新人教A版高中数学必修第一册：指数函数

授课主题：指数函数教学目标1．娴熟把握指数函数的图象和性质．2．会求指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的定义域、值域，并能推断其单调性．3．理解指数函数的简洁应用模型，培育数学应用意识教学内容1．指数函数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．由于指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数，所以指数函数的定义域为R．2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质：图象定义域值域性质（1）过定点，即时，（2）在上是减函数（2）在上是增函数（3）时，时，（3）时，时，（4）对于同一个，与的图象关于轴对称（5）接近于，越靠近轴（5）越大，越靠近轴题型一指数函数概念的理解和应用例1点评：推断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一形式，即底数a为不等于1的正常数，指数只能是x，且ax的系数为1.巩固下列函数是指数函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3－xD．y＝3·2x答案：C题型二求指数函数的定义域与值域例2求下列函数的定义域与值域：点评：函数y＝af(x)的定义域、值域的求法．(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域D；③求t＝f(x)的值域M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．巩固求下列函数的定义域和值域：题型三指数函数的图象的应用例3下图是指数函数：①y＝ax(a＞0，且a≠1)，②y＝bx(b＞0，且b≠1)，③y＝cx(c＞0，且c≠1)，④y＝dx(d＞0，且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解析：法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右侧，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b＜a，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大图象向上越靠近y轴，故有d＜c.法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，C，D(如上图)，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观看可得c＞d＞1＞a＞b.答案：B点评：1.指数函数的图象随底数变化的规律(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象都与直线x＝1相交于点(1，a)．由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括为：在第一象限内，图高则底大．2．指数函数图象问题的处理方法(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(0,1)；(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性．巩固图中的曲线是指数函数的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为_______________．答案：题型四利用指数函数的单调性比较大小例4比较下列各组数的大小：点评：比较幂的大小的方法(1)对于底数相同，但指数不同的幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来推断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来推断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．巩固比较下列各组数的大小：题型五求指数函数的单调区间例5确定函数的单调区间，并对其加以证明.点评：1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点打算，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．2．y＝f(u)，u＝g(x)，列函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增3.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．巩固已知a＞0且a≠1，争辩函数的单调性． 题型六解简洁的指数不等式例6已知不等式a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)，试求x的取值范围．点评：形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．假如a的值不确定，需分0＜a＜1和a＞1争辩．巩固已知集合,,则等于（）A．{－1,1}B．{－1} C．{0}D．{－1,0}题型七依据指数函数的图象争辩其定义域、值域例7求函数的定义域、值域，并作出图像．点评：含确定值问题留意争辩去确定值，指数函数定义域、值域相关问题留意利用函数的图象．巩固画出函数y＝2|x＋1|的图象． 分析：通过分类争辩可去掉确定值号，变为分段函数，进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图经对称变换得到．解析：法一：由函数解析式可得法二：故先作出y＝2x(x≥0)的图象，再作关于y轴对称，y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象左移一个单位即可得到y＝2|x＋1|的图象．点评：函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，函数y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．A组1.指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)的值为()A．64 B．256 C．8D．162.设,则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y23．函数的定义域为___________;值域为____________.答案：；B组1．函数f(x)＝eq\r(1－2x)的定义域是()A．(－∞，0)B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，＋∞)解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发觉经过10天就可布满整个容器，则当细胞分裂到布满容器的一半时需要的天数是()A．5天B．6天C．8天D．9天答案：D3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝ax＋b的图象肯定不经过()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案：A4．函数＝yeq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－1－\f(1,8))的定义域是________．C组1．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是()A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．不能确定解析：∵a＞1，b＞1，由图示知b＞a.答案：C2．定义运算，例如，则函数的值域为______________．3．若函数f(x)＝ax－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标．分析：争辩f(x)＝ax的图象和f(x)＝ax－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导．解析：将指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝ax－1＋3的图象，由于y＝ax的图象恒过(0,1)，故相应的y＝ax－1＋3恒过定点(1,4)．4．的最大、最小值．A组1.函数f(x)＝3－x－1的值域是()A．R B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．[0，＋∞)答案：CA. B. C. D.B组1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于()A.eq\f(1,2)B．2 C．4D.eq\f(1,4)解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，∴端点处取得最大、小值，∴a0＋a＝3，故a＝2.答案：B2．下列不等关系中，正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜1C．1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(2,3)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,3)＜13．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有()A．f(xy)＝f(x)f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.答案：C4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y＝2x－1＋25．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－2x在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－2x在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)C组1．函数y＝|2－x－2|的图象是()答案：D2．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围为()A．(－∞，1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(0,2)D．R解析：∵a2＋a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)＞1，∴由题设知x＞1－x，解得x＞eq\f(1,2).答案：B3．已知函数f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)，若f(x)为奇函数，则a＝__________.解析：∵f(－x)＝a－eq\f(1,2－x＋1)＝a－e