第19讲　矩形、菱形和正方形

第19讲矩形、菱形和正方形(时间45分钟满分120分)A卷一、选择题(每小题3分,共24分)1．(2018·上海)已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是(C)A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB2．(2018·聊城)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是(D)A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC第2题图第3题图3．(2018·河南)我们知道:四边形具有不稳定性．如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D′处,则点C的对应点C′的坐标为(D)A．(eq\r(3),1)B．(2,1)C．(1,eq\r(3))D．(2,eq\r(3))(导学号58824172)4．(2018·绵阳)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点,若AC＝2eq\r(3),∠AEO＝120°,则FC的长度为(A)A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\r(3)第4题图第5题图5．(2018·长沙)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为(D)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm6．(2018·株洲)如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为(C)A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC＝BD时,它是矩形第6题图第7题图7．(2018·常州)如图,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD＝2OA＝6,AD∶AB＝3∶1,则点C的坐标是(A)A．(2,7)B．(3,7)C．(3,8)D．(4,8)8．(2018·呼和浩特)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,E,F为BD所在直线上的两点,若AE＝eq\r(5),∠EAF＝135°,则以下结论正确的是(C)A．DE＝1B．tan∠AFO＝eq\f(1,3)C．AF＝eq\f(\r(10),2)D．四边形AFCE的面积为eq\f(9,4)二、填空题(每小题3分,共18分)9．(2018·十堰)如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC＝140°,则∠OED＝_20°_.第9题图第10题图10．(2016·成都)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为_3eq\r(3)_.(导学号58824173)11．(2018·哈尔滨)四边形ABCD是菱形,∠BAD＝60°,AB＝6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE＝eq\r(3),则CE的长为_4eq\r(3)或2eq\r(3)_.12．(2016·广东)如图,矩形ABCD中,对角线AC＝2eq\r(3),E为BC边上一点,BC＝3BE,将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B′处,则AB＝_eq\r(3)_.13．(2018·怀化)如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,AB＝10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为_10eq\r(3)－10_cm.第13题图第14题图14．如图,△ABC是等腰三角形,∠C＝90°,D是AB的中点,点E,F分别在AC,BC边上运动(点E不与点A,C重合),且保持AE＝CF,连接DE,DF,EF.在此运动变化过程中,有下列结论:①DE＝DF；②∠EDF＝90°；③四边形CEDF不可能为正方形；④四边形CEDF的面积保持不变．一定成立的结论有_①②④_.(把你认为正确的序号都填上)三、解答题(本大题4小题,共45分)15．(11分)(2018·张家界)如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE.(1)求证:△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状,并说明理由．(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEG＝∠BFG,∵EF垂直平分AB,∴AG＝BG,在△AGE和△BGF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEG＝∠BFG，,∠AGE＝∠BGF，,AG＝BG，))∴△AGE≌△BGF(AAS)；(2)解:四边形AFBE是菱形,理由如下:∵△AGE≌△BGF,∴AE＝BF,∵AD∥BC,∴四边形AFBE是平行四边形,又∵EF⊥AB,∴四边形AFBE是菱形．16．(11分)(2018·南宁)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE＝DF.(1)求证:AE＝CF；(2)若AB＝6,∠COD＝60°,求矩形ABCD的面积．(导学号58824174)(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OC,OB＝OD,AC＝BD,∠ABC＝90°,∵BE＝DF,∴OE＝OF,在△AOE和△COF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，,OE＝OF，))∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE＝CF；(2)解:∵∠AOB＝∠COD＝60°,OA＝OB,∴△AOB是等边三角形,∴OA＝AB＝6,∴AC＝2OA＝12,在Rt△ABC中,BC＝eq\r(AC2－AB2)＝6eq\r(3).∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6eq\r(3)＝36eq\r(3).17．(11分)(2018·北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD＝2BC,∠ABD＝90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形；(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC＝1,求AC的长．(1)证明:∵AD＝2BC,E为AD的中点,∴DE＝BC,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD＝90°,AE＝DE,∴BE＝DE,∴四边形BCDE是菱形；(2)解:如解图,连接AC.∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA,∴AB＝BC＝1,∵AD＝2BC＝2,∴sin∠ADB＝eq\f(1,2),∴∠ADB＝30°,∴∠DAC＝30°,∠ADC＝60°,在Rt△ACD中,∵AD＝2,∴CD＝1,AC＝eq\r(3).18．(12分)(2018·玉林)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE＝CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO＝OD,连接DE,DF,GE,GF.(1)求证:四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．(1)证明:连接CD,如解图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB＝90°,D是AB的中点,∴∠A＝∠DCF＝45°,AD＝CD.在△ADE和△CDF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,∠A＝∠DCF，,AD＝CD，))∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE＝DF,∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°,∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°,∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点,GO＝OD,∴GD⊥EF,且GD＝2OD＝EF,∴四边形EDFG是正方形；图①图②(2)解:过点D作DE′⊥AC于E′,如解图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∴DE′＝eq\f(1,2)BC＝2,AB＝4eq\r(2),点E′为AC的中点,∴2≤DE＜2eq\r(2)(点E与点E′重合时取等号)．∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8,∴当点E为线段AC的中点时,四边形EDFG的面积最小,该最小值为4.B卷1．(3分)(2018·黔东南州)如图,正方形ABCD中,E为AB中点,FE⊥AB,AF＝2AE,FC交BD于点O,则∠DOC的度数为(A)A．60°B．67.5°C．75°D．54°第1题图第2题图2．(3分)(2018·苏州)如图,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AD＝8,F是AB的中点,过点F作FE⊥AD,垂足为E,将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A′E′F′,设P,P′分别是EF,E′F′的中点,当点A′与点B重合时,四边形PP′CD的面积为(A)A．28eq\r(3)B．24eq\r(3)C．32eq\r(3)D．32eq\r(3)－83．(3分)(2018·枣庄)在矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,∠BED的角平分线EF与DC交于点F,若AB＝9,DF＝2FC,则BC＝_6eq\r(2)＋3_.(结果保留根号)(导学号58824175)4．(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝5cm,BC＝9cm,M是CD的中点,P是BC边上的一动点(点P与点B,C不重合),连接PM并延长交AD的延长线于点Q.(1)求证:△PCM≌△QDM；(2)当点P在点B,C之间运动到什么位置时,四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．(1)证明:∵AD∥BC,∴∠QDM＝∠PCM,∵M是CD的中点,∴DM＝CM,∵∠DMQ＝∠CMP,在△PCM和△QDM中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠QDM＝∠PCM，,DM＝CM，,∠DMQ＝∠CMP，))∴△PCM≌△QDM(ASA)；(2)解:当PC＝2时,四边形ABPQ是平行四边形．5．(12分)(2018·德州)如图①,在矩形纸片ABCD中,AB＝3cm,AD＝5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.(1)求证:四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图②),求菱形BFEP的边长；②若限定点P,Q分别在边BA,BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离．(1)证明:∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,∴点B与点E关于PQ对称,∴PB＝PE,BF＝EF,∠BPF＝∠EPF,又∵EF∥AB,∴∠BPF＝∠EFP,∴∠EPF＝∠EFP,∴EP＝EF,∴BP＝BF＝EF＝EP,∴四边形BFEP为菱形；(2)解:①∵四边形ABCD是矩形,∴BC＝AD＝5cm,CD＝AB＝3cm,∠A＝∠D＝90°,∵点B与点E关于PQ对称,∴CE＝BC＝5cm,在Rt△CDE中,