新高考数学一轮复习讲义 第38讲 两条直线的位置关系（含解析）

第38讲两条直线的位置关系（精讲）题型目录一览①两条直线的位置关系②两条直线的交点和距离问题③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线⑤直线的综合问题一、知识点梳理一、知识点梳理一、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（斜率存在）SKIPIF1<0（斜率不存在）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0中有一个为0，另一个不存在．二、三种距离1．两点间的距离平面上两点SKIPIF1<0的距离公式为SKIPIF1<0．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离SKIPIF1<02．点到直线的距离点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0特别地，若直线为l：x=m，则点SKIPIF1<0到l的距离SKIPIF1<0；若直线为l：y=n，则点SKIPIF1<0到l的距离SKIPIF1<03．两条平行线间的距离已知SKIPIF1<0是两条平行线，求SKIPIF1<0间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4．双根式双根式SKIPIF1<0型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．三、直线中的对称问题1．点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则根据中点坐标公式，有SKIPIF1<0，可得对称点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<02．点关于直线对称点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，故可得SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可．3．直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4．直线关于直线对称求直线SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0（两直线不平行）的对称直线SKIPIF1<0第一步：联立SKIPIF1<0算出交点SKIPIF1<0第二步：在SKIPIF1<0上任找一点（非交点）SKIPIF1<0，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点SKIPIF1<0第三步：利用两点式写出SKIPIF1<0方程5．常见的一些特殊的对称点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0．四、直线系方程1．过定点直线系过已知点SKIPIF1<0的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．2．斜率为定值直线系斜率为SKIPIF1<0的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是参数）．3．平行直线系与已知直线SKIPIF1<0平行的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．4．垂直直线系与已知直线SKIPIF1<0垂直的直线系方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．5．过两直线交点的直线系过直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点的直线系方程：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一两条直线的位置关系策略方法由一般式确定两直线位置关系的方法判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全为0），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不全为0），则：当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0相交；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0直线平行或重合，代回检验；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．【典例1】（单选题）若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0​与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0​的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0​ C．SKIPIF1<0​或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.【详解】因为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0​与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，两直线重合，舍去；当SKIPIF1<0时，验证满足.故选:B.【典例2】（单选题）直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由充分条件和必要条件的定义【详解】当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，两直线倾斜角分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为9，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.充分性成立，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.必要性成立.所以“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要条件.故选：C【题型训练】一、单选题1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．0【答案】A【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.【详解】因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023·全国·高三对口高考）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出直线SKIPIF1<0的斜率，然后利用点斜式可写出直线SKIPIF1<0的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）若平面内两条平行线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【分析】根据直线平行，求得SKIPIF1<0的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.【详解】因为两直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可两平行线间的距离为SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可两平行线间的距离为SKIPIF1<0，不符合题意，舍去.故选：A.4．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】依题意，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若两直线平行，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，此时两直线重合，不符合.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，符合题意.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要条件.故选：C5．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】由两直线的平行与垂直求得SKIPIF1<0值后可得结论.【详解】由题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意可得SKIPIF1<0，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简SKIPIF1<0，代入即可得出单.【详解】因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.7．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，【答案】B【分析】根据两直线的位置关系、充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：B二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直B．若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值可得直线过的定点，对于D，当SKIPIF1<0时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其斜率为1，而直线SKIPIF1<0的斜率为－1，所以当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，所以A正确；对于B，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0无关，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为3【答案】ABD【分析】将直线变形为SKIPIF1<0，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入SKIPIF1<0值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.【详解】SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）变形为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因此直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故两直线平行，故B正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故两直线不垂直，故C错误；当SKIPIF1<0时，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则两直线间的距离为SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD．三、填空题10．（2023·北京·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【分析】求出过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0不平行的方程即可.【详解】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故只需所求直线方程斜率不是SKIPIF1<0即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0(答案不唯一).11．（2023·全国·高三专题练习）若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0.【答案】0或1【分析】由两直线垂直，直接列方程求解即可.【详解】因为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：0或112．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013．（2023秋·四川宜宾·高三校考开学考试）已知经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线l1与经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0互相垂直，则实数SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为两条直线相互垂直，所以直线SKIPIF1<0的斜率必然存在，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.14．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的内角平分线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正切值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据角平分线的性质，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线SKIPIF1<0上，据此可以求出SKIPIF1<0点坐标，进而求出SKIPIF1<0【详解】由题意得，根据角平分线的性质，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点一定在直线SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中垂线，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0直线方程为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的坐标，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0

