【青松雪】中考数学几何模型【模型04】中点相关模型

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型04】中点相关模型主讲人：王建林【模型介绍】中点相关模型：提到中点，就需要联想初中阶段和中点有关的数学知识．

①三角形的中线，等分三角形面积；

②等腰三角形，“三线合一”的性质；

③直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半；

④三角形中位线，平行且等于第三边的一半．

这四点是我们已经深入学习过的和中点相关的知识．在遇到和中点有关的问题时，就要快速联想这些知识点，并合理选择相应的辅助线方法．

其辅助线方法主要就两种：“倍长中线”与“构造中位线”．

一般情况下，单中点联想倍长中线，多个中点联想中位线．有时二者等效互通，有时只能二选一．两者的本质是构造“A字型”或“8字型”．【类型一】等腰三角形+底边中点【模型介绍】在等腰三角形中，出现底边上的中点时，常联想“三线合一”的性质．作底边的中线，利用等腰三角形：①底边上的中线；②底边上的高线；③顶角角平分线；“三线合一”得到：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD，解决相关问题．【说明】“三线合一”性质的前提是已知三角形是

等腰，才有“三线合一”的相应结论；

反过来是不能直接得等腰的，需要证明三角形全等

才行．特别是①③组合时，典型的角边边(ASS)，

不能直接证全等，需要用倍长中线或作垂线的方法

证明．【典型例题】【例1】(1)如图，在△ABC

中，AB=AC，点

D

是

BC

的中点，E

是

AC

上

一点，且AE=AD，若∠AED=75°，则∠EDC

的度数为

；(2)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC

于点N，则

MN的长

；(3)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为

CE的中点，连接AF，BF.①求证：DE=DC；②求证：AF⊥BF．【类型二】直角三角形+斜边中点【模型介绍】在直角三角形中，出现斜边中点时，常联想“斜边中线定理”：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．而且该中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．通常以此来导角导边进行相关的计算，其逆定理就是由此而来．常见图形【例2】(1)如图，已知

AB⊥BC，AD⊥DC，E

为AC的中点，试判断BE与DE是否相

等，并说明理由．(2)如图，在△ABC

中，AD

是高，E、F

分别是

AB、AC

的中点，若AB＝10，AC＝6，

求四边形AEDF的周长．(3)如图，在等腰直角△ABC

中，∠ACB=90°，DE⊥AB，点

F

为

BD

的中点，探究

EF

与

CF

的关系，并说明理由．(4)如图，在锐角△ABC中，BE、CF分别是

AC、AB边上的高，点

M、N分别为

BC、EF的中点，求证：MN⊥EF．【典型例题】【典型例题】【例3】如图，在正方形

ABCD

中，(1)若

E、F

分别是

CD、AD

的中点，求证：BG=2AM；(2)若点

F

为

AD

中点，AM=AB，求证：点

E

为

CD

的中点；(3)若CE=DF，AM=AB，求证：点

F

为

AD

的中点．【类型三】三角形中线，单中点常联想“倍长中线”【模型介绍】在三角形中，当出现单个中点求线段的数量关系时，常联想“倍长中线”或“倍长类中线”的方法．其常见图形如下：【典型例题】【例4】(1)已知△ABC的一边

AB长为

7，AC长为

5，求

BC边的中线

AD长度的取值范围．(2)如图，在△ABC中，AD是

BC边上的中线，E是

AD上一点，且

BE=AC，延长

BE交

AC于

F，求证：AF=EF．(3)如图，已知：BE=AC，D

是

BC

的中点，求证：∠BED=∠CAD．【例5】(1)如图，AD是△ABC的中线，且满足：AE=AC，AF=AB，

∠BAC+∠EAF=180°，求证：EF=2AD．(2)如图，AD是△ABC

的中线，E、F

分别为边

AB、AC

上的点，且

满足：∠EDF=90°，比较

BE+CF

与

EF

的大小，并说明理由．【典型例题】【类型四】双中点或中点

+

平行线，常联想“中位线”【模型介绍】在三角形中，当出现多个中点，或出现中点加平行线，或所求线段的数量明显有2倍关系时，常联想“构造中位线”的方法．【例6】(1)如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE

的延长线与

AC交于点

F，求证：CF=2AF．(2)如图，四边形ABCD中，AB=CD，点M、N、E、F分别是BD、AC、

BC、MN的中点，求证：EF⊥MN．【例7】如图，在△ABC

中，BM、CN是∠ABC、∠ACB的平分线，且

AM⊥BM

于

M，AN⊥CN于

N．

(1)求证：MN//BC；

(2)若△ABC

的周长为

26，BC=8，求MN的长．【例8】如图，在△ABC

内取一点

P，使∠PBA＝∠PCA，作

PD⊥AB于

点

D，PE⊥AC于点

E，求证：DE的垂直平分线必过

BC的中点

M．【典型例题】【课堂小结】等腰三角形+底边中点中点三线合一直角三角形+斜边中点斜边中线定理三角形+单中点倍长中线三角形+多中点构造中位线【变式练习】【变式1】(1)如图，已知

AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=BD，

求证：AC=2AE．(2)如图，在△ABC中，AB=AC，EF

交

AB

于点

E，交

AC

的延长线于点

F，交

BC

于

D，且BE=CF，求证：DE=DF．【变式2】(1)如图，正方形ABCD

和正方形

EFCG

的边长分别为3和1，点F，G分

别在边

BC，CD

上，P为

AE

的中点，连接

PG，则

PG

的长为

．(2)如图，等边△ABC

边长为3，点

P是

AB

边上一点，过点

P

作

PE⊥AC于

E，Q

为

BC

延长线上一点，当

PA=CQ

时，连

PQ

交

AC边于

D，则

DE

的长为

．(3)如图，在△ABC中，M是

BC

边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且

AB=8，MN=3，则

AC的长是

．【变式练习】【变式练习】【变式3】如图①，点

O为线段

MN的中点，PQ与

MN相交于点

O，且PM//NQ，

可证：△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列问题：(1)如图②，在四边形

ABCD中，AB

//DC，E为

BC边的中点，∠BAE=∠EAF，

AF与

DC的延长线相交于点

F，试探究线段

AB与

AF、CF之间的数量关系，并

证明你的结论；(2)如图③，DE、BC相交于点

E，BA交

DE于点A，且

BE:EC=1

:2，

∠BAE=∠EDF，CF

//AB，若AB=4，CF=2，求

DF的长度．【变式练习】【变式4】问题：如图1，在菱形

ABCD和菱形

BEFG中，点

A、B、E在同一条直线上，

P是线段

DF的中点，连结

PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究

PG与

PC的位置

关系及数量关系．

小聪的思路是：延长

GP交

DC于点

H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)直接写出上面问题中线段

PG与

PC的位置关系及

PG:PC

的值；(2)如图2，在正方形

ABCD和正方形

BEFG中，点

A、B、E在同一条直线上，P是线

段

DF的中点，连结

PG、PC，探究

PG与

PC的位置关系及数量关系；(3)将图2中的正方形

BEFG绕点

B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变(如图3)，

你在(2)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．【变式练习】【变式5】在△ABC中，AB＝AC，点

F是

BC延长线上一点，以

CF为边，作菱形

CDEF，使菱形

CDEF与点

A在

BC的同侧，连接

BE，点

G是

BE的中点，连接

AG、DG．(1)如图①，当∠BAC＝∠DC