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文档简介
2.6对数与对数函数1.对数的概念假如ax=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.2.对数的性质、换底公式与运算性质3.对数函数的定义、图象与性质续表4.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.1.(人教A版教材习题改编)2log510+log50.25=()A.0B.1C.2D.4【解析】2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.【答案】C2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于()A.eq\f(1,2x)B.2x-2C.logeq\s\do9(\f(1,2))xD.log2x【解析】由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,∴loga2=1,∴a=2.∴f(x)=log2x,故选D.【答案】D3.假如logeq\s\do9(\f(1,2))x<logeq\s\do9(\f(1,2))y<0,那么()A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x【解析】∵y=logeq\s\do9(\f(1,2))x是(0,+∞)上的减函数,∴x>y>1.【答案】D4.(2013·苏州模拟)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.【解析】函数f(x)的定义域为(-eq\f(1,2),+∞),令t=2x+1(t>0).由于y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在(-eq\f(1,2),+∞)上为增函数,所以函数y=log5(2x+1)的单调增区间为(-eq\f(1,2),+∞).【答案】(-eq\f(1,2),+∞)5.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.【解析】∵f(x)=lgx,∴f(a2)+f(b2)=2lga+2lgb=2lgab.又f(ab)=1,∴lgab=1,∴f(a2)+f(b2)=2.【答案】2(1)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n;(2)计算eq\f((1-log63)2+log62·log618,log64);(3)计算(log32+log92)·(log43+log83).【思路点拨】(1)依据乘法公式和对数运算性质进行计算;(2)将对数式化为指数式或直接代入求解.【尝试解答】(1)法一∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12.法二∵loga2=m,loga3=n,∴a2m+n=(am)2·an=(aloga2)2·aloga3=22×3=12.(2)原式=eq\f(1-2log63+(log63)2+log6\f(6,3)·log6(6×3),log64)=eq\f(1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63),log64)=eq\f(1-2log63+(log63)2+1-(log63)2,log64)=eq\f(2(1-log63),2log62)=eq\f(log66-log63,log62)=eq\f(log62,log62)=1.(3)原式=(eq\f(lg2,lg3)+eq\f(lg2,lg9))·(eq\f(lg3,lg4)+eq\f(lg3,lg8))=(eq\f(lg2,lg3)+eq\f(lg2,2lg3))·(eq\f(lg3,2lg2)+eq\f(lg3,3lg2))=eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)=eq\f(5,4)1.对数运算法则是在化为同底的状况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论;在对含字母的对数式化简时必需保证恒等变形.2.ab=N⇔b=logaN(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要留意互化.3.利用对数运算法则,在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化.(1)(2013·宝鸡模拟)计算(lgeq\f(1,4)-lg25)÷100-eq\f(1,2)=________.(2)(2013·大连模拟)设2a=5b=m,且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2,则m=________.【解析】(1)原式=(lgeq\f(1,100))÷eq\f(1,10)=-20.(2)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1,log2m)+eq\f(1,log5m)=logm2+logm5=logm10=2.∴m2=10,∴m=eq\r(10).【答案】(1)-20(2)eq\r(10)(1)(2013·长沙质检)函数y=ax2+bx与y=log|eq\f(b,a)|x(ab≠0,|a|≠|b|)在同始终角坐标系中的图象可能是()(2)(2013·济南模拟)已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|0<x≤10,-\f(1,2)x+6x>10,))若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【思路点拨】(1)依据函数y=ax2+bx与x轴的交点确定|eq\f(b,a)|的范围.(2)画出f(x)的图象,确定a,b,c的范围.【尝试解答】(1)令ax2+bx=0得x=0或x=-eq\f(b,a).对于A、B项,由抛物线知,0<|eq\f(b,a)|<1,此时,对数函数图象不合要求,故A、B项不正确;对于C项,由抛物线知|eq\f(b,a)|>1,此时,对数函数图象不合要求,故C不正确;对于D项,由抛物线知0<|eq\f(b,a)|<1,此时对数函数的图象符合要求,故选D.(2)作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c,由于a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象可知10<c<12,且|lga|=|lgb|,由于a≠b,所以lga=-lgb,可得ab=1,所以abc=c∈(10,12),故选C.