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文档简介
2024-2025学年九年级上册数学单元测试卷第1章《一元二次方程》一、单项选择题(一共8个小题,每题3分,共24分)1.下列方程中,关于x的一元二次方程是(
)A.B.C.D.2.若两个数的和为6,积为5,则以这两个数为根的一元二次方程是(
)A.x2-12x+5=0 B.x2-5x+6=0 C.x2-6x-5=0 D.x2-6x+5=03.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件9元,设该商品平均每次降价的百分率为x(x>0),则(
)A.9(1-x)2=25 B.25(1-x)2=9 C.9(1+x)2=25 D.25(1+x)2=94.方程x2+3x-5=0的根的情况是(
)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根5.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得的方程为(
)A.(x+3)2=14 B.(x-3)2=14 C.(x+6)2=41 D.(x-6)2=416.若(a2+b2)2+5a2+5b2=6,则a2+b2的值是(
)A.-6 B.1 C.1或-6 D.1或67.已知和是方程的两个根,则的值为(
)A. B.2021 C. D.20238.使得关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为(
)A.35 B.30 C.26 D.21二、填空题(一共10个小题,每题3分,满分30分)9.方程的根是.10.已知a、b是方程的两根,则.11.若等腰的一边长,另两边长恰好是关于方程的两个实数根,则的面积为.12.方程的两个实数根互为相反数,则的值是.13.某服装厂生产一批服装,2020年该类服装出厂价为200元/件,2021年、2022年连续两年改进技术,降低成本,2022年该类服装的出厂价调整为162元/件.若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同,则2021年此类服装的出厂价为元/件.14.某学校组织篮球比赛,实行单循环制,共有36场比赛,则参加的队数为.15.已知为实数,若,那么的值为.16.如图,将边长为的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于.
17.年月日,世界上最长的港珠澳大桥正式通车,香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸.五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游,某日两家人从香港口岸前往澳门口岸,当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后,小亮一家乘坐跨境出租车出发,两车在全程中均保持匀速行驶,跨境出租车比穿梭巴士早到分钟,过海关时间不考虑在内,两车距西人工岛的路程之和(千米)与小辉家出发的时间(分钟)之间的关系如图所示,穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸.
18.如图,.过点作,延长到,使,连接.若,则.(结果保留根号)
三、解答题(一共10题,满分86分)19.解方程(1)(2)(3)(配方法)(4)20.先化简,再求值,其中为方程的根.21.若,是方程的两实数根,求下列各式的值.(1);(2);(3).22.已知关于的方程有两个不相等的实数根.(1)求n的取值范围;(2)若方程的一个根为4,求方程的另一根.23.如图,把一块长为40cm,宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为,求纸盒的体积.24.某商场将进价为30元的台灯按40元出售,平均每月能售出600盏.调查表明,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量减少10盏.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少元?25.在国家的调控下.某市商品房成交价由今年8月份的50000元下降到10月份的40500元.(1)同8~9两月平均每月降价的百分率是多少?(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/?请说明理由.26.如图,矩形中,,,点从点出发沿向点移动(不与点、重合),一直到达点为止;同时,点从点出发沿向点移动(不与点、重合).(1)若点、均以的速度移动,经过多长时间四边形为菱形?(2)若点为的速度移动,点以的速度移动,经过多长时间为直角三角形?27.阅读下列材料:在解一元二次方程时,无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法,我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程,用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如:一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为,解一元一次方程和一元二次方程,可得,,.再如,解无理方程(根号下含有未知数的方程),可以通过方程两边平方把它转化为,解得.(1)解下列方程:①②(2)根据材料给你的启示,求函数的最小值.28.某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费.(1)该小区每月可收取物管费90000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提离大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“拉圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加,每户物管费将会减少;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加,每户物管费将会减少.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少,求a的值.参考答案一、单选题(一共8个小题,每题3分,共24分)1.C【分析】根据一元二次方程的定义解答即可。【详解】解:A.该方程化简后为6x=-1,是一元一次方程,不符合题意;B.当a=0时,ax2+bx+c=0不是一元二次方程,不符合题意;C.该方程化简后为x2+3=0,是一元二次方程,符合题意;D.该方程是分式方程,不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,一元二次方程必须满足四个条件:①未知数的最高次数是2,②二次项系数不为0,③是整式方程,④含有一个未知数,熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件,是解题的关键.2.D【分析】以,为根的一元二次方程的形式是,根据这个公式直接代入即可得到所求方程.