5.1-5.2任意角及其度量【教师版】

中小学1对1课外辅导专家PAGEPAGE1东方教育网站：东方教育·教学管理部东方教育学科教师辅导讲义讲义编号SH12sx00021授课班级：年级：高一课时数：4学员姓名：辅导科目：数学学科教师：李生学科组长签名及日期剩余天数天课题任意角及其度量授课时间：备课时间：教学目标1.角的定义2.三角函数的定义3.弧度制4.同角三角函数的关系重点、难点三角函数的定义;同角三角函数的关系考点及考试要求弧度制、同角三角函数的关系教学内容知识梳理【1】对“角”的认识：1.角的概念角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。注：我们一般约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边。我们规定：逆时针旋转得到的角是正角。（2）顺时针旋转得到的角角负角。起始边终边（3）一条射线没有作任何旋转，就把它叫做零角起始边终边做一做①：与300终边相同的角有________个，请写出四个与300终边相同的角（要求两个正角，两个负角）_____,_____,______,______。理解角的概念应注意：（1）注意分清正角和负角；（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）角具有周期性：终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600的整数倍。终边相同的角的表示：启问：与300终边相同的角如何用一个式子表示？解答：把与300终边相同的所有角看成一个集合，这个集合可表示为：于是我们有：与任意角终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：例如：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：；）弧度制定义：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做1弧度。1弧度记作1rad；1弧度(1rad).弧度制与角度制之间的转化，记住核心关系：弧度制相比角度制的优点在于：①公式的表达更简洁；②可以省略单位不写，与实数集建立了一一对应关系，可用实数直接表示角的大小。是实数与角的统一。常用角的互化：角度00300450弧度【i】弧长公式：，扇形面积公式：例如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）【练习】（1）已知扇形的周长为20cm，面积为9cm2,求扇形圆心角的弧度数；（2）若扇形的圆心角为750，半径为15cm，求扇形的面积；（3）若扇形的周长为60cm,那么当它的圆心角为多少时，扇形的面积最大？【ii】角与角的位置关系的判断终边相同的角对称关系的角满足一些常见关系式的两角例如：若是第二象限角，则是第_____象限角：一、三）（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；（6）终边在轴上的角可表示为：；（7）终边在坐标轴上的角可表示为：.例如：的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。（答：）【3】三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。但既有联系，又有区别。定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。三角函数值只与终边的位置有关，而与终边上点P的位置无关。例如：（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为；（答：）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是.（答：（－1，）；若，试判断的符号（答：负）【同角三角函数的基本关系式的主要作用是：【同角三角函数的基本关系式的主要作用是：已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值.】（1）平方关系：（2）商数关系：做一做：已知，求的值；已知，且在第三象限，求的值；（3）已知，且在第二象限，求的值。8.特殊角的三角函数值：30°45°规律：①同角的正弦和余弦成规律：①同角的正弦和余弦成平方关系；②若与互余，则一个角的余弦等于另一个角的正弦，一个角的正弦等于另一个角的余弦；经典例题例1.(1)设，且的终边与角的终边相同，则＝____答：1提示:与角终边相同的角的集合是(2)如果是第一象限角，那么①,②,③,④中恒成立的有_____个。答：1提示:利用三角函数线知②总成立.(3).若tanα＝3，则=_______答：提示:用公式(4)已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的弧长为；面积为．答：㎝,㎝2提示:利用弧长公式及扇形面积公式,注意圆心角的单位化为弧度(5)已知．答：提示：利用诱导公式例2.若，求（1）的值；（2）的值．解（1）（2）原式例3.若的值．解：例4.已知．化简；若是第三象限的角，且，求的值；若，求的值．解：（1）（2）（3）课堂练习：（1）若，则使成立的的取值范围是____（答：）；（2）已知，，则＝____（答：）；（3）已知，则＝___；＝____（答：；）；（4）已知，则等于（）A、B、C、D、（答：B）；课堂练习：设分别是第二、三、四象限角，则点分别在第___、___、___象限.2.已知，求3．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝.4．使tanx－有意义的x的集合为.5．已知α是第二象限的角，且coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)，则eq\f(α,2)是第象限的角.三、总结与角终边相同的角弧度制表示角度制表示角度与弧度的基本转换；；弧长公式 扇形面积公式角度制 角度制弧度制 弧度制象限角表示区间表示角度表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角坐标轴上的角表示终边所在位置弧度表示角度表示轴正半轴轴正半轴轴正半轴轴正半轴坐标轴角终边上任意一点的坐标是，则三角比在各象限的符号第一象限第二象限第三象限第四象限特殊角的三角比值0与的象限在第一象限，在第象限，的取值范围在第二象限，在第象限，的取值范围在第三象限，在第象限，的取值范围在第四象限，在第象限，的取值范围四、练习一、选择题1.设角属于第二象限，且，则角属于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（）A.①B.②C.③D.④3.等于（）A.B.C.D.4.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A.B.C.D.5．若θ∈（eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2)），则eq\r(1－2sinθcosθ)等于A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθC.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ6．若tanθ＝eq\f(1,3)，则cos2θ＋sinθcosθ的值是A.－eq\f(6,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(6,5)三、解答题1.已知是关于的方程的两个实根，且，求的值.2.设cosθ＝eq\f(m－n,m＋n)（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.3．证明(1)eq\f(1＋2sinθcosθ,cos2θ－sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ【练习参考答案--仅供参考】一、选择题1.C当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；2.C；；3.B4.A5.A6.D二、填空题1.四、三、二当是第二象限角时，；当是第三象限角时，；当是第四象限角时，；2.②3．04．{x|x∈R且x≠，k∈Z}5．三三、解答题解：，而，则得，则，.2.解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝eq\f(m－n,m＋n)＞0∴θ是第一象限角或第四象限角.当θ是第一象限角时：sinθ＝＝tanθ＝当θ是第四象限