题型二两条直线的交点和距离问题策略方法1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【典例1】（单选题）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意得到交点坐标为SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，再解不等式组即可.【详解】SKIPIF1<0，即交点为SKIPIF1<0.因为交点在第一象限，所以SKIPIF1<0.故选：A【典例2】（单选题）设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为P，则P到直线SKIPIF1<0的距离为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】联立两直线方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由点到直线的距离公式可得P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：D【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）坐标原点O到直线l：SKIPIF1<0的距离是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】使用点到直线的距离公式求解.【详解】O到直线l：SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.故选：D2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上，则实数SKIPIF1<0（

）A．4 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】求出直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点，再代入求解作答.【详解】解方程组SKIPIF1<0，得直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0.故选：A3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，给出命题SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点关于SKIPIF1<0轴对称，SKIPIF1<0：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上．则（

）A．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0真 B．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0真 C．SKIPIF1<0假SKIPIF1<0假 D．SKIPIF1<0真SKIPIF1<0假【答案】D【分析】令SKIPIF1<0分别求得直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点即可判断命题p，求出两直线交点，再判断点是否在直线上即可判断命题q.【详解】因为直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为真命题．因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为假命题．故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.【详解】点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）若点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为d，则d的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由点到直线距离公式求出距离SKIPIF1<0，由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质、绝对值的定义得最大值．【详解】由题意SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故选：A．6．（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知实数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，利用点到直线的距离公式得点A到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0的斜率不存在得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简即可求解.【详解】根据题意，设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过原点，点SKIPIF1<0，那么点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当两平行线距离最大时，SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出SKIPIF1<0恒过的定点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离的最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求解即得出答案.【详解】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离的最大值为SKIPIF1<0．此时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：C．8．（2023·全国·高三专题练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率SKIPIF1<0范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线SKIPIF1<0位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.【详解】法一：联立两直线方程，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两直线的交点坐标为SKIPIF1<0.因为两直线的交点在第一象限，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设直线l的倾斜角为θ，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.法二：由题意，直线l过定点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与x轴、y轴的交点分别为SKIPIF1<0.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0.∴直线l的倾斜角的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D9．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出直线系所过定点，再由SKIPIF1<0及直线系表示的直线可求出结果.【详解】由直线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可解的SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直时，SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0无论SKIPIF1<0取何值，不能表示直线SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B二、多选题10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．当SKIPIF1<0时，两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的距离为3【答案】ABD【分析】将直线变形为SKIPIF1<0，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入SKIPIF1<0值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.【详解】SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）变形为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0则SKIPIF1<0因此直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故两直线平行，故B正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故两直线不垂直，故C错误；当SKIPIF1<0时，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则两直线间的距离为SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD．11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系SKIPIF1<0，下列命题中的真命题有（

）A．SKIPIF1<0中所有直线均经过一个定点B．存在定点SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0中的任一条直线上C．对于任意整数SKIPIF1<0，存在正SKIPIF1<0边形，其所有边均在SKIPIF1<0中的直线上D．SKIPIF1<0中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC【分析】根据条件分析出SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的全体切线组成的集合，再逐项判断即可.【详解】由题知，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0中每条直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的全体切线组成的集合，从而SKIPIF1<0中存在平行的直线，所以A错误；又因为SKIPIF1<0点不存在任何直线上，所以B正确；对任意SKIPIF1<0，存在正SKIPIF1<0边形使其内切圆为圆SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.

故选：BC12．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数SKIPIF1<0图象上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】作出图形，分析可知，当曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离取最小值，利用导数的几何意义求出点SKIPIF1<0的坐标，求出点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】如下图所示：设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，由图可知，当曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0平行时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离取最小值，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0图象上一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围是SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC选项满足条件.故选：BC.三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点，且直线的一个方向向量SKIPIF1<0的直线方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出两直线交点坐标，结合直线的方向向量得到直线斜率，得到直线方程.【详解】联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线过点SKIPIF1<0，∵直线的方向向量SKIPIF1<0，∴直线的斜率SKIPIF1<0，则直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<014．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<015．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点坐标为．（用含A，B的式子表示）【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出直线SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点坐标.【详解】因为直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点坐标为：SKIPIF1<0.16．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（含端点）上移动，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0表示动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0表示动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0之间的距离，由点到直线的距离公式，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的直线的斜率为SKIPIF1<0，此时直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足题意，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.17．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的内角平分线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的正切值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据角平分线的性质，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线SKIPIF1<0上，据此可以求出SKIPIF1<0点坐标，进而求出SKIPIF1<0【详解】由题意得，根据角平分线的性质，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点一定在直线SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中垂线，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0直线方程为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的坐标，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，