【详解】解:A、中,,,不符合题意;B、中,,,不符合题意;C、中,,,不符合题意;D、中,,,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,的两根分别为,,则,.3.B【分析】根据增长率的计算方法,一元二次方程与实际问题的综合运用即可求解.【详解】解:原来的每件元降到每件元,连续两次降价,平均每次降价的百分率为,∴列方程得,,故选:.【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的实际运用,理解题目中的数量关系,掌握一元二次方程与实际问题的综合运用是解题的关键.4.A【分析】根据根的判别式进行判断即可.【详解】解:∵方程中,,,∴,∴方程有两个不相等的实数根,故A正确.故选:A.【点睛】本题考查了根的判别式,一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.5.A【分析】根据配方法的步骤对方程进行配方即可.【详解】解:移项得:,配方可得:,即,故选:A.【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程.熟练掌握用配方法解一元二次方程的具体步骤是解决此题的关键.6.B【分析】设,而,可得,再解一元二次方程即可.【详解】解:设,∴∴,∴,∴或,解得:,(不符合题意舍去);∴,故选B【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程,非负数的性质,熟练的换元是解本题的关键.7.A【分析】由和是方程的两个根,根据根于系数关系可得,,由一元二次方程根的定义可得,即可求解;【详解】和是方程的两个根,,,,,故选A.【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键.8.B【分析】先求出不等式组的解集,根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围,再通过根的判别式确定a的取值范围,最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可.【详解】解:整理不等式组得:由①得:,由②得:x<4∵不等式组有且只有4个整数解,∴不等式组的4个整数解是:3,2,1,0,∴,解得:,∵有实数根,∴解得:a≤9,∵方程是一元二次方程,∴a≠5∴,且a≠5,满足条件的整数有:6、7、8、9;∴6+7+8+9=30,故选:B.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式,熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键.二、填空题(一共10个小题,每题3分,满分30分)9.【分析】利用直接开平方法解二元一次方程即可.【详解】解:∵,∴或,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查解一元二次方程,解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法,根据方程的特点选择简便的方法是解题的关键.10.【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,可得,从而得到,然后代入,即可求解.【详解】解:∵a,b是方程的两根,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键.11.或【分析】当等腰的底边为,利用根的判别式的意义得到,求出得到后方程化为,解方程得到三角形的三边分别为、、,即,,过点作于,则,利用勾股定理计算出,则可计算出的面积;当等腰的腰为,把代入一元二次方程得,则方程化为,解方程得到此时三角形的三边分别为、、,即,,过点作于,则,利用勾股定理计算出,则可计算出的面积.【详解】解:当等腰的底边为,则两腰为方程的两个实数根,,解得,方程化为,解得,此时三角形的三边分别为、、,如图,,,过点作于,则,,的面积;当等腰的腰为,把代入方程得,解得,方程化为,解得,,此时三角形的三边分别为、、,如图,,,过点作于,则,,的面积;综上所述,的面积为或.故答案为:或
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质.12.【分析】设方程的两根分别为,根据根与系数的关系得到,解得,然后分别计算,最后确定.【详解】解:设方程的两根分别为,∵方程的两个实数根互为相反数,,∴,解得,当,方程变为:,,方程没有实数根,所以舍去;当,方程变为:,,方程有两个不相等的实数根;∴.故答案为:.【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)根与系数的关系:若方程的两根分别为,则;.也考查了一元二次方程的根的判别式:当,方程有两个不相等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根.13.【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为,根据题意,列方程求解即可.【详解】解:设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为,由题意可得:解得:或(舍去)2021年此类服装的出厂价为(元)故答案为:【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是理解题意,正确列出方程.14.9【分析】设有个球队参加比赛,那么第一个队和其他队打场球,第二个队和其他队打场,以此类推可以知道共打场,然后列出方程求解.【详解】解:设邀请个球队参加比赛,依题意得,即,,或(不合题意,舍去).故答案为:9.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,该题和实际生活结合比较紧密,准确找到关键描述语,从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键.此题还要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.15.2或3【分析】将原方程变形为,然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可.【详解】解:∵,∴,∴,∴,∴,解解,,故答案为:2或3.【点睛】本题主要考查了配方法,用因式分解法解一元二次方程,正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键.16.2【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形,设,根据题意阴影部分的面积为,解方程即可求解.【详解】设,与相交于点,∵是正方形剪开得到的,∴是等腰直角三角形,∴,∴是等腰直角三角形,∴,,∵两个三角形重叠部分的面积为4,∴,解得,即移动的距离为2.
