2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：2 .1 数列的概念与简单表示法

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

第1课时数列的概念与简单表示法

1.理解数列及其有关概念.（数学抽象）

学

2.学会用列表法、图象法、通项公式法表示数列.（数学抽象、

习

直观想象）

目

3.理解数列是一种特殊的函数，能从函数的观点研究数列.（数

标

学抽象）

必备知识•自主学习

项数无限的数

无穷数列

列

从第2项起,每

一项都大于它

递增数列

的前一项的数

列

从第2项起,每

一项都小于它

递减数列

的前一项的数

按项的

列

变化趋势

各项相等的数

常数列

列

从第2项起,有

些项大于它的

摆动数列前一项，有些项

小于它的前一

项的数列

3.数列与函数的关系

从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如表:

定义正整数集N*（或它的有限

域子集｛1,2,3,•••,n｝）

解析数列的通项公式

式

由自变量从小到大依次取

值域值时对应的一列函数值构

成

⑴通项公式（解析

表示

法）；（2）列表法；（3）图象

方法

法

思考？

数列的图象有什么特点？

提示：数歹”的图象是一系列孤立的点.

4.数列的通项公式

⑴定义:如果数列｛4｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来

表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

⑵本质：数列的通项公式实际就是数列的函数解析式.

⑶作用：①写出数列的任意一项;②判断一个数是否是数列的项;③分

析数列的性质.

卜基础小测

1.辨析记忆（对的打“J”，错的打“X”）.

（1）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.

⑵所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.

⑶数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.

提示：⑴X.两个数列相同，每一项都必须相同，而且数列具有顺序性.

⑵X.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.

（3）X.第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公

式.

2

2.已知数列｛an｝的通项公式是an=n+l,则122是该数列的（）

A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项

【解析】选C.令n2+l=122,贝"n=121,

所以n=ll或n=Tl（舍去）.

3.（教材二次开发:例题改编）数列…的一个通项

公式为an=.

【解析】因为ai=l=Vl,a2=2^V4,

a3=V7,a4=V10,a5=V13,所以an=J3n-2.

答案:^3n-2

关键能力-合作学习

类型一数列的概念以及分类（数学抽象）

。题组训练、

1.（2020•兰州高二检测）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列

的是

ill

A.-1,-2,-3,-4,B.-1,一,一,一,•••

234

C.-1,-2,-4,-8,D.1,V2,V3,V4

n

2.若数列｛aj满足an=2,则数列｛aj是

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数

列

3.已知下列数列:

①2011,2012,2013,2014,2015,2016;

②册1

2n-1

/.xn-1

-23(T)•九

③「差

2n-l

⑤2,4,8,16,32,••­;

⑥T,-1,-1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列

是,递减数列是,常数列是，摆动数列是

（填序号）.

【解析】1.选B.A,B,C中的数列都是无穷数列，但是A,C中的数列都是

递减数列.

n+1nn

2.选A.an+1-an=2-2=2>0,所以an+1>an,即｛an｝是递增数歹%

3.①为有穷数列且为递增数列；②为无穷数列、递减数列；③为无穷数

列、摆动数列；④为摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷

数歹4;⑥为有穷数列，也是常数列.

答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

■解题策略I

理解数列概念要注意的三点

(1)区分集合:数列｛aj表示数列aba2,a3,•­•,a2…不是表示一个集合,

与集合表示有本质的区别.

⑵项的理解:从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列

次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的

数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⑶规律性:数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列

的关键.

【补偿训练】

1.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是

111

AA.1,,•••

33233

c.71.2加.37r.47r

D.sin—,sin—,sm—,sin—,

13131313

111

c.-i,—,--,-—,•••

41664

D.1,2,3,4,30

ill

【解析】选C.数列1,-，r，F，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是

33233

递减数列；数列sin—,sin—,sin—,

131313

477

sin一,…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列

13

ill

-1,--,-一，-一,…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4,…，30是

41664

递增数列，但不是无穷数列.

