新高考数学一轮复习讲义 第43讲 双曲线及其性质（原卷版）

第43讲双曲线及其性质（精讲）题型目录一览①双曲线的定义及其应用②求双曲线的标准方程③双曲线的几何性质④双曲线的渐近线⑤双曲线的离心率一、知识点梳理一、知识点梳理一、双曲线的定义平面内与两个定点SKIPIF1<0的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于SKIPIF1<0）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为SKIPIF1<0．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当SKIPIF1<0时，点的轨迹是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为端点的两条射线；当SKIPIF1<0时，点的轨迹是线段SKIPIF1<0的垂直平分线；（3）SKIPIF1<0时，点的轨迹不存在．注：=1\*GB3①条件“SKIPIF1<0”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值），注意SKIPIF1<0的应用．二、双曲线的方程、图形及性质标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形A2A2焦点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对称性关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0范围SKIPIF1<0SKIPIF1<0实轴、虚轴实轴长为SKIPIF1<0，虚轴长为SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0渐近线方程令SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0共焦点的双曲线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0共渐近线的双曲线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0通径通径（过焦点且垂直于SKIPIF1<0的弦）是同支中的最短弦，其长为SKIPIF1<0等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0两渐近线互相垂直SKIPIF1<0渐近线方程为SKIPIF1<0方程可设为SKIPIF1<0．【常用结论】1.双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为SKIPIF1<0．2.点与双曲线的位置关系对于双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线内部，等价于SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在双曲线外部，等价于SKIPIF1<0结合线性规划的知识点来分析．3.双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0；顶点到两条渐近线的距离为常数SKIPIF1<0;性质2：双曲线上的任意点SKIPIF1<0到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数SKIPIF1<0；4.焦点三角形双曲线焦点三角形面积为SKIPIF1<0（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）5.双曲线的切线点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作双曲线的切线方程为SKIPIF1<0．若点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0外，则点SKIPIF1<0对应切点弦方程为SKIPIF1<0二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一双曲线的定义及其应用策略方法双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)结合||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|与|PF2|的关系．【典例1】（单选题）已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上的一点，点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．7 D．8【题型训练】一、单选题1．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设P是双曲线SKIPIF1<0上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．83．已知动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支4．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点Р满足SKIPIF1<0，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线C．双曲线 D．双曲线的一支5．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的内切圆圆心在直线SKIPIF1<0上，则顶点C的轨迹方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，双曲线的左、右焦点分别记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点.则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线SKIPIF1<0的距离为d，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<08．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0是双曲线上的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积等于（

）A．24 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．309．已知双曲线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为其两个焦点，点SKIPIF1<0为双曲线上一点，若SKIPIF1<0，则三角形SKIPIF1<0的面积为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过原点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．8 D．1611．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．16 B．18 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线与C的右支交于P，Q两点，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．8 D．1213．已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线分别交双曲线SKIPIF1<0的左右两支于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题14．已知双曲线SKIPIF1<0的左右两个焦点分别是SKIPIF1<0，双曲线上一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．15．已知双曲线E：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P在双曲线E上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=.16．已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若SKIPIF1<0的周长为20，则线段AB的长为．17．设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0左、右焦点，且SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，若点M在SKIPIF1<0的左支上，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左支相交于另一点N，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．18．已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是．19．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左焦点，SKIPIF1<0是双曲线右支上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为.20．已知双曲线x2SKIPIF1<0y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为.21．已知曲线C：SKIPIF1<0，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，SKIPIF1<0的值为a，m＝－1时，SKIPIF1<0的值为b，则SKIPIF1<0的值为．题型二求双曲线的标准方程策略方法求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．(1)中心在原点，实轴在SKIPIF1<0轴上，一个焦点坐标为SKIPIF1<0的等轴双曲线；(2)椭圆SKIPIF1<0的中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，焦距为SKIPIF1<0，且它的一个顶点坐标为SKIPIF1<0．【题型训练】一、单选题1．已知双曲线的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1 B．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1C．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝1 D．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝12．以SKIPIF1<0为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，实轴长为SKIPIF1<0，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．双曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，则该双曲线的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的双曲线的标准方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：SKIPIF1<0的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8SKIPIF1<0，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（

）

A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．24SKIPIF1<0 C．32SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<08．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的上焦点为F，点M在SKIPIF1<0的一条渐近线上，SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的等边三角形，其中点О为坐标原点，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知双曲线SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知点SKIPIF1<0分别是等轴双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为8，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．设SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，过左焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，与双曲线右支交于点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．若双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的焦距，且SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<013．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若SKIPIF1<0的周长为24，SKIPIF1<0，则该双曲线的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作其中一条渐近线的垂线，垂足为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．已知以直线SKIPIF1<0为渐近线的双曲线，经过直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点，则双曲线的实轴长为（

）．A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．816．已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左支相交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题17．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，实半轴长为4，则双曲线的方程为.18．经过点SKIPIF1<0且焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的双曲线的标准方程是．19．已知双曲线SKIPIF1<0的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则SKIPIF1<0的标准方程为.20．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为SKIPIF1<0，它的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则双曲线的标准方程为．21．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，存在过点SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线SKIPIF1<0的方程：．22．双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦距是4，其渐近线与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，则双曲线SKIPIF1<0的方程为．23．已知双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，则双曲线SKIPIF1<0的方程为．24．已知双曲线SKIPIF1<0过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的两点，则SKIPIF1<0的方程为.25．已知双曲线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0有相同的焦点，则SKIPIF1<0的最小值为．26．过原点的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程为.27．已知双曲线的中心在原点，右顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的内心恰好是点SKIPIF1<0，则双曲线的方程．题型三双曲线的简单几何性质策略方法处理双曲线的简单几何性质问题思路处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．【典例1】（单选题）双曲线SKIPIF1<0的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（

