2021年沪教版高二数学暑假作业：平面解析几何【含答案】

2021年沪教版高二数学暑假作业：平面解析几何【含答案】

一、单选题

1.抛物线=8x的准线方程是()

A.尤=4B.x=2C.x=—2D.x=—4

【答案】C

【分析】由抛物线的知识直接可得答案.

【详解】抛物线V=8%的准线方程是1=—2

故选：C

2.直线x+3y—1=0的一个法向量可以是()

A.(3,-1)B.(3,1)C.(L3)D.(-1,3)

【答案】C

【分析】先求解出直线的一个方向向量，设出法向量，利用数量积为零计算即可.

r/u1u

【详解】直线x+3y—1=。的一个方向向量为v=L-§,设直线的法向量为根=因为v.加=o,

所以1—不=0,得/=3,所以法向量加=。,3).

故选：C.

3.若直线(a—l)x—y—。=0不通过第二象限，则实数。的取值范围是()

A.[1,+co)B.(1,-Hx>)C.(^»,0)0[1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【分析】由直线不过第二象限，讨论。-1=0、。一1>0、。一1<0求。的取值范围即可.

【详解】由直线(a—l)x—y—。=0不通过第二象限，知：

当。一1=0,。=1时，y=—l符合题意；

当a—1>0,。>1时，直线上的点(0,一a)一定不在V轴上半部分，所以。之0,即。>1；

当。一1<0时，直线定过第二象限，不合题意；

二综上有：ae[1,+oo)

故选：A

【点睛】本题考查了由直线方程求参数范围，理解辨析直线不过某个象限时需要满足的条件，应用了分类

讨论，属于简单题.

4.确定了标准方程的形式后，已知曲线上一点的坐标就能确定其方程的是

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆或双曲线

【答案】C

【分析】由椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的形式可判断其结果.

【详解】解：因为椭圆和双曲线的标准方程中含有2个待定的系数a,b,所以要确定其方程需要2个条件,

而抛物线的标准方程中只含有1个待定的系数0,所以只需1个条件即可，也就是已知曲线上一点的坐标

就能确定其方程，

故选：C

【点睛】此题考查了椭圆、双曲线、抛物线的方程的确定，属于基础题.

5.抛物线y=4x2的准线方程是（）

A.x——2B.%=-1C.y=--D.y=--—

816

【答案】D

【分析】将抛物线方程化为标准形式，可得P=!，进一步可得准线方程.

【详解】由＞=4必可得炉=7＞，所以夕=§,

所以准线方程为y=--=-^-.

216

故选：D

【点睛】本题考查了抛物线方程的标准形式，考查了抛物线的准线方程，属于基础题.

二、填空题

ab,

6.已知］2=。，则直线依+勿+。=。的倾斜角为-

【答案】-arctan—

2

【分析】先根据条件得到处=,，从而可求出直线的斜率，进一步就可以求出直线的倾斜角.

b2

ClbZ71Z71

【详解】由，c=0可得，2a—b=3即一=—,而直线的斜率左=——=—,

12b2b2

所以直线ax+by+c=0的倾斜角为兀一arctang.

故答案为：7T-arctan—.

2

22

7.椭圆工+2L=i长轴长为.

925

【答案】10

【分析】根据椭圆的方程，求得。的值，即可求得其长轴长，得到答案.

22

【详解】由题意，椭圆上+2-=1,可得a=51=3,

925

所以椭圆的长轴长为2a=10.

故答案为：10.

22

8.已知耳，K是椭圆C：、~+g=l的左、右焦点，点尸在c上，则△PF；工的周长为

【答案】10

【分析】根据椭圆的定义计算.

【详解】由椭圆方程知。=3,C=J4=2，P在椭圆上，

所以归耳|+|9|+忻闾=2a+2c=2x3+2x2=10.

故答案为：10.

9.直线＜。eR）与x轴交点的坐标为___________.

y=l+f

【答案】（5,0）

x=2—3t

【分析】根据直线〈，（teR）,令y=l+/=0求解.

y=l+t

x=2-3t

【详解】因为直线〈，aeR）,

[y=i+f

令y=l+t=0得z=-1,

所以x=2-3t=5,

所以直线与x轴的交点的坐标为（5,0）,

故答案为：（5,0）

10.已知产为抛物线。：必=2加（夕〉0）上一点，点「到抛物线。的焦点的距离为7,到y轴的距离为5,

贝.

【答案】4

【分析】根据抛物线的定义计算.

【详解】由题意「司=%+'=5+'=7,解得。=4.

故答案为：4.

11.经过点（2,4）的抛物线丁=依2焦点坐标是.

【答案】