2.下列数列

(1)1,2,22,23,-,263;

(2)0,10,20,30,1000;

(3)2,4,6,8,10,••­;

(4)-1,1,-1,1,-1,•­•;

(5)7,7,7,7,•••;

(6)-,

392781

其中有穷数列是,无穷数列是,递增数列是:

递减数列是，摆动数列是,常数列是.(填序

号)

【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是

(3)(4)(5)(6),递增数列是⑴(2)⑶，递减数列是(6),摆动数列是

(4),常数列是(5).

答案：⑴⑵(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)

类型二归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)

一…角.度工…根根数列的前几项归纳通项公式一

【典例】写出下列数列的一个通项公式：

(D-.2,-,8,

222

(2)1,-3,5,-7,9,•­•;

(3)9,99,999,9999,…；

22-l32-242-352-4

(4)————-：

(5)—,—,—,名…；

1X22X33X44X5

(6)4,0,4,0,4,0,

【思路导引】首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列

的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构

形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的

“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.

【解析】(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分

149162，T12

数再观察…，所以，它的一个通项公式为a=—.

22222n2

⑵数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数，其通项公

式为2n-1;考虑(7),具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式

n+1

为an=(-1)(2n-1).

⑶各项加1后，分别变为10,100,1000,10000,此数列的通项公式为

n

10；可得原数列的一个通项公式为an=10-1.

(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公

式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为

(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n,综合得原

2

(n+1)-n_n2+n+l

数列的一个通项公式为a=i

n2n-l2n-l

⑸这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且

奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是劣=(7”.赤•

(6)由于该数列中，奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段

4,n为奇数,

函数的形式表示通项公式，即an=

0,n为偶数.

又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式

n+1

又可表示为an=2+2X(-1).

♦变式探究I

将本例(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式？

【解析】此数列为摆动数列，奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写

3(九为奇数)，，，，」『「一

此数列两项与的平均数为——二奇数项为

为an=354,

5(n为偶数).2

n

4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-l).

一…角一度2—根据图形归纳通项公式…一

【典例】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:

他们研究过图⑴中的1,3,6,10,-,由于这些数能表示成三角形,将其

称为三角形数;与之类似，称图⑵中的1,4,9,16,…这样的数称为正方

形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是

13610

(1)

I4916

(2)

A.289B.1024C.1225D.1378

【思路导引】首先确定两个数列的通项公式，再验证哪个选项符合要

求.

【解析】选C.由题图形可得三角形数构成的数列通项公式为=也上上,

2

同理可得正方形数构成的数列通项公式加二I?,而所给的选项中只有1

49x50

2

225满足a49=----=b35=35=l225.

2

，解例略|

1.依项的特征求通项公式

⑴分式中分子、分母的特征；

⑵相邻项的变化特征；

⑶拆项后的特征；

⑷各项符号特征等,并对此进行归纳、联想,从而求出通项公式.

2.转化到基本数列

观察、分析数列中各项的特点，观察出项与序号之间的关系、规律，通

过对项的适当变形转化到我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶

数列等)对于正负符号变化,可用(-IL或(-1)用来调整.

题组训练、

1.根据如图所示的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通

项公式an=.

161116

【解析】由ai=l=5Xl-4,a2=6=5X2-4,23=11=5X3-4,…，归纳an=5n-4.

答案：5n-4

2.写出下列数列的一个通项公式：

(1)0,3,8,15,24,•••;

(3)1,11,111,1111,

【解析】⑴观察数列中的数，可以看到

0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是

2

an=n-1(n£N*).

⑵此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的

关系为‘一,故所求的数列的一个通项公式为an=n+-^-="+2"(n£N*).

n+1n+1n+1

(3)原数歹U的各项可变为—义9,-X99,-X999,-X9999,易知数列

9999

9,99,999,9999,…的一个通项公式为aklCT-l,所以原数列的一个通

1

项公式为a=-(10n-1)(n£N*).

n9

【补偿训练】

1.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组

成:

□m□□□

w=ln=2w=3

w=4

通过观察可以发现:在第n个图形中，火柴棒有根.