故答案为:2.【点睛】本题考查正方形和图形的平移,一元二次方程的应用,熟练掌握平移的性质,正方形的性质,列出方程是解题的关键.17.【分析】先根据已知图中路程中千米可知:两家没出发时,距西人工岛的路程之和为千米,即香港口岸距西人工岛的路程千米,千米,设穿梭巴士的速度为千米/分,跨境出租车的速度为千米/分,千米,分别根据时间相等列方程可解决问题.【详解】解:如图1,
由题意得:,,设穿梭巴士的速度为千米/分,跨境出租车的速度为千米/分,当时,两家同时到达西人工岛,则,解得:,设千米,则,,∴,即,解得:,∴,,,,,检验:当时,无意义,故舍去;当时,左边,右边,左边右边,故原方程的解是.∴,∴穿梭巴士的时间,答:穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸.故答案为:.【点睛】本题考查一次函数的应用,解分式方程,解一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答,注意本题的轴表示两车距人工岛的路程和,容易被忽略,本题较难.18./【分析】如图,过作,交的延长线于点,设,可得,证明,,为等腰直角三角形,,,由勾股定理可得:,再解方程组可得答案.【详解】解:如图,过作,交的延长线于点,
设,∵,,∴,∵,∴,,为等腰直角三角形,∴,∴,由勾股定理可得:,整理得:,解得:,经检验不符合题意;∴;故答案为:.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,一元二次方程的解法,作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.三、解答题(一共10题,满分86分)19.(1),(2),(3),(4),【分析】(1)方程两边同时除以,然后根据直接开平方法解一元二次方程;(2)根据公式法解一元二次方程;;(3)根据配方法解一元二次方程;(4)根据因式分解法解一元二次方程即可求解.【详解】(1)解:,∴,即,解得:,(2)解:,∵,,∴,解得:,;(3)解:,∴,∴,∴,解得:,;(4)解:∴,即,∴,∴或,解得:,【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.20.【分析】先对分式进行化简,然后求出一元二次方程的解,进而代值求解即可.【详解】,解方程得:或,如果已知分式有意义,必须不等于2,,1,∵为方程的根,∴只能为,∴当时,原式.【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法,解题的关键是熟练掌握各个运算方法.21.(1);(2);(3)【分析】(1),是方程的两实数根,,,再利用,从而可得答案;(2)利用,再整体代入即可得到答案;(3)由,是方程的两实数根,可得,再利用,再整体代入进行计算即可.【详解】(1)解:∵,是方程的两实数根,∴,,∴;(2);(3)∵,是方程的两实数根,∴,∴,∴.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,方程的解的含义,熟记根与系数的关系是解本题的关键.22.(1);(2)【分析】(1)根据判别式的意义得到,然后解不等式即可得到的取值范围;(2)设方程另一个根为,根据根与系数的关系得到,然后解关于的一次方程即可.【详解】(1)解:根据题意得:,解得:;(2)解:设方程另一个根为,根据题意得,解得,即方程的另一根为.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义.23.3000cm3【分析】设剪去小正方形的边长是xcm,也是纸盒的高.则纸盒底面的长为(40﹣2x)cm,宽为(30﹣2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2,即可得出关于x的一元二次方程并解答.【详解】设剪去小正方形的边长是xcm,根据题意得:(30-2x)(40-2x)=600.解得x1=5,x2=30由题可知x<15,所以x=5,体积:V=600x=600×5=3000cm3答:纸盒的体积为3000cm3.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,其中涉及长方形的面积、长方体体积等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.24.台灯的售价应定为50元或80元【分析】设售价为x元,根据“销售利润=一个灯泡的利润×销售灯泡的个数”,列出方程解方程即可.【详解】解:设售价定为x元,由题意得[600−10(x−40)](x−30)=10000,整理,得x2−130x+4000=0,解得:x1=50,x2=80.∴这种台灯的售价应定为50元或80元,答:台灯的售价应定为50元或80元.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.25.(1)8、9两月平均每月降价的百分率是;(2)12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元,见解析【分析】(1)设8、9两月平均每月降价的百分率是x,那么9月份的房价为50000(1-x),10月份的房价为50000(1-x)2,然后根据10月份的40500元/m2即可列出方程解决问题;(2)根据(1)的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价,然后和30000元/m2进行比较即可作出判断.【详解】解:(1)设这两月平均每月降价的百分率是x,根据题意得:解得:(不合题意,舍去)答:8、9两月平均每月降价的百分率是(2)不会跌破30000元.∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,和实际生活结合比较紧密,正确理解题意,找到关键的数量关系,然后列出方程是解题的关键.26.(1)经过秒四边形是菱形;(2)经过2秒、秒、秒时为直角三角形【分析】(1)根据矩形性质可得,由P、Q两点速度大小相同得到平行四边形,只需,四边形是菱形,设经过x秒四边形是菱形,将BP、DP表示出来,建立一元二次方程即可得解;(2)由分为①②两种情况讨论:对①,过Q作于M,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程,即可得解;对②,则,由此可得关于x的一元一次方程,即可得解.【详解】解:(1)由题可知,由于P、Q两点速度大小相同,,是平行四边形,当时,四边形是菱形;设经过了x秒四边形是菱形,则有:,由勾股定理得:解得:故经过秒四边形是菱形;(2)P、A两点不重合为直角三角形有两种情况:①当时过Q作于M,可知为矩形,如图所示,,则有:,解得:,;②当时,,所以,解得;综上可知:经过2秒、秒、秒时为直角三角形.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定;解题的关键在于:(1)根据领边相等建立一元二次方程;(2)分类讨论,根据边与边的关系建立方程;解决该类问题根据菱形的判定、勾股定理的逆定理得出关于x的方程是关键.27.(1)①,,;②;(2)【分析】(1)①结合题意,首先提取公因式,再结合因式分解法求解,即可得到答案②方程两边平方把它转化为,再通过因式分
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