新高考数学一轮复习讲义 第37讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（原卷版）

第37讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程（精讲）题型目录一览①直线的倾斜角与斜率②直线的方程③直线过定点的问题④两直线的夹角公式一、知识点梳理一、知识点梳理一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交，则以SKIPIF1<0轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与SKIPIF1<0重合所成的角称为直线SKIPIF1<0的倾斜角，通常用SKIPIF1<0表示（1）若直线与SKIPIF1<0轴平行（或重合），则倾斜角为SKIPIF1<0（2）倾斜角的取值范围SKIPIF1<02．直线的斜率设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的正切值称为直线的斜率，记为SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）SKIPIF1<0越大，直线越陡峭（5）倾斜角SKIPIF1<0与斜率SKIPIF1<0的关系当SKIPIF1<0时，直线平行于轴或与轴重合；当SKIPIF1<0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随SKIPIF1<0的增大而增大；当SKIPIF1<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角SKIPIF1<0随的增大而减小；3．过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4．三点共线．两直线SKIPIF1<0的斜率相等→SKIPIF1<0三点共线；反过来，SKIPIF1<0三点共线，则直线SKIPIF1<0的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1．直线的截距若直线SKIPIF1<0与坐标轴分别交于SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式SKIPIF1<0不含垂直于SKIPIF1<0轴的直线斜截式SKIPIF1<0不含垂直于SKIPIF1<0轴的直线两点式SKIPIF1<0不含直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0截距式SKIPIF1<0不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式SKIPIF1<0平面直角坐标系内的直线都适用【常用结论】1.求曲线（或直线）方程的方法在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）2．线段中点坐标公式若点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0且线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此公式为线段SKIPIF1<0的中点坐标公式．3．两直线的夹角公式若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一直线的倾斜角与斜率数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【典例1】已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点Q是线段AB上的动点．(1)求直线PQ的斜率的范围；(2)求直线PQ的倾斜角的范围．【题型训练】一、单选题1．直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，若直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，则（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．函数SKIPIF1<0的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点SKIPIF1<0是阴影部分（包括边界）的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题7．下列说法是错误的为（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点SKIPIF1<0的直线都可以用方程SKIPIF1<0表示．8．已知SKIPIF1<0，直线l的方程为SKIPIF1<0，则直线l的倾斜角可能为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题9．过SKIPIF1<0两点的直线的倾斜角为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0.10．已知直线SKIPIF1<0在x轴上的截距的取值范围是SKIPIF1<0，则其斜率的取值范围是．题型二直线的方程策略方法求直线方程的两种方法【典例1】根据条件写出下列直线的方程：(1)斜率为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0；(2)倾斜角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0；(3)倾斜角是直线SKIPIF1<0的倾斜角的一半，且过点SKIPIF1<0．【题型训练】一、单选题1．过点SKIPIF1<0且方向向量为SKIPIF1<0的直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．过点SKIPIF1<0的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．已知直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则该直线在SKIPIF1<0轴上的截距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<04．若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正实数，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5二、填空题5．经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线方程是.6．第二、四象限角平分线所在直线的方程是.7．若过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的斜率为12，则直线的方程为．8．求过点SKIPIF1<0，并且在两轴上的截距相等的直线方程．9．已知SKIPIF1<0中的三个点在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0．题型三直线过定点的问题策略方法合并参数是解决问题的关键点【典例1】已知直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0(1)求证：不论SKIPIF1<0为何值，直线必过定点SKIPIF1<0；(2)过点SKIPIF1<0引直线SKIPIF1<0，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求SKIPIF1<0的方程．【题型训练】一、单选题1．直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．直线SKIPIF1<0恒过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若SKIPIF1<0三个数成等差数列，则直线SKIPIF1<0必经过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．直线SKIPIF1<0恒过定点（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<06．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，若在直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题7．已知直线SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0变化时，直线都通过定点8．已知直线SKIPIF1<0在x轴上的截距的取值范围是SKIPIF1<0，则其斜率的取值范围是．9．已知点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线（有方向）相交，则SKIPIF1<0的取值范围为．10．已知点SKIPIF1<0，设动直线SKIPIF1<0和动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0