新高考数学一轮复习讲义 第04讲 基本不等式（原卷版）

第04讲基本不等式（精讲）题型目录一览①直接法求最值②常规凑配法求最值③消参法求最值④“1”的代换求最值⑤基本不等式及其应用⑥利用基本不等式解决实际问题⑦利用基本不等式证明一、知识点梳理一、知识点梳理1.基本不等式如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．其中，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的算术平均数，SKIPIF1<0叫作SKIPIF1<0的几何平均数．即正数SKIPIF1<0的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号；基本不等式2：若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），当且仅当SKIPIF1<0时取等号.注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.（1）几个重要的不等式①SKIPIF1<0②基本不等式：如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“”).特例：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0同号）.（2）其他变形：①SKIPIF1<0(沟通两和SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)②SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两平方和SKIPIF1<0的不等关系式)③SKIPIF1<0(沟通两积SKIPIF1<0与两和SKIPIF1<0的不等关系式)④重要不等式串：SKIPIF1<0即调和平均值SKIPIF1<0几何平均值SKIPIF1<0算数平均值SKIPIF1<0平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知SKIPIF1<0.（1）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果SKIPIF1<0(定值)，则SKIPIF1<0(当且仅当“SKIPIF1<0”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.3.常见求最值模型模型一：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型二：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型三：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立；模型四：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一直接法求最值策略方法直接利用基本不等式求解，注意取等条件【典例1】下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．下列函数中最小值为4的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．63．下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明SKIPIF1<0现有如图所示图形，点SKIPIF1<0在半圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直径SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该图形可以直接完成的无字证明为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．设a，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________．7．已知SKIPIF1<0，有下列不等式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．其中，恒成立的是______．（写出所有满足要求的不等式序号）题型二常规凑配法求最值策略方法1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．【典例1】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最大值时x的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知实数x满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．4 D．8【典例3】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．4【题型训练】一、单选题1．已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．122．已知SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．64．函数SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．145．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题6．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．7．（1）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取得最大值时SKIPIF1<0的值为________．（2）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为________．（3）函数SKIPIF1<0的最小值为________．8．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为____________．9．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_________．10．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________．11．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为_________.题型三消参法求最值策略方法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【题型训练】一、单选题1．已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．若正数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）．A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题3．已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（

）A．SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0 B．a2+b2有最小值SKIPIF1<0C．4a+2b有最小值8 D．lna+lnb有最小值ln24．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题5．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_______．6．若正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________．7．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.题型四“1”的代换求最值策略方法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2．注意验证取得条件．【典例1】已知函数SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．122．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．43．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4二、多选题4．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．75．下列能使式子SKIPIF1<0最小值为1的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题6．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_______．7．已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.8．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______．9．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.题型五基本不等式及其应用策略方法熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.【典例1】已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．322．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．23．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44．已知x，y为正实数，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则夹角SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题6．下列结论中，正确的结论有（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是2B．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最大值为3C．函数SKIPIF1<0的最小值为2D．如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为27．已知SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题8．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最小值时a的值为______．9．已知各项为正的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.10．已知椭圆C的焦点为SKIPIF1<0为C上一点满足SKIPIF1<0，则C的离心率取值范围是________．11．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．题型六利用基本不等式解决实际问题策略方法利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的单调性．【典例1】2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏视角SKIPIF1<0最大，小南离墙距离S应为（

）A．11SKIPIF1<0cm B．8SKIPIF1<0cm C．11SKIPIF1<0cm D．44SKIPIF1<0cm【题型训练】一、单选题1．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用SKIPIF1<0年的维修总费用为SKIPIF1<0万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为传感器在静水中行进的速度(单位：SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0为行进的时间(单位：SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0为常数，如果待测量的河道的水流速度为SKIPIF1<0，则该传感器在水中逆流行进SKIPIF1<0消耗的能量的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲线段SKIPIF1<0是圆心角为SKIPIF1<0的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）．（本题中取SKIPIF1<0进行计算）A．6 B．SKIPIF1<0 C．3 D．9二、填空题4．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32SKIPIF1<0的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5SKIPIF1<0，各试验区之间也空0.5SKIPIF1<0.则每块试验区的面积的最大值为___________SKIPIF1<0.5．党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产SKIPIF1<0万件，需可变成本SKIPIF1<0万元，当产量不足50万件时，SKIPIF1<0；当产量不小于50万件时，SKIPIF1<0.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.三、解答题6．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国