）A．9 B．－9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．双曲线SKIPIF1<0的实轴长为4，则其渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则双曲线的虚轴长为（

）A．2 B．4 C．8 D．163．已知双曲线SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．C的实轴长为SKIPIF1<0 B．C的渐近线方程为SKIPIF1<0C．C的离心率为SKIPIF1<0 D．C的一个焦点的坐标为SKIPIF1<04．已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（

）A．3SKIPIF1<0 B．6SKIPIF1<0 C．12SKIPIF1<0 D．65．已知直线SKIPIF1<0经过双曲线SKIPIF1<0的一个焦点，且平行于SKIPIF1<0的一条渐近线，则SKIPIF1<0的实轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（

）①椭圆的短轴长为SKIPIF1<0；②双曲线的虚轴长为SKIPIF1<0；③双曲线SKIPIF1<0的离心率恰好为椭圆SKIPIF1<0离心率的两倍；④SKIPIF1<0是一个以SKIPIF1<0为底的等腰三角形．A．4 B．3 C．2 D．17．“SKIPIF1<0”是“双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的虚轴长为2”的（

）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，焦距为6，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的实轴长为（

）A．2 B．4 C．6 D．89．若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等10．已知SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的（）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等11．已知点P是双曲线SKIPIF1<0上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题12．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则下列选项中正确的是（

）A．SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的焦点到渐近线的距离为313．已知双曲线SKIPIF1<0，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（

）A．C的实轴长为4B．C的离心率为SKIPIF1<0C．C的焦点到渐近线的距离为SKIPIF1<0D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条14．已知双曲线SKIPIF1<0，左、右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线上一点，则下列正确的是（

）A．离心率为SKIPIF1<0 B．渐近线方程为SKIPIF1<0C．虚轴长为4 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<015．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则（

）A．双曲线SKIPIF1<0的实轴长为2B．双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．双曲线SKIPIF1<0的焦距为416．已知双曲线ESKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，E的渐近线方程为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，E的离心率为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，E的离心率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，E的虚轴长为2SKIPIF1<017．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（）A．SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0到渐近线的距离随着SKIPIF1<0的增大而减小D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的实轴长是虚轴长的两倍18．已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0左支上的动点，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，则（）A．SKIPIF1<0的实轴长为6B．SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0三、填空题19．若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为．20．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为3，则双曲线SKIPIF1<0的虚轴长为.21．双曲线SKIPIF1<0的顶点坐标为.22．已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若SKIPIF1<0的虚轴长为4，则SKIPIF1<0的实轴长为.23．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是.24．已知双曲线的中心在原点，右顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为1．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的内心恰好是点SKIPIF1<0，则双曲线的方程．25．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：SKIPIF1<0（a＞0）的右支上，若SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为．题型四双曲线的渐近线策略方法求双曲线渐近线方程的方法求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x．【典例1】（单选题）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．下列双曲线中，渐近线方程为SKIPIF1<0的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．4 B．3 C．2 D．13．已知双曲线SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知点F是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．点F是抛物线SKIPIF1<0的焦点，A为双曲线C：SKIPIF1<0的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．168．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的渐近线方程式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个交点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的渐近线相切，则双曲线C的焦距为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．411．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M，N在双曲线C上，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0为等边三角形，且SKIPIF1<0，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知双曲线SKIPIF1<0以正方形SKIPIF1<0的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．过双曲线SKIPIF1<0的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且SKIPIF1<0，则C的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一条渐近线与圆：SKIPIF1<0交于第一象限的一点SKIPIF1<0，记双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，左顶点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．4 C．7 D．1215.已知抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到其焦点的距离为5，双曲线SKIPIF1<0的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．－1 C．1 D．318．双曲线C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或0 B．－2 C．SKIPIF1<0或0 D．319．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交双曲线的左支于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0为双曲线的一条渐近线，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．11 B．12 C．14 D．1621．）已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0上任意一点，过点SKIPIF1<0分别作双曲线SKIPIF1<0的两条浙近线的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．如图所示，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，双曲线SKIPIF1<0的右支上存在一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左支的交点SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线斜率为（

）

A．SKIPIF1<03 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线SKIPIF1<0交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为SKIPIF1<0，则双曲线的渐近线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题24．双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．25．过点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线平行的直线方程为.26．若双曲线SKIPIF1<0的渐近线与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0．27．已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一个焦点，且与SKIPIF1<0的一条渐近线平行，则SKIPIF1<0的实轴长为．28．双曲线SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0到渐近线距离为1，则双曲线方程为．29．设双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，左，右顶点分别为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为等腰三角形，则直线SKIPIF1<0的斜率的大小为.30．双曲线SKIPIF1<0的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为．31．已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，过点SKIPIF1<0且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且SKIPIF1<0，则此双曲线的渐近线方程为.32．已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线平行，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为.33．已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0轴上方的焦点SKIPIF1<0的直线与双曲线上支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为.34．已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个公共点，则实数SKIPIF1<0的值为35．已知双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作渐近线的垂线交双曲线的左支于点SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则双曲线的渐近线方程为．36．已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一条渐近线过点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.37．已知双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线交C右支于M，N两点，且SKIPIF1<0.写出C的一条渐近线方程.38．已知点SKIPIF1<0是双曲线C：SKIPIF1<0右支上的一点，过点Р作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．题型五双曲线的离心率策略方法求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．【典例1】（单选题）已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在第一象限且在SKIPIF1<0的渐近线上，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．2【题型训练】一、单选题1．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．32．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率是2，则SKIPIF1<0（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且SKIPIF1<0；则C的离心率为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知点SKIPIF1<0在双曲线