第1章《一元二次方程》-2024-2025学年九年级上册数学单元测试卷（苏科版）

2024-2025学年九年级上册数学单元测试卷第1章《一元二次方程》一、单项选择题（一共8个小题，每题3分，共24分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A．B．C．D．2．若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（

）A．x2-12x+5=0 B．x2-5x+6=0 C．x2-6x-5=0 D．x2-6x+5=03．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，设该商品平均每次降价的百分率为x（x＞0），则（

）A．9（1-x）2=25 B．25（1-x）2=9 C．9（1+x）2=25 D．25（1+x）2=94．方程x2+3x-5=0的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根5．方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得的方程为（

）A．（x+3）2=14 B．（x-3）2=14 C．（x+6）2=41 D．（x-6）2=416．若（a2+b2）2+5a2+5b2=6，则a2+b2的值是（

）A．-6 B．1 C．1或-6 D．1或67．已知和是方程的两个根，则的值为（

）A． B．2021 C． D．20238．使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（

）A．35 B．30 C．26 D．21二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）9．方程的根是．10．已知a、b是方程的两根，则．11．若等腰的一边长，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为．12．方程的两个实数根互为相反数，则的值是．13．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为元/件．14．某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为．15．已知为实数，若，那么的值为．16．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于．

17．年月日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸．五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸．

18．如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则．（结果保留根号）

三、解答题（一共10题，满分86分）19．解方程（1）（2）（3）（配方法）（4）20．先化简，再求值，其中为方程的根．21．若，是方程的两实数根，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．22．已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若方程的一个根为4，求方程的另一根．23．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，求纸盒的体积．24．某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？25．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元下降到10月份的40500元．（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/？请说明理由．26．如图，矩形中，，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点、重合）．（1）若点、均以的速度移动，经过多长时间四边形为菱形？（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间为直角三角形？27．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．（1）解下列方程：①②（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．28．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求a的值．参考答案一、单选题（一共8个小题，每题3分，共24分）1．C【分析】根据一元二次方程的定义解答即可。【详解】解：A．该方程化简后为6x=-1，是一元一次方程，不符合题意；B．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，不符合题意；C．该方程化简后为x2+3=0，是一元二次方程，符合题意；D．该方程是分式方程，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2，②二次项系数不为0，③是整式方程，④含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，是解题的关键．2．D【分析】以，为根的一元二次方程的形式是，根据这个公式直接代入即可得到所求方程．【详解】解：A、中，，，不符合题意；B、中，，，不符合题意；C、中，，，不符合题意；D、中，，，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，的两根分别为，，则，．3．B【分析】根据增长率的计算方法，一元二次方程与实际问题的综合运用即可求解．【详解】解：原来的每件元降到每件元，连续两次降价，平均每次降价的百分率为，∴列方程得，，故选：．【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程与实际问题的综合运用是解题的关键．4．A【分析】根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：∵方程中，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5．A【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可．【详解】解：移项得：，配方可得：，即，故选：A．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键．6．B【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可．【详解】解：设，∴∴，∴，∴或，解得：，（不符合题意舍去）；∴，故选B【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键．7．A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．8．B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：由①得：，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴，解得：，∵有实数根，∴解得：a≤9，∵方程是一元二次方程，∴a≠5∴，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键．二、填空题（一共10个小题，每题3分，满分30分）9．【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可．【详解】解：∵，∴或，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键．10．【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程的两根，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．11．或【分析】当等腰的底边为，利用根的判别式的意义得到，求出得到后方程化为，解方程得到三角形的三边分别为、、，即，，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积；当等腰的腰为，把代入一元二次方程得，则方程化为，解方程得到此时三角形的三边分别为、、，即，，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积．【详解】解：当等腰的底边为，则两腰为方程的两个实数根，，解得，方程化为，解得，此时三角形的三边分别为、、，如图，，，过点作于，则，，的面积；当等腰的腰为，把代入方程得，解得，方程化为，解得，，此时三角形的三边分别为、、，如图，，，过点作于，则，，的面积；综上所述，的面积为或．故答案为：或