【解析】第1个图形中，火柴棒有4根；

第2个图形中，火柴棒有4+3根；

第3个图形中，火柴棒有4+3+3=4+3X2根；

第4个图形中，火柴棒有4+3+3+34+3X3根；

第n个图形中，火柴棒有4+3(nT)=3n+1根.

答案：3n+1

2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,11,13,-;

⑵....

,3,15,35,63,995'

(3)0,1,0,1,0,1,••­;

(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,­­•;

(5)2,-6,12,-20,30,-42,….

【解析】(1)从3开始的奇数列，an=2n+1.

⑵分子为偶数，分母为相邻两奇数的积

_2n

3n=~~7

(2n-l)(2n+l)

⑶二二」-或二.n-1

anansin——n

22

(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

1+(T)

所以a=n+

n2

(5)将数列变形为1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

n+1

所以an=(-1)n(n+1).

类型三数列通项公式的简单应用(逻辑推理、数学抽象)

［典例】已知数列｛aj的通项公式为a=—.

n3n+l

⑴求ai0;

⑵判断乙是否为该数列中的项.若是，它为第几项？若不是,请说明理

10

由；

(3)求证:O〈aWL

3X10-228

【解析】(1)根据题意可得aw=---------=—

3X10+131

73n-2_7

(2)令a--,即

n3n+l10'

解得n=3,

7

所以行为数列｛aj中的项,为第3项.

⑶由题意知a喏H岛，

因为n£N*,所以3n+1>3,

3

所以0<——<1,

371+1

3

所以0<1--------<1,即0<an<1.

3n+l

，解的略|

1.利用数列的通项公式求某项的方法

数列的通项公式给出了第n项也与它的位置序号n之间的关系，只要用

序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.

2.判断某数值是否为该数列的项的方法

先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整

数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一

项.

跟踪训练、

在数列｛aj中，ai=2,ai7=66,通项公式是关于n的一次函数.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求&2017；

(3)2018是否为数列｛aj中的项？

【解析】⑴设akkn+b(kH0),则有｛'

117k+b=66,

解得k=4,b=-2.

所以an=4n-2.

(2)a2017=4X2017-2=8066.

⑶令2018=4n-2,解得n=505eN*,

所以2018是数列｛aj的第505项.

【补偿训练】

4

已知数列｛aj的通项公式为an=-^—.

n2+3n

⑴写出数列的第4项和第6项.

⑵试问工是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.

10

4

【解析】(1)因为a0二F-，

n2+3n

所”以,a=---4--1

442+3X47

42

a=-----=—.

662+3X627

41

(2)令-----=—,贝“n2+3n-40=0,

n2+3n10

解得n=5或n=-8,注意到nEN*,

故将n=-8舍去，所以一是该数列的第5项.

10

课堂检测-素养达标

1.有下列命题：

①数列三,之；,三,…的一个通项公式是an=—;

3456n+1

②数列的图象是一群孤立的点；

③数列1,T,1,T,…与数列T,1,-1,1,…是同一数列；

④数列工,工,…，工是递增数列.

242n

其中正确命题的个数为

A.1B.2C.3D.0

i2

【解析】选A.由通项公式知ai=-W二,故①不正确；易知②正确；由于两

23

数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故③不正确；④中的数

列为递减数歹J,所以④不正确.

2.600是数列1X2,2X3,3X4,4X5,…的

A.第23项B.第24项

C.第25项D.第26项

【解析】选B.an=n（n+1）=600=24X25,所以n=24.

3.在数列｛aj中，an=5T则23等于.

【解析】由已知得a3=5"=一.

25

答案」

25

4.（教材二次开发:练习改编）根据数列的通项公式填表：

n12・・・5・・・・・・n

・・