数学-人教B版-一轮复习-教学设计8：2.6 对数与对数函数2.6 对数与对数函数-第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ-教学设计

2.6对数与对数函数1．对数的概念假如ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．2．对数的性质、换底公式与运算性质3.对数函数的定义、图象与性质续表4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4【解析】2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】C2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于()A.eq\f(1,2x)B．2x－2C．logeq\s\do9(\f(1,2))xD．log2x【解析】由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】D3．假如logeq\s\do9(\f(1,2))x＜logeq\s\do9(\f(1,2))y＜0，那么()A．y＜x＜1B．x＜y＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x【解析】∵y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.【答案】D4．(2013·苏州模拟)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【解析】函数f(x)的定义域为(－eq\f(1,2)，＋∞)，令t＝2x＋1(t＞0)．由于y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－eq\f(1,2)，＋∞)上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－eq\f(1,2)，＋∞)．【答案】(－eq\f(1,2)，＋∞)5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】2(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n；(2)计算eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)．【思路点拨】(1)依据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．【尝试解答】(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.(3)原式＝(eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg2,lg9))·(eq\f(lg3,lg4)＋eq\f(lg3,lg8))＝(eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg2,2lg3))·(eq\f(lg3,2lg2)＋eq\f(lg3,3lg2))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4)1．对数运算法则是在化为同底的状况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必需保证恒等变形．2．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要留意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．(1)(2013·宝鸡模拟)计算(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100－eq\f(1,2)＝________．(2)(2013·大连模拟)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝________．【解析】(1)原式＝(lgeq\f(1,100))÷eq\f(1,10)＝－20.(2)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m2＝10，∴m＝eq\r(10).【答案】(1)－20(2)eq\r(10)(1)(2013·长沙质检)函数y＝ax2＋bx与y＝log|eq\f(b,a)|x(ab≠0，|a|≠|b|)在同始终角坐标系中的图象可能是()(2)(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|0＜x≤10，－\f(1,2)x＋6x＞10，))若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1，10)B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)【思路点拨】(1)依据函数y＝ax2＋bx与x轴的交点确定|eq\f(b,a)|的范围．(2)画出f(x)的图象，确定a，b，c的范围．【尝试解答】(1)令ax2＋bx＝0得x＝0或x＝－eq\f(b,a).对于A、B项，由抛物线知，0＜|eq\f(b,a)|＜1，此时，对数函数图象不合要求，故A、B项不正确；对于C项，由抛物线知|eq\f(b,a)|＞1，此时，对数函数图象不合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知0＜|eq\f(b,a)|＜1，此时对数函数的图象符合要求，故选D.(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，由于a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，由于a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故选C.【答案】(1)D(2)C,1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)依据|lga|＝|lgb|得到ab＝1是解题的关键．2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2＜x3＜x1B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3D．x3＜x2＜x1(2)函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．【解析】(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.(2)作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．【答案】(1)A(2)(－∞，－1)(－1，＋∞)已知函数f(x)＝log2eq\f(x＋2a＋1,x－3a＋1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试争辩它的奇偶性和单调性．【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式，但要留意分类争辩，(2)先由条件求出a的值，再争辩奇偶性和单调性．【尝试解答】(1)eq\f(x＋2a＋1,x－3a＋1)＞0⇒[x－(3a－1)][x－(－2a－1)]＞0，所以，当3a－1≥－2a－1，即a≥0时，定义域为(－∞，－2a－1)∪(3a－1，＋∞)；当3a－1＜－2a－1，即a＜0时，定义域为(－∞，3a－1)∪(－2a－1，＋∞)．(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当－2a－1＝－(3a－1)⇒a＝2，此时，f(x)＝log2eq\f(x＋5,x－5).对于定义域D＝(－∞，－5)∪(5，＋∞)内任意x，－x∈D，f(－x)＝log2eq\f(－x＋5,－x－5)＝log2eq\f(x－5,x＋5)＝－log2eq\f(x＋5,x－5)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；当x∈(5，＋∞)，对任意5＜x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝log2eq\f(（x1＋5）（x2－5）,（x1－5）（x2＋5）)，而(x1＋5)(x2－5)－(x1－5)(x2＋5)＝10(x2－x1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)在(5，＋∞)内单调递减；由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－5)内单调递减．1．利用对数函数的性质比较对数值大小：(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理；(2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．(3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较．2．利用对数函数性质争辩对数型函数性质，要留意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．(2013·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解之得1＜a＜eq\f(8,3).若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，∴a＞4，且a＜4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是(1，eq\f(8,3))．一种关系ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)两个防范解决与对数有关的问题时：(1)务必先争辩函数的定义域．(2)对数函数的单调性取决于底数a，应留意底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，(eq\f(1,a)，－1)．四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．从近两年高考看，对数函数是考查的重点，题型多为选择题、填空题，重点考查对数函数的图象和性质的应用，中等难度．估计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，考查解决问题的力量，分类争辩和数形结合等数学思想．思想方法之四用数形结合思想求参数的取值范围(2012·课标全国卷)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则a的取值范围是()A．(0，eq\f(\r(2),2))B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)【解析】由0＜x≤eq\f(1,2)且logax＞4x＞0得0＜a＜1，在同一坐标系中画出函数y＝4x(0＜x≤eq\f(1,2))和y＝logax(0＜a＜1，0＜x≤eq\f(1,2))的图象，如图所示：由图象知，要使当0＜x≤eq\f(1,2)，4x＜logax，只需logaeq\f(1,2)＞4eq\s\up6(\f(1,2))，即logaeq\f(1,2)＞logaa2，∴a2＞eq\f(1,2)，∴a＞eq\f(\r(2),2)或a＜－eq\f(\r(2),2)，又0＜a＜1，∴eq\f(\r(2),2)＜a＜1.【答案】B易错提示：(1)本题无法分别参数，没有数形结合的思想意识，从而无法求解．(2)不会解不等式logaeq\f(1,2)＞4eq\s\up6(\f(1,2))，造成错解．防范措施：(1)恒成立问题常用分别参数法求解，当不能分别参数且图象易画时，可考虑数形结合法．(2)解对数不等式时常用化为同底法求解，实际上应用的是对数函数的单调性．1．(2013·潍坊模拟)函数y＝lneq\f(ex－e－x,ex＋e－x)的图象大致为()【解析】由题意，知eq\f(ex－e－x,ex＋e－