2021年四川省宜宾市中考数学试卷

2021年四川省宜宾市中考数学试卷2021年四川省宜宾市中考数学试卷2021年四川省宜宾市中考数学试卷2021年四川省宜宾市中考数学试卷一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。1．（4分）（2021•宜宾）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）（2021•宜宾）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2021•宜宾）2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（）A．64×103 B．6.4×104 C．0.64×105 D．6.4×1054．（4分）（2021•宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．85．（4分）（2021•宜宾）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°6．（4分）（2021•宜宾）下列运算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（2a2）3＝2a6 C．a6÷a2＝a3 D．a3•a2＝a57．（4分）（2021•宜宾）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分8．（4分）（2021•宜宾）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（4分）（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．10．（4分）（2021•宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．1211．（4分）（2021•宜宾）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．27 B．42 C．55 D．21012．（4分）（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上。13．（4分）（2021•宜宾）不等式2x﹣1＞1的解集是．14．（4分）（2021•黄石）分解因式：a3﹣2a2+a＝．15．（4分）（2021•宜宾）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，S丙2＝3.42，你认为最适合参加决赛的选手是（填“甲”或“乙”或“丙”）．16．（4分）（2021•宜宾）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程．17．（4分）（2021•宜宾）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是．18．（4分）（2021•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（10分）（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；（2）化简：（+1）÷．20．（10分）（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．21．（10分）（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．（1）张老师调查的学生人数是．（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．22．（10分）（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）23．（12分）（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．24．（12分）（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．25．（14分）（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

2021年四川省宜宾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。1．（4分）（2021•宜宾）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|＝2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（4分）（2021•宜宾）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3．（4分）（2021•宜宾）2021年宜宾市中考人数已突破64000人，数据64000用科学记数法表示为（）A．64×103 B．6.4×104 C．0.64×105 D．6.4×105【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：64000＝6.4×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．4．（4分）（2021•宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．5．（4分）（2021•宜宾）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．【解答】解：如图，延长ME，交CD于点F，∵AB∥CD，∠1＝55°，∴∠MFC＝∠1＝55°，在Rt△NEF中，∠NEF＝90°，∴∠3＝90°﹣∠MFC＝35°，∴∠2＝∠3＝35°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及对顶角相等是解题的关键．6．（4分）（2021•宜宾）下列运算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（2a2）3＝2a6 C．a6÷a2＝a3 D．a3•a2＝a5【专题】整式；运算能力．【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法以及积的乘方运算法则计算逐一判断即可．【解答】解：A．a+a2，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；C．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；D．a3•a2＝a5，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题关键．7．（4分）（2021•宜宾）下列说法正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分【专题】多边形与平行四边形；应用意识．【分析】根据平行四边形的性质以及平行四边形的对称性对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形而是中心对称图形，故原命题错误，不符合题意；B、平行四边形的邻边不等，对边相等，故原命题错误，不符合题意；C、平行四边形对角线互相平分，错误，故本选项不符合题意；D、平行四边形对角线互相平分，正确，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．（4分）（2021•宜宾）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【专题】分式方程及应用；运算能力．【分析】方程两边同时乘（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到x＝2，列出方程计算出m的值即可．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x﹣3（x﹣2）＝m，解得：x＝3﹣m，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴3﹣m＝2，∴m＝2，故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．9．（4分）（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查勾股定理，角平分线性质及锐角三角函数的定义，构造直角三角形求线段的长是求解本题的关键．10．（4分）（2021•宜宾）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣3，mn＝﹣9，而m是方程的一个根，可得m2+3m﹣9＝0，即m2+3m＝9，那么m2+4m+n＝m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．11．