2021-2022学年数学苏教版必修第二册练习：模块终结性评价

模块终结性评价

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.复数（7）3+2>3的虚部为（）

A.3B,-3C.3iD.2

选A.因为（-i）3+2i-3=-3+3i,故虚部为3.

2.如图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019

年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注2019年2月与2018

年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）.根

据该折线图，下列结论错误的是（）

*

一同比

一环比

A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨

B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌

C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大

D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

选C.对于选项A,由题干图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正

确；

对于选项B，由题干图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；

对于选项C,由题干图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和

2018年10月份，故C错误；

对于选项D,从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化

最快，故D正确.

TI

3.已知cos2+aK-a,则tan

A.-4B.4C.-1D.1

选C.因为cos(2+a=2cos-a),利用诱导公式可得-sina=

n

tan-tana।_2

2x(-cosa)，即tana=2，所以tan

,71

1+tan了tana

4.设向量a=（0,2）,b=（小，1）,则a,b的夹角。等于（）

选A.因为a=(0,2),b=(V3,1),

cr-piAabOx小+2X11

所以cos。=丽=2义2=2，所以。等浒.

5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为

事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一

件发生的概率是（）

5173

A.五B.2C.夜

选C.由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A,B中

一一1

至少有一件发生的事件包含AB,AB,AB,又P（A）=2,P（B）

=1,所以事件的概率为P=P（A1B）+P（云B）+P（AB）=1-

P（八可=1-卜4）鼻.

6.如图，在正方体ABCD-AiBQDi中，给出以下四个结论：

①DC〃平面AiABBi②AiD］与平面BCD1相交③ADJ_平面DQB；

④平面BCD」平面AiABB—正确的结论个数是（）

A.1B.2C,3D.4

选B.由在正方体ABCD-ABCD中，可得:在①中，因为D】C〃A】B,

DiCQ平面AiABBj,AiBc平面AiABBi,所以DC〃平面AiABBt,

故①正确；

在②中，因为中D"BC,BCc平面BCD】,ADD平面BCD产Di,

所以A.DiC平面BCD,,故②错误；在③中，因为NADB=45。，所

以AD与平面D,DB相交但不垂直，故③错误；在④中，因为BCJ_

平面AiABBi,BCc平面BCD,,所以平面BCD】_L平面AIABBI,故

④正确.

7.已知^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b>=

c2+ab,B=30。，a=4,则4ABC的面积为()

A.4B.35C.4小D.6小

选C.因为(a+b)2=c2+ab,BPa2+b2-c2=-ab.所以cosC=

a2+b2-c2i

一忝一=，所以C=120。，又B=30。，所以A=B=30。.即a

=b=4,故△ABC的面积S=gabsinC=gx4x4x坐=4小.

8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，^ABC是边长

为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为

()

A*B.¥C.#D.冷

选A.根据题意作出图形：

已知球心为O,设过A,B,C三点的小圆的圆心为0一则OO1，平

面ABC,延长CO.交球于点D,连接SD,则SD_L平面ABC.

因为COi=|x坐=坐,

所以OOi=[1-g=坐,

所以高SD=2001,

因为AABC是边长为1的正三角形，

所以SAABC=¥I

gcriv--x立-盅

尸开以V二^gs-ABc-3x4*3-6,

二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分）

9.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足颔=2a,

At=2a+b,则下列结论中正确的是（）

A.a为单位向量B.b为单位向量

C.a±bD.（4a+b）±Bt

选AD.因为等边三角形ABC的边长为2,期=2a,所以期|=2|a|

=2,所以|a|=1,故A正确；

因为At=Afe+Bt=2a+Bt，所以Bt=b,

所以|b|=2,故B错误；

由于Afe=2a,=b,

所以a与b的夹角为120°,故C错误；

又因为（4a+b>Bt=4a・b+|bF=4x1x2x1-+4=0,

所以（4a+b）±Bt,故D正确.

10.甲、乙、丙三家企业产品的成本（单位：元）分别为10000,12000,

15000,其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是

材料口工资口费用翻

A.成本最大的企业是丙企业

B.费用支出最后）的企业是丙企业

C.支付工资最少的企业是乙企业

D.材料成本最高的企业是丙企业

选ABD.由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10000x60%=6

000（元），支付工资为10000x35%=3500（元），费用支出为10000x5%

=500(75)；

乙企业的材料成本为12000x53%=6360（元）,支付工资为12

000x30%=

3600（元）,费用支出为12000x17%=2040（元）;

丙企业的材料成本为15000x60%=9000（元）,支付工资为15

000x25%=

3750（元）,费用支出为15000x15%=2250（元）.

所以，成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支

付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业.

