新高考数学一轮复习讲义 第48讲 用样本估计总体（原卷版）

第48讲用样本估计总体（精讲）题型目录一览①样本数字特征的计算及其应用②频率分布直方图及其应用③百分位数一、知识点梳理一、知识点梳理一、样本的数字特征1.众数、中位数、平均数（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．（3）平均数：SKIPIF1<0个样本数据SKIPIF1<0的平均数为SKIPIF1<0，反应一组数据的平均水平，公式变形：SKIPIF1<0．2.标准差和方差（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用SKIPIF1<0表示．假设样本数据是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示这组数据的平均数，则标准差SKIPIF1<0．（2）方差：方差就是标准差的平方，即SKIPIF1<0．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．（3）数据特征标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．二、频率分布直方图1.频率、频数、样本容量的计算方法①eq\f(频率,组距)×组距＝频率．②eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于SKIPIF1<0.2.频率分布直方图中数字特征的计算（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0左（右）侧矩形面积之和等于SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0．（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为每个小长方形底边的中点，SKIPIF1<0为每个小长方形的面积．三、百分位数1.定义一组数据的第SKIPIF1<0百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有SKIPIF1<0的数据小于或等于这个值，且至少有SKIPIF1<0的数据大于或等于这个值．2.计算一组SKIPIF1<0个数据的的第SKIPIF1<0百分位数的步骤（1）按从小到大排列原始数据．（2）计算SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0不是整数而大于SKIPIF1<0的比邻整数SKIPIF1<0，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项数据；若SKIPIF1<0是整数，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项数据的平均数．3.四分位数我们之前学过的中位数，相当于是第SKIPIF1<0百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第SKIPIF1<0百分位数，第SKIPIF1<0百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．【常用结论】均数、方差的性质：如果数据SKIPIF1<0的平均数为SKIPIF1<0，方差为SKIPIF1<0，那么①一组新数据SKIPIF1<0的平均数为SKIPIF1<0，方差是SKIPIF1<0．②一组新数据SKIPIF1<0的平均数为SKIPIF1<0，方差是SKIPIF1<0．③一组新数据SKIPIF1<0的平均数为SKIPIF1<0，方差是SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一样本数字特征的计算及其应用策略方法利用样本的数字特征解决决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)方差的简化计算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－nx2]，或写成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－x2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．【典例1】某稻谷试验田试种了SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两个品种各10亩产量的平均数分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，方差分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）60635076718575636364SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）56626068787576626370(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；(2)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植SKIPIF1<0品种还是SKIPIF1<0品种水稻更合适．【题型训练】一、单选题1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（

）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差2．每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：册数01234人数31316171则这50名学生读书册数的众数、中位数是（

）A．3，3 B．2，2 C．2，3 D．3，23．有一组样本数据SKIPIF1<0，则（

）A．这组样本数据的极差不小于4 B．这组样本数据的平均数不小于4C．这组样本数据的中位数不小于3 D．这组样本数据的众数等于34．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：SKIPIF1<0）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（

）

A．众数为30 B．中位数为31.5 C．平均数小于中位数 D．极差为1095．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（

）次数123456甲同学成绩/分135104108136136116乙同学成绩/分116124123120121132A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（

）A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，方差为1.6C．中位数为3，众数为2 D．平均数为3，中位数为27．“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（

）

A．甲的众数小于乙的众数 B．乙的极差小于甲的极差C．甲的方差大于乙的方差 D．乙的平均数大于甲的平均数8．新能源汽车近年在我国发展迅猛，无论是外观还是性能都有了较大进步，下表显示的是SKIPIF1<0两款新能源汽车连续五次的实际续航里程（二者测量条件相同），则下列结论错误的是（

）SKIPIF1<0360350310350380SKIPIF1<0320360330350390A．A款车型续航里程的众数为350B．SKIPIF1<0款车型续航里程的极差为70C．两款车型续航里程的平均数相等D．A款车型比SKIPIF1<0款车型续航里程的方差较大二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．抽样调查具有花费少、效率高的特点B．数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中位数为SKIPIF1<0，众数为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度D．数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差为SKIPIF1<0，则数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方差为SKIPIF1<010．据中国汽车工业协会统计分析，2022年10月份，我国国产品牌乘用车销售了118.7万辆，市场占有率延续良好势头，份额超过50%.下图是2021年1月份至2022年10月份这22个月我国国产品牌乘用车月度销量及增速变化情况的统计图，则（同比：和去年同期相比）（

）

A．2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆B．2022年前10个月国产品牌乘用车月度销量的同比增长率均为正数C．2022年前9个月国产品牌乘用车月度销量的中位数为5月份的销量数据D．2022年前10个月我国国产品牌乘用车月度销量的极差超过58.7万辆11．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（

）A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220012．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（

）A．可能取到数字4 B．中位数可能是2C．极差可能是4 D．众数可能是2三、填空题13．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是.（答案不唯一，写出一个即可）14．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，则这组数据的中位数是15．国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为；16．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；④德国发表论文数量约占美国的32%．其中正确的是．（填序号）17．如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是.①若甲､乙射击成绩的平均数分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②若甲､乙射击成绩的方差分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数④乙比甲的射击成绩稳定题型二频率分布直方图及其应用策略方法频率、频数、样本容量的计算方法(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(2)eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．【典例1】（单选题）南京大学开展数学建模选拔赛，对参赛的100名学生的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），根据图中信息，下列说法错误的是（

