经过点P(-3)，则----;-------—；-------=；tan

2a+tan/=

+日否4/日.1VIA/1

田题后、彳导sma=2,cosa=-,tana=-.

+sing+ay[3A/3

tan(~a)

-tana+cosa3~2

cos(7t-a)sin(-3K-a)(-cosa)-sina43vl

2X2

2

3

1

c2tana厂asina2

tan2a=--=-,tan5=;-------=------后

1-tanzaz1+cosa,近

1-2

y13.tan2a+tany=2.

2

容宏­--?

口•3乙

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知a£(0,野•

(1)若sina=^,求sin(a+胃的值；

⑵若cos(a+看=害，求sina的值.

(1)因为sina=芈,aG[O,,

所以cosa=2g,

V3.1灰2小灰+2小

2sina+2cosa=10+10=—10—

.__Mf71]Lr-I'l71"l2兀1

(2)因为a£[0,1J，所以&+5£仁，司，

又因为cos[a+V=乎,

所以sin[a+52小

5

所以sina=sin[a+耳)-不

sin1a+

坐-2cost)

2VB由2715-^5

=io-io=io,

18.(12分)已知2sinx=cosx.

⑴求sin2x-sinxcosx的值；

⑵若7t<x<2n，求tan]的值.

(1)由2sinx=cosx得tanx二;,

sin2x-sinxcosxtan2x-tanx]

则sin2x-sinxcosx=-------;----------;----=-------;---------=-7.

sin2x+cos2xtan2x+1°

cx

2tan7,

,_、-.21,x,八/=x

(2)方)J-：tanx=------------=万ntan-5+4tan5-1=。/导tan3

=-2±y[5,由兀<x<2兀及tanx=；>0得兀<x<:，贝吟〈苧

所以tan|=-2-y[5.

_13兀

方;去二：由兀<X<2TT及tanx=]>0得7r<x<^~,

XXX

或2^|xsg2sin]cos，

从而sinx=-5,cosx=-5/tan2=~=~

cos22cos21

sinx

亚二-2-木.

1+cosx

5

19.(12分)在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量

的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以

利用平面向量来推导两角差的余弦公式：cos(a-P)=cosacosp+sin

asinp.

具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆。，以Ox

为始边作角a,"它们的终边与单位圆0的交点分别为A,B.

贝！］OA=(cosa,sina),=(cosP,sin0),

由向量数量积的坐标表示，有：OA=

cosacosP+sinasin0,设OA,Ofe的夹角为0,贝！］0A06=|OA

||Ofe|cos0=cos0=cosacosP+sinasinP,

另一方面，由图⑴可知，a=2k7r+p+。；

由图(2)可知a=2kn+0-0.于是a-P=2k兀土。,kWZ.所以cos(a-P)

=cos0,也有cos(a-P)=cosacos0+sinasinP,所以,对于任意角

a,B有：cos(a-P)=cosacosP+sinasinP(Ca-p)

此公式给出了任意角a邛的正弦、余弦值与其差角a-P的余弦值之

间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ca”.有了公式Ca-p以后，

我们只要知道COSa,cosP,sina,sinp的值，就可以求得cos(a-p)

的值了.

阅读以上材料，利用图⑶单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),

采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题：

⑶

(1)判断8=丁\0劭是否正确？(不需要证明)

、a+Pa-P

(2)证明：sina+sinP=2sin-~cos~j-

(1)因为对于非零向量n,击n是n方向上的单位向量，又=1

且皿与8共线,

所以Ot=.'.0而正确.

|皿|

(2)因为M为AB的中点则OMJ_AB从而在△OAM中皿|=|OA

P-aP-a

|-cos=cos

22

又Ot=[1]OlCl,Ot=a+Pa+P

COS亍，sin丁

10Kli

cosa+cosPsina+sinP

01^1=

2

a+P]sina+sinP

所以

sinP-aI2

cos-2-

a+0a-P

即sina+sinP=2sin.cos?

71

20.(12分)已知函数f(x)=sin(2x+4)-cos2x+1,xGR.

⑴若由0周，求函数f(x)的值域;

4

⑵已知a为锐角且f(a)=-,

求sin(2a+胃的值.

⑴因为f(x)=sin(2x+*-cos2x+1

7171

=sin2xcos7+cos2xsin7-cos2x+1

66

A/31

=2sin2x+2cos2x-cos2x+1

=^sin2x-|

cos2x+1=sin(2x-春+1.

入兀兀〉兀

令t=2x-d£[-%，'?」，

一1

-2

则sint£1,即f(x)£2

_

故函数f（x）的值域为,2.

⑵由f（a）=sin（2a-聿）+1=1

=sin12a/=|,又因为a为锐角，

所以2a-袭£（-看，篙）,又sin（2a圉=|<|,所以2a-1

4。用，

即有cos（2a-野=.

所以sin12a+袭）=sin］（2a用自

t）7T711+2优

+cos1c2a-旬nsi.n兀g

COS33-6

21.（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点

A（2,0）,B（-2,0）,点P,Q在单位圆上，以x轴正半轴为始边,

以射线OP为终边的角为9,以射线OQ为终边的角为（P,满足3-。

71

⑴若。4,求OAQA.

⑵当点P在单位圆上运动时，求函数f（9）=Af的解+析式，并

求f(。)的最大值.

,JTTTfTT、fTT

(1)由题图可知，NPOA=e=w,NQOA=Q+,=y.OAQA=

OA(OA-0(^)=OA2-OA=22-2x1xcos=4+小.

(2)由题意可知P(cos0,sin0),Q(cos(p,sincp).

因为cos(p=cos(。+野=-sin0,sin(p=