11.（2021•新高考I卷）已知O为坐标原点,点Pi（cosa,sina）,P2（cos

P，-sin0）,P3（cos（a+P）,sin（a+0））,A（1,0）,则（）

A.|OP；|=|O^|

B.|AP,'|=|A^|

C.OAOP；=OP；OR

D.OAOP'=OP2-OP,'

2222

选AC.对于A:|OP1|=7cosa+sina=1,|OP21=cosp+sinp

=1,所以A对；

22

因为1AP]|=^(cosa-1)+sina=-2cosa,

22

IAP21=^(cosP-1)+sinP=\b-2cosp，所以B错；

因为OA-OP3=(1,0)-(cos(a+P),sin(a+p))=cos(a+0),

OROP2=cosacosp-sinasin0=cos(a+P),OA-OP,=OP(OP2,

所以C对；

而OAOP]=(1,0)-(cosa,sina)=cosa,OP2-OP^=(cosP,-sin

P)-(cos(a+P),sin(a+0))=cos0cos(a+p)-sinpsin(a+0)=cos(20

+a),所以D错.

12.(2021泰安高一检测)如图，点M是正方体ABCD-ABCQi中的

侧面ADDA】上的一个动点，则下列结论正确的是()

A.点M存在无数个位置满足CM±ADi

B.若正方体的棱长为1,三棱锥B-C|MD的体积最大值为g

C.在线段AD.上存在点M，使异面直线BiM与CD所成的角是30°

D.点M存在无数个位置满足BM〃平面B|D)C

选ABD.对于A,连接AD-AiD,A.C,由正方体的性质可得

AD,±AiD,AD,±DC,AgDC=D,AQ,DCc平面AQC,则

AD」平面A|DC,

当点MeA,D时，有CM±ADi,故点M存在无数个位置满足

CM±ADi,故A正确；

对于B,由已知，VB-CIMD=VM-C1BD,当点M与点A1重合时,

点M到面CiBD的距离最大，则三棱锥B-QMD的体积最大值为

VAi-C|BD=I3-4x^-x^-xlxlxl，故B正确；

对于C,连接A]M,因为CD〃A|BI,所以NA1B1M为异面直线B|M

与CD所成的角，

设正方体棱长为1,A]M=x，则BN=x2+1,点A倒线ADi的距

1+X2+1-X

<x<l,cosZA]B]M=

cos30°=坐,解得x=芈阵

所以在线段ADi上不存在点M，使异面直线B]M与CD所成的角是

30°,故C错误；

：Bi

/•

,，’/方

对于D1连接AjB,BD,AjD,DjC,D〔Bi,BiCt

因为AQi〃BC,A1D1=BC,

所以四边形AiBCD,为平行四边形，

则A|B〃DC,

因为AiB。平面BCD,DCu平面BCD,

所以AiB〃平面BCD1，同理可证DB〃平面B|CD|,

因为AiBADB=B,A|B,DBu平面AiBD,

所以平面BCD〃平面AiBD,

若MEAiD,则MBc平面A,BD,

所以BM〃平面BQC,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中，任取两张，这两张卡

片上的数字之差的绝对值等于1的概率为.

从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中，任取两张，样本点有：(1,

2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,

5),(4,5)共10个，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的

基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种情况，所以这

两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p=*4=2f.

2

冬空--

口木,5

.5a1,,(7i

14.已知sin(a+0)=w,tang=3，其中a£(0,冗)邛£历，兀

贝!!cosB=.

a1，故tana=2ttm2a|

因-=-=

tan22

1-tan

又aG(O,加)，故aG。，•所以sina=/=7,cosa=

12JW+325

3_3

#2+325

.「兀、(TI3疝5

又641,可，故a+B^G，引，又sin(a+B)=F，所以a+

眸.

/---------------12

故cos(a+P)=-1-sin2(a+p)=-值.

故cos0=cos(a+B-a)=cos(a+0)cosa+sin(a+p)sina

1235416

-\Z—_1_Y——

__135135_65-

15.已知a邛是两个不同的平面，m,n是平面a及0之外的两条不

同直线，给出四个论断：①m_Ln；②aJLB；③n_Lp；④mJLa.以其中

三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个

命题：.

因为a,B是两个不同的平面，m,n是平面a及P之外的两条不同的

直线，

若①m_Ln,③!!，!},则m〃0.又因为④m_La,所以②a_Lp.即

①③④=②.

若②a_l_p,③n_Lp,则n〃a.又因为④m_La,所以①m_Ln.即

②③④二①.

答案：①③④二②(或②③④=①)

16.若aABC的面积为牛(a2+c2-b2),且NC为钝角，则NB=

；；的取值范围是________.

a

因为SAABC=坐(a2+c2-b2)=1acsinB,

uui、#+c?-b?inB二sinBsinBr-

所以2ac=-s7F，即38=不，所CC|X以|的^二木，NB

_71

=3,

.仅兀-MIfn.A

AA

.-sinv-^-cosA---sinA年〕

川F=皿=一____2=2________L22_____:毡.

人"asinAsinAsinA2tanA

1

2，

因为NC为钝角，NB/，所以0<NAW,

所以tanA£(O,甯,£(小,+℃),故；G(2,+(»).

答案：](2,+出

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知复数z=l+mi(i是虚数单位，m£R),且：.(3+i)

为纯虚数(7是z的共钝复数).

m+2i

⑴设复数z产-----，求同|;

1-1

a-i2021

(2)设复数Z2二1一,且复数Z2所对应的点在第一象限，求实数a

的取值范围.