（4分）（2021•宜宾）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．27 B．42 C．55 D．210【专题】转化思想；应用意识．【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可．【解答】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数为：132＝1×52+3×51+2×50＝42．故选：B．【点评】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制．12．（4分）（2021•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A．2 B． C． D．3【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由折叠的性质可得BC＝CH＝2，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，由“AAS”可证△CPH≌△CPN，可得NP＝PH，CH＝CN＝4，通过证明四边形BCNM是正方形，可得MN＝BM＝4，在Rt△EPM中，利用勾股定理可求NP的长，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC＝CH＝2，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，在△CPH和△CPN中，，∴△CPH≌△CPN（AAS），∴NP＝PH，CH＝CN＝4，∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，∴四边形BCNM是矩形，又∵CN＝CB＝4，∴四边形BCNM是正方形，∴MN＝BM＝4，∴EM＝2，∵EP2＝EM2+PM2，∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，∴NP＝，∵tan∠DCF＝，∴，∴DF＝2，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上。13．（4分）（2021•宜宾）不等式2x﹣1＞1的解集是x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上1再除以2，不等号的方向不变．【解答】解：解不等式2x﹣1＞1得，2x＞2，解得x＞1．【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．（4分）（2021•黄石）分解因式：a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2．【专题】因式分解．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．故答案为：a（a﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．15．（4分）（2021•宜宾）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，S丙2＝3.42，你认为最适合参加决赛的选手是乙（填“甲”或“乙”或“丙”）．【专题】统计的应用；数据分析观念．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：∵S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，S丙2＝3.42，∴S丙2＞S甲2＞S乙2，∴最适合参加决赛的选手是乙．故答案为：乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．16．（4分）（2021•宜宾）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程652（1+x）2＝960．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，根据该地区第三季度的生产总值＝该地区第一季度的生产总值×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，依题意得：652（1+x）2＝960．故答案为：652（1+x）2＝960．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（4分）（2021•宜宾）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是2π．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】由垂径定理可得OQ⊥AP，则点Q在以AO为直径的圆上运动，即可求解．【解答】解：如图，连接OQ，∵AB＝4，∴AO＝2，∵Q为AP的中点，∴OQ⊥AP，∴∠AQO＝90°，∴点Q在以AO为直径的圆上运动，∴点Q经过的路径长为2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了轨迹，点和圆的位置关系，确定点Q的运动轨迹是解题的关键．18．（4分）（2021•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是①②③④．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】取M与B重合时和M在AB中点时两种特殊情况，判断运动情况和面积相等情况；令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，根据△AMN的面积关于x的函数关系式即可判断面积大小的增减；根据运动速度判断BM和DN的关系，再根据勾股定理写出MN与BM和DN的关系式即可．方法二：延长MO交CD于M'，则BM＝DM'，再连接NM'，则MN＝NM'，根据勾股定理轻松得证④．【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD＝AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN•sin30°＝DN，∵AN+DN＝AD，∴AN＝AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'＝AB，N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，又∵AD＝AB，∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，∴N点的运动速度是M点的，故①正确，当M在M'位置时，∵∠OM'A＝90°，∠FAB＝90°，∠M'ON'＝90°，∴四边形AM'ON'是矩形，∴此时S△AMN＝S△MON，故②正确，令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，∴AN＝AD+x＝+x，∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，∴S△AMN逐渐减小，故③正确，∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，∵AN＝AD+BM＝AB+BM，∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，∴△OMB≌△OM'D（ASA），∴BM＝DM'，OM＝OM'，连接NM'，∵NO⊥MM'，则MN＝NM'，∵NM'2＝DN2+DM'2，∴MN2＝BM2+DN2，故④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练应用勾股定理，和特殊值的应用是解题的关键．三、解答题；本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（10分）（2021•宜宾）（1）计算：（π﹣3）0﹣+4sin60°﹣（）﹣1；（2）化简：（+1）÷．【专题】计算题；运算能力．【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂先化简题目中的式子，然后再计算；（2）根据分式的加法和乘除法法则可以解答本题．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2＝1﹣2+2﹣2＝﹣1；（2）原式＝（+）•＝（+）•＝•＝．【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算．（1）解题的关键是先化简负整数指数幂，特殊角三角函数值，零指数幂的运算是解题关键；（2）解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20．（10分）（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】先证明∠COD＝∠AOB，然后根据“SAS”可证明△AOB≌△COD．