【青松雪】抛物线二级结论与初中数学数学命题

抛物线二级结论与初中数学命题我们以最简单的二次函数（）为例。一般的二次函数（）可以化成顶点式，然后再经过平移得到。但是情况太复杂，不适合初中生研究。1、以新定义的形式，定义焦点与准线。焦点，准线。点为抛物线上任意一点，过点作交于点，连结，试证：，即抛物线的统一定义。2、焦半径公式：设点的坐标为，则；即抛物线上的点到焦点的距离有最小值。3、以为直径的圆与轴相切。【证明】设的中点为，则，由焦半径公式知：，∴，即点到轴的距离等于长度的一半，所以结论得证。4、若直线过焦点，与抛物线交于、两点，且直线与轴的正半轴所成夹角为（）（此处避开直线的倾斜角，不然初中学生理解不了），则可得焦半径的三角函数公式，。【证明】过点作于点，过点作于点。∵，∴，∴。同理可得：。∵，∴，∴，，∴，，∴，，即有最小值。∴抛物线上任意一点到焦点的距离有最小值，无最大值。【例如】当等于、、时，求、或的值等。5、若直线过焦点，与抛物线交于、两点，且直线与轴的正半轴所成夹角为（），则。【证明】（利用焦半径的三角函数公式可证）构造辅助线方法同上，可得：，，∴得证。【例如】当时，求的值。6、若直线过焦点，与抛物线交于、两点，则以为直径的圆与准线相切。【证明】（利用焦半径的坐标公式和中点坐标公式可证）设点，，的中点，则由焦半径公式可得：，点到准线的距离为：，而根据中点坐标公式，∴，得证。7、若直线过焦点，与抛物线交于、两点，且直线与轴的正半轴所成夹角为（），则线段叫做焦点弦，其长度为（焦点弦弦长公式）。【证明】（利用焦半径的三角函数公式可证）由焦半径的三角函数公式可知：，，∴，得证。∵，∴，∴，即，∴焦点弦有最小值，无最大值。8、过焦点作两条相互垂直的直线、，分别交抛物线于、、、四点，则。【证明】（利用焦半径的三角函数公式可证）设直线与轴的正半轴所成夹角为，直线与轴的正半轴所成夹角为，则，由焦点弦的弦长公式可知：，，∴，∵，∴，∴，得证。9、过焦点作两条相互垂直的直线、，分别交抛物线于、、、四点，则四边形的面积有最小值。【证明】（由上面的结论，和均值不等式可得，初中生可以用设元配方来理解）由上题的结论可得：，∴由均值不等式可得：，即，∴，而，得证。10、和焦点弦有关的直角梯形结论：【条件】直线过焦点，与抛物线交于、两点，点为的中点，过点作于点，过点作于点，点为的中点，则：（1）以为直径的圆与准线相切；（证明略）（2）若为准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点为、，则直线必过焦点，且。（此结论还没想到初中学生可以理解的证法）（3）【直角梯形的中位线模型】①；②；③于点；④垂直平分，垂直平分，且垂足都在轴上。（4）。（焦点弦三角函数公式可证）（5），即的面积有最小值。（利用前面结论可证）（6）直线与直线相交于点，即两直线都过原点。（利用对应线段成比例，可证）（7）连结与抛物线交于点，过点作抛物线的切线，则直线直线。（此为阿基米德三角形的特例，此结论还没想到初中学生可以理解的证法）【以下结论初中生估计不好证明】11、过焦点作两条相互垂直的直线、，分别交抛物线于、、、四点，点为中点，点为中点，则直线必过轴上的定点，且。12、焦点弦的中垂线与轴交于一点，则。13、若点是抛物线上一定点，过点作两条直线、交抛物线于点、，①若，则，即如果直线、的斜率互为相反数，则直线的斜率为定值；②若，则直线过定点，即如果直线、互相垂直，则直线过定点。14、抛物线“蝴蝶模型”：点、是抛物线对称轴上两点，直线经过点，直线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线过定点，且。15、阿基米德三角形及其性质：【条件】过抛物线上任意两点、（）作抛物线的切线，两切线交于点，则叫做该抛物线的阿基米德三角形。（1）点的坐标为；（2）设的中点为，则轴；（3）交抛物线于点