因为z=1+mi,所以z=1-mi.

所以z-(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i.

_f3+m=0

又因为z-(3+i)为纯虚数，所以<,

[1-3m，0

解得m=-3.所以z=1-3i.

3+5

12i-

1)zl2

⑵因为Z=1-3i,

a-1(a+3)+(3a-1)i

所以Z2=

1-3i10

又因为复数Z2所对应的点在第一象限，

[a+3>0

所以，

[3a-1>0

解得：a>g.

18.（12分）（2020.全国I卷）某厂接受了一项加工业务,加工出来的产

品（单位：件）按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定：对

于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取i口工费90兀，50兀,

20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、

乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂

加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两

个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理

如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

⑴分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均

利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

【解题指南】⑴根据两个频数分布表即可求出；

⑵根据题意分别求出甲、乙两分厂加工100件产品的总利润，即可

求出平均利润，由此作出选择.

⑴由试加工产品等级的频数分布表知，

__40

甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为砺=0.4；

乙分厂加工出来的T牛产品为A级品的概率的估计值为益=0.28.

⑵由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

65x40+25x20-5x20-75x20

100二⑹

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

70x28+30x17+0x34-70x21

100=10-

比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.

“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法

国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读

书量最少的国家"这个论断被各类媒体反复引用.出现这样的统计

结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如

此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小

区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量

的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了

合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天

40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30),[30,40),

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布

直方图.问：

(1)估计在这40名读书者中年龄分布在［40,70)的人数；

⑵求这40名读书者年龄的平均数和中位数；

⑶若从年龄在［20,40)的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在

［30,40)的人数恰为1的概率.

⑴由频率分布直方图知，年龄在［40,70)的频率为(0.020+0.030+

0.025)x10=0.750,所以，40名读书者年龄分布在［40,70)的人数为

40x0.750=30(A).

⑵40名读书者年龄的平均数为：

25x0.05+35x0.1+45x0.2+55x0.3+65x0.25+75x0.1=54(岁),设中

位数为x,

0.05+0.1+0.2+(x-50)x0.03=0.5,解之得x=55,即40名读书者

年龄的中位数为55岁.

(3)年龄在［20,30)的读书者有2人，记为a,b；年龄在［30,40)的读

书者有4人，记为A,B,C,D,从上述6人中选出2人，共有如下

样本点：(a,b),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,

D),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,

D),共有基本事件数为15个，

记选取的两名读者中恰好有一人年龄在［30,40)中为事件A,则事件

A包含的样本点数为8个：(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,

8

A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=w.

19.(12分)在①sinA=2sinB,②a+b=6,③ab=12这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求出^ABC

的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

A+B

且asin-2―=csinA,c=3,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

A+BA+B

由asin——=csinA结合正弦定理可得：sinAsin--=sinC

sinA,

A+B

因为sinA/),所以sin―j—=sinC,

、A+B兀CC

因为sin-2-=sin;-2)=cos2，

cc

所以cos3=sinC=2sin3cos3,

cc1

因为cos2/所以sin2=2，

因为C£（0,兀）,所以与=30。，所以C=60°,由余弦定理得c2=a2

+b2-2abcosC,

所以9=a2+b2-ab.

选择条件①的详细分析：根据sinA=2sinB,结合正弦定理得a=2b,

f9=a2+b2-abfa=2小

联立方程组，解得厂,

[a=2b[b=V3

所以△ABC的面积S=；absinC=.

选择条件②的详细分析：

[9=a2+b2-ab

联立方程组1,

[a+b=6

fab=9fa=3

化简得：1,解得,

[a+b=61b=3

所以△ABC的面积S=1absinC=.

选择条件③的详细分析：由9=a?+b?-ab>2ab-ab=ab得ab<9,与

ab=12矛盾,

所以问题中的三角形不存在.

20.（12分）从含有两件正品a,,a2和一件次品b的3件产品中每次任

取1件，每次取出后不放回，连续取两次.

⑴求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

⑵如果将每次取出后不放回”这一条件换成'每次取出后放回”，则取

出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

⑴每次取一件，取后不放回地连续取两次，其可能的结果组成的基

本事件空间为Q={(a],a2),(ai/bi),(a2/a1),(a2,bi),(bi,ai),

(b,,32)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的

字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成，而且可以确定这

些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一

件次品”这一事件，

则A={⑶，bi),(a2,bi),(bi,a]),(b,,a2)}.

49

事件A由4个基本事件组成,所以P(A)=1=|.

⑵有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间

为Q={⑶，a])，⑶，a2),(ai,bi),(a2,a。,(a2,a2),(a2,b,),(bi,

a,),(bi,a2),(也，b])},由9个基本事件组成.由于每一件产品被取

到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的.

用B表示“恰有一件次品”这一事件，

则B={(ai,b,),(a2,bi),(bi,a。,(bi,a2)).

4

事件B由4个基本事件组成，