【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决此类问题的关键．21．（10分）（2021•宜宾）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．（1）张老师调查的学生人数是50名．（2）若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑；（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力．【分析】（1）由A的人数除以所占百分比即可；（2）求出条形统计图中D的人数，再由该校共有学生人数乘以选修泥塑的学生所占比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）张老师调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），故答案为：50名；（2）条形统计图中D的人数为：50﹣10﹣6﹣14﹣8＝12（名），∴1000×＝240（名），即估计有240名学生选修泥塑；（3）把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，∴所选2人都是选修书法的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2021•宜宾）全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精确到1米）【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】设塔高AB＝x米，利用仰角定义得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到BC＝BA＝x米，再利用正切定义得到BD＝，所以x+15＝x，然后解方程即可．【解答】解：设塔高AB＝x米，根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，∴BC＝BA＝x米，在Rt△ABD中，∵tan∠BDA＝，∴BD＝＝＝，∵BD+CD＝BC，∴x+15＝x，解得x＝≈35（米）．答：白塔的高度AB为35米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（12分）（2021•宜宾）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．【专题】方程思想；待定系数法；运算能力．【分析】（1）因为C（5，0），所以OC＝5，又S△AOC＝10，过A作AE⊥x轴于E，可以得到AE＝4，在直角三角形中，利用勾股定理，求出CE长度，写出E点坐标，即可求出k和C的坐标，利用待定系数法，求解一次函数的表达式即可；（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求解一个方程组，得到交点A和B的坐标，根据图像，可以得到原不等式的解集．【解答】（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，∵C（5，0），OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∵S△AOC＝10，∴，∴AE＝4，在Rt△ACE中，CE＝，∴OE＝8，∴A（8，4），∴k＝4×8＝32，将A和C的坐标代入到一次函数解析式中得，，∴，∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为；（2）联立两个函数解析式得，解得，，∴，由图像可得，当，x＞8或﹣3＜x＜0．【点评】此题是反比例函数与一次函数交点问题，根据题意列出方程即可解决问题，同时，还考查了用数形结合思想解不等式．24．（12分）（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．【专题】综合题；推理能力．【分析】（1）CD与⊙O相切，理由：连接OD，先判断出∠CDA＝∠ODB，再根据∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，判断出∠CDO＝90°，即可得出结论；（2）先判断出tan∠CBD＝，进而得出tan∠CBD＝＝，再判断出△CAD∽△CDB，得出，求出CD，CB，即可得出结论；（3）连接OE，过点E作EG⊥BD于G，先判断出∠BOE＝2∠BDE＝90°，进而求出BE＝3，再利用勾股定理求出AD＝，BD＝，再判断出DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝﹣x，再用勾股定理求出x，即可得出结论．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切；（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，∵tan∠ADC＝，∴tan∠CBD＝，在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴，∴CD＝2CA＝4，∴CB＝2CD＝8，∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，∴OA＝OB＝AB＝3；（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，∴BE＝＝3，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∵，∴AD＝，BD＝，∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，∴∠DEG＝∠BDE＝45°，∴DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，∴x2+（﹣x）2＝18，∴x＝或x＝（舍），∴EG＝，∴sin∠DBE＝＝．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．25．（14分）（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【专题】代数几何综合题；压轴题；存在型；推理能力；应用意识．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．用数字表示事件用数字表示事件．4．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．7．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．8．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．9．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．10．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．11．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．12．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．13．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．14．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．15．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．16．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．17．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．18．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．19．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时***，容易忽略．20．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．21．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．22．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．23．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．24．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．26．圆的综合题圆的综合题．27．轨迹28．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（