新高考数学一轮复习讲义 第36讲 空间向量及其应用（原卷版）

第36讲空间向量及其应用（精讲）题型目录一览①利用空间向量证线面平行、面面平行②利用空间向量证线面垂直、面面垂直③利用空间向量求异面直线夹角④利用空间向量求线面角、面面角⑤利用空间向量求点到线距离、点到面距离一、知识点梳理一、知识点梳理一、法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量SKIPIF1<0的有向线段所在直线垂直于平面SKIPIF1<0，则称这个向量垂直于平面SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0的法向量．注：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一个平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量SKIPIF1<0是平面的法向量，向量SKIPIF1<0是与平面平行或在平面内，则有SKIPIF1<0．第一步：写出平面内两个不平行的向SKIPIF1<0；第二步：那么平面法向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．（2）判定直线、平面间的位置关系=1\*GB3①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．=2\*GB3②直线与平面的位置关系：直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（3）平面与平面的位置关系平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．二、空间角公式（1）异面直线所成角公式：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的方向向量，SKIPIF1<0为异面直线所成角的大小，则SKIPIF1<0．（2）线面角公式：设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的斜线，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小，则SKIPIF1<0．（3）二面角公式：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，二面角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（需要根据具体情况判断相等或互补），其中SKIPIF1<0．三、空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线SKIPIF1<0的公垂线的方向向量为SKIPIF1<0，这时分别在SKIPIF1<0上任取SKIPIF1<0两点，则向量在SKIPIF1<0上的正射影长就是两条异面直线SKIPIF1<0的距离．则SKIPIF1<0即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0外一点（如图），SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的斜线SKIPIF1<0及垂线SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【常用结论】用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一利用空间向量证线面平行、面面平行策略方法利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题【典例1】在正方体SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.

求证：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【题型训练】一、解答题1．如图所示，正四棱SKIPIF1<0的底面边长1，侧棱长4，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0．求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

2．如图，在八面体SKIPIF1<0中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面SKIPIF1<0∥平面QBC，二面角SKIPIF1<0与二面角SKIPIF1<0的大小都是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：平面SKIPIF1<0∥平面QAB．3．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；4．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，D，E分别为棱AB，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.5．）在正四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；6．如图，直四棱柱SKIPIF1<0的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．如图，在多面体ABCDEF中，四边形SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)已知点G为AF上一点，且SKIPIF1<0，求证：BG与平面DCE不平行；8．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，E为棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0平面ACE；9．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G是线段BF的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0平面DAF；题型二利用空间向量证线面垂直、面面垂直策略方法利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示【典例1】如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

【典例2】如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中点，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【题型训练】一、解答题1．如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.2．在正方体SKIPIF1<0中，如图SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；3．如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在棱SKIPIF1<0上移动．

(1)证明：SKIPIF1<0；4．）已知几何体SKIPIF1<0，如图所示，其中四边形SKIPIF1<0、四边形SKIPIF1<0、四边形SKIPIF1<0均为正方形，且边长为1，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.

(1)求证：SKIPIF1<0.5．如图，正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0.

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；6．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；7．已知在直三棱柱SKIPIF1<0中，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的四等分点，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；8．）如图所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M，N分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；9．在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，过棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；11．如图，已知直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;12．在四棱锥SKIPIF1<0中，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的靠近SKIPIF1<0点的三等分点.(1)求证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；13．）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为AC和SKIPIF1<0的中点，D为棱SKIPIF1<0上的动点.SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；14．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是等腰三角形，且SKIPIF1<0，又侧棱SKIPIF1<0，面对角线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；15．如图，棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面ABCD是边长为4的正方形，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，连接SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；16．）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；题型三利用空间向量求异面直线夹角策略方法用向量法求异面直线所成角的一般步骤【典例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝SKIPIF1<0，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．求AC与PB所成角的余弦值．【题型训练】一、单选题1．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．直三棱柱SKIPIF1<0如图所示，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0的体积等于SKIPIF1<0时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上不与端点重合的动点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值最小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．四棱柱SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为正方形，设点O为四棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，E为SKIPIF1<0上的动点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的最小角的正弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题8．在三棱锥P－ABC中，SKIPIF1<0底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为9．如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值是．10．三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为．11．如图所示，已知两个正四棱锥SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的高分别为1和2，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正弦值为．12．已知四面体ABCD满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且该四面体的体积为SKIPIF1<0，则异面直线AD与BC所成的角的大小为．13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，对应的圆心角为SKIPIF1<0，则图中异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为．14．已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0为定长，当SKIPIF1<0的长度变化时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的取值范围是．题型四利用空间向量求线面角、面面角策略方法1.利用向量法求线面角的两种方法2.利用向量计算二面角大小的常用方法【典例1】如图，SKIPIF1<0为圆柱底面的直径，SKIPIF1<0是圆柱底面的内接正三角形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为圆柱的两条母线，若SKIPIF1<0.