【答案】(1)D(2)C,1.解答本题(1)时,可假设一个图象正确,然后看另一个图象是否符合要求;对于本题(2)依据|lga|=|lgb|得到ab=1是解题的关键.2.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合求解.3.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.(1)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x2<x3<x1B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3D.x3<x2<x1(2)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为________,单调递增区间为________.【解析】(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y=a(a<0),易知x1>x3>x2,故选A.(2)作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞).【答案】(1)A(2)(-∞,-1)(-1,+∞)已知函数f(x)=log2eq\f(x+2a+1,x-3a+1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,试争辩它的奇偶性和单调性.【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式,但要留意分类争辩,(2)先由条件求出a的值,再争辩奇偶性和单调性.【尝试解答】(1)eq\f(x+2a+1,x-3a+1)>0⇒[x-(3a-1)][x-(-2a-1)]>0,所以,当3a-1≥-2a-1,即a≥0时,定义域为(-∞,-2a-1)∪(3a-1,+∞);当3a-1<-2a-1,即a<0时,定义域为(-∞,3a-1)∪(-2a-1,+∞).(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,当且仅当-2a-1=-(3a-1)⇒a=2,此时,f(x)=log2eq\f(x+5,x-5).对于定义域D=(-∞,-5)∪(5,+∞)内任意x,-x∈D,f(-x)=log2eq\f(-x+5,-x-5)=log2eq\f(x-5,x+5)=-log2eq\f(x+5,x-5)=-f(x),所以f(x)为奇函数;当x∈(5,+∞),对任意5<x1<x2,有f(x1)-f(x2)=log2eq\f((x1+5)(x2-5),(x1-5)(x2+5)),而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5)=10(x2-x1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(5,+∞)内单调递减;由于f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,-5)内单调递减.1.利用对数函数的性质比较对数值大小:(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理;(2)底数不同,真数相同的对数值的比较,可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.(3)既不同底数,又不同真数的对数值的比较,先引入中间量(如-1,0,1等),再利用对数函数性质进行比较.2.利用对数函数性质争辩对数型函数性质,要留意三点,一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成.(2013·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.【解析】当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1,解之得1<a<eq\f(8,3).若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,∴a>4,且a<4,故不存在.综上可知,实数a的取值范围是(1,eq\f(8,3)).一种关系ab=N⇔logaN=b(a>0,a≠1,N>0)两个防范解决与对数有关的问题时:(1)务必先争辩函数的定义域.(2)对数函数的单调性取决于底数a,应留意底数的取值范围.三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),(eq\f(1,a),-1).四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0或1).(4)化为同真数后利用图象比较.从近两年高考看,对数函数是考查的重点,题型多为选择题、填空题,重点考查对数函数的图象和性质的应用,中等难度.估计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点,考查解决问题的力量,分类争辩和数形结合等数学思想.思想方法之四用数形结合思想求参数的取值范围(2012·课标全国卷)当0<x≤eq\f(1,2)时,4x<logax,则a的取值范围是()A.(0,eq\f(\r(2),2))B.(eq\f(\r(2),2),1)C.(1,eq\r(2))D.(eq\r(2),2)【解析】由0<x≤eq\f(1,2)且logax>4x>0得0<a<1,在同一坐标系中画出函数y=4x(0<x≤eq\f(1,2))和y=logax(0<a<1,0<x≤eq\f(1,2))的图象,如图所示:由图象知,要使当0<x≤eq\f(1,2),4x<logax,只需logaeq\f(1,2)>4eq\s\up6(\f(1,2)),即logaeq\f(1,2)>logaa2,∴a2>eq\f(1,2),∴a>eq\f(\r(2),2)或a<-eq\f(\r(2),2),又0<a<1,∴eq\f(\r(2),2)<a<1.【答案】B易错提示:(1)本题无法分别参数,没有数形结合的思想意识,从而无法求解.(2)不会解不等式logaeq\f(1,2)>4eq\s\up6(\f(1,2)),造成错解.防范措施:(1)恒成立问题常用分别参数法求解,当不能分别参数且图象易画时,可考虑数形结合法.(2)解对数不等式时常用化为同底法求解,实际上应用的是对数函数的单调性.1.(2013·潍坊模拟)函数y=lneq\f(ex-e-x,ex+e-x)的图象大致为()【解析】由题意,知eq\f(ex-e-x,ex+e-
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