）

A．图中的SKIPIF1<0值为0.020B．得分在70分及以上的人数为75C．这组数据的平均数的估计值为76（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）D．这组数据的中位数的估计值为78【题型训练】一、单选题1．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了SKIPIF1<0人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在SKIPIF1<0的人数为10，则SKIPIF1<0（

）

A．60 B．80 C．100 D．1202．某机构对SKIPIF1<0名网络购物者SKIPIF1<0年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在SKIPIF1<0内，其频率分布直方图如图所示，则这SKIPIF1<0名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（

）

A．SKIPIF1<0（万元） B．SKIPIF1<0（万元）C．SKIPIF1<0（万元） D．SKIPIF1<0（万元）3．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取SKIPIF1<0人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在SKIPIF1<0之间的学生中用分层抽样的方法抽取SKIPIF1<0人，应从SKIPIF1<0间抽取人数为SKIPIF1<0，则（

）．

A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<04．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数和为64，最大频率为SKIPIF1<0，设视力在SKIPIF1<0到SKIPIF1<0之间的学生人数为a，则a的值为（

）A．27 B．48 C．54 D．645．2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是（

）

A．这200名学生成绩的众数为370分B．这200名学生成绩的平均分为377分C．这200名学生成绩的70%分位数为386分D．这200名学生成绩在SKIPIF1<0中的学生有30人6．工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为（

）

①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；②车间约有120名工人上月产量低于65件；③该车间工人上月产量的平均数低于64件；④该车间工人上月产量的中位数低于63件．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（

）

A．图中SKIPIF1<0B．这100名学生中成绩在SKIPIF1<0内的人数为50C．这100名学生成绩的中位数为70D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）8．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法错误的是（

）

A．在被抽取的学生中，成绩在区间SKIPIF1<0内的学生有160人B．图中x的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数约为86.7D．这400名学生中成绩在80分及以上的人数占SKIPIF1<0二、多选题9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中SKIPIF1<0的人数为20人，则以下说法正确的是（

）

A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．估计该样本数据的平均数为74D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人10．从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图如图，则（

）

A．SKIPIF1<0B．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cmC．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cmD．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm11．在一次考试中，某地抽取一组样本，将学生的考分按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0分成10组，得到如下频率分布直方图:

根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）A．规定分数不低于60分为及格，则及格率为0.6B．样本的中位数为60C．以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次考试的平均分为60分D．规定此次考试80%的考生定为合格等级，则合格等级的学生最低分为40分三、填空题12．某大学有男生SKIPIF1<0名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校SKIPIF1<0名男生的体重，并将这SKIPIF1<0名男生的体重（单位：SKIPIF1<0）分成以下六组：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，绘制成如下的频率分布直方图：该校体重（单位：SKIPIF1<0）在区间SKIPIF1<0上的男生大约有人．13．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于SKIPIF1<0的概率为.14．如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数据）和频率分布直方图，则SKIPIF1<0．15．设某组数据均落在区间SKIPIF1<0内，共分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五组，对应频率分别为p1，p2，p3，p4，p5．已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，且SKIPIF1<0，则该组数据的平均数为．题型三百分位数策略方法百分位数有关问题的一般思路计算一组SKIPIF1<0个数据的的第SKIPIF1<0百分位数的步骤①按从小到大排列原始数据．②计算SKIPIF1<0．③若SKIPIF1<0不是整数而大于SKIPIF1<0的比邻整数SKIPIF1<0，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项数据；若SKIPIF1<0是整数，则第SKIPIF1<0百分位数为第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项数据的平均数．【典例1】（单选题）某校高一年级SKIPIF1<0个班参加朗诵比赛的得分如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则这组数据的SKIPIF1<0分位数、SKIPIF1<0分位数分别为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．树人中学举办以“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛，其中9人比赛的成绩为：85，86，88，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这9人成绩的第80百分位数是（

）A．89 B．90 C．92 D．942．一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，SKIPIF1<0，13，16，17，若该组数据的中位数是极差的SKIPIF1<0，则该组数据的40百分位数是（

）A．4 B．4.5 C．5 D．93．一组数据按从小到大的顺序排列如下：SKIPIF1<0，经计算，该组数据中位数是16，若SKIPIF1<0分位数是20，则SKIPIF1<0（

）A．33 B．34 C．35 D．364．从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为SKIPIF1<0，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（

）A．50 B．60 C．70 D．805．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40SKIPIF1<0，第二组[40,50SKIPIF1<0，第三组[50,60SKIPIF1<0，第四组[60,70SKIPIF1<0，第五组[70,80SKIPIF1<0，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（

）

A．[50,60SKIPIF1<0 B．[60,70SKIPIF1<0C．[70,80SKIPIF1<0 D．[80,90]6．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则SKIPIF1<0（

）A．60 B．65 C．70 D．717．某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手