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成角正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【题型训练】一、解答题1．已知几何体SKIPIF1<0，如图所示，其中四边形SKIPIF1<0、四边形SKIPIF1<0、四边形SKIPIF1<0均为正方形，且边长为1，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.

(1)求证：SKIPIF1<0.(2)是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0?若存在，确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由.2．已知直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为线段SKIPIF1<0上中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.3．如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一动点，过点SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.

(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，请在图中作出线段SKIPIF1<0，并说明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置及作法理由；(2)线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由.4．已知四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．5．如图，在多面体ABCDEF中，四边形SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)已知点G为AF上一点，且SKIPIF1<0，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．6．已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点.

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点（不包括边界），当SKIPIF1<0的面积最小时，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.7．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，过棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小.8．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是矩形，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆经过点F．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．9．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿BD折起到SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面ABD；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．10．如图，四棱锥SKIPIF1<0的顶点P在底面ABCD上的射影为AB的中点H，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，棱BC的中点为E.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.11．如图所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面边长为1，高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.12．在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（异于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.13．如图，在几何体SKIPIF1<0中，菱形SKIPIF1<0所在的平面与矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直.

(1)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一个动点，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长.14．在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.

(1)当SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0中点时，求证：直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长.15．四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的锐二面角的余弦值．16．如图，四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点.AI(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的大小；(3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.17．四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的大小．18．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面SKIPIF1<0底面ABCD，M是PD的中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面PCD；(2)求平面BPD与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值.19．如图①在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到图②所示几何体．(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0；(2)在线段SKIPIF1<0上，是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值为SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0的值，如果不存在，说明理由．20．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)若SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值.21．如图，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值．22．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.AI(1)求多面体SKIPIF1<0的体积；(2)当点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上运动时（包括端点），求二面角SKIPIF1<0的余弦值的绝对值的取值范围.23．在三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面角大小为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.24．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E在平面SKIPIF1<0上运动．

(1)试确定一点E，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，并说明点E的位置；(2)若四棱锥的体积为6，在侧棱SKIPIF1<0上是否存在一点F，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．若存在，求SKIPIF1<0的长，若不存在，请说明理由．25．如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面四边形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0．

(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．题型五利用空间向量求点到线距离、点到面距离策略方法1.点到面的距离如图所示，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一点，点SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的任意一点，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，就等于向量SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的绝对值，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例1】正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为下底面正方形的中心．求：

(1)点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离；(2)点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【题型训练】一、解答题1．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2．如图，已知长方体SKIPIF1<0的体积为4，点A到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0，动点E在线段SKIPIF1<0上移动，求SKIPIF1<0面积的取值范围．3．在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是直角梯形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线PB与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求点SKIPIF1<0到PD的距离.4．三棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．

(1)求三角形SKIPIF1<0重心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．5．如图，直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P，M分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的三等分点．(1)求点M到直线SKIPIF1<0的距离；(2)求直线PD与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.6．如图，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱长均为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)设M为侧棱SKIPIF1<0上的点，若平面SKIPIF1<0与平面ABC夹角的余弦值为SKIPIF1<0，求点M到直线SKIPIF1<