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．12．【分析】设方程的两根分别为，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．13．【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，根据题意，列方程求解即可．【详解】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：解得：或（舍去）2021年此类服装的出厂价为（元）故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程．14．9【分析】设有个球队参加比赛，那么第一个队和其他队打场球，第二个队和其他队打场，以此类推可以知道共打场，然后列出方程求解．【详解】解：设邀请个球队参加比赛，依题意得，即，，或（不合题意，舍去）．故答案为：9．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，该题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．15．2或3【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可．【详解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键．16．2【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解．【详解】设，与相交于点，∵是正方形剪开得到的，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵两个三角形重叠部分的面积为4，∴，解得，即移动的距离为2．

故答案为：2．【点睛】本题考查正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质，列出方程是解题的关键．17．【分析】先根据已知图中路程中千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题．【详解】解：如图1，

由题意得：，，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，当时，两家同时到达西人工岛，则，解得：，设千米，则，，∴，即，解得：，∴，，，，，检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边，故原方程的解是．∴，∴穿梭巴士的时间，答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本题的轴表示两车距人工岛的路程和，容易被忽略，本题较难．18．/【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，

设，∵，，∴，∵，∴，，为等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，经检验不符合题意；∴；故答案为：．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．三、解答题（一共10题，满分86分）19．（1），（2），（3），（4），【分析】（1）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据公式法解一元二次方程；；（3）根据配方法解一元二次方程；（4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，∴，即，解得：，（2）解：,∵，,∴,解得：，;（3）解：，∴，∴，∴，解得：，；（4）解：∴，即，∴，∴或，解得：，【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】，解方程得：或，如果已知分式有意义，必须不等于2，，1，∵为方程的根，∴只能为，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法．21．（1）；（2）；（3）【分析】（1），是方程的两实数根，，，再利用，从而可得答案；（2）利用，再整体代入即可得到答案；（3）由，是方程的两实数根，可得，再利用，再整体代入进行计算即可．【详解】（1）解：∵，是方程的两实数根，∴，，∴；（2）；（3）∵，是方程的两实数根，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟记根与系数的关系是解本题的关键．22．（1）；（2）【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的取值范围；（2）设方程另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解关于的一次方程即可．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：；（2）解：设方程另一个根为，根据题意得，解得，即方程的另一根为．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义．23．3000cm3【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，也是纸盒的高．则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答．【详解】设剪去小正方形的边长是xcm，根据题意得：（30－2x）（40－2x）＝600．解得x1＝5，x2＝30由题可知x＜15，所以x＝5，体积：V＝600x＝600×5＝3000cm3答：纸盒的体积为3000cm3．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，其中涉及长方形的面积、长方体体积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24．台灯的售价应定为50元或80元【分析】设售价为x元，根据“销售利润=一个灯泡的利润×销售灯泡的个数”，列出方程解方程即可．【详解】解：设售价定为x元，由题意得[600−10（x−40）]（x−30）=10000，整理,得x2−130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80.∴这种台灯的售价应定为50元或80元，答：台灯的售价应定为50元或80元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．25．（1）8、9两月平均每月降价的百分率是；（2）12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元，见解析【分析】（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x，那么9月份的房价为50000（1-x），10月份的房价为50000（1-x）2，然后根据10月份的40500元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x，根据题意得：解得：（不合题意，舍去）答：8、9两月平均每月降价的百分率是（2）不会跌破30000元．∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．26．（1）经过秒四边形是菱形；（2）经过2秒、秒、秒时为直角三角形【分析】（1）根据矩形性质可得，由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形，只需，四边形是菱形，设经过x秒四边形是菱形，将BP、DP表示出来，建立一元二次方程即可得解；（2）由分为①②两种情况讨论：对①，过Q作于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，即可得解；对②，则，由此可得关于x的一元一次方程，即可得解．【详解】解：（1）由题可知,由于P、Q两点速度大小相同，，是平行四边形，当时，四边形是菱形；设经过了x秒四边形是菱形，则有：，由勾股定理得：解得：故经过秒四边形是菱形；（2）P、A两点不重合为直角三角形有两种情况：①当时过Q作于M，可知为矩形，如图所示，，则有：，解得：，；②当时，，所以，解得；综上可知：经过2秒、秒、秒时为直角三角形．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定；解题的关键在于：（1）根据领边相等建立一元二次方程；（2）分类讨论，根据边与边的关系建立方程；解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键．27．（1）①，，；②；（2）【分析】（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案②方程两边平方把它转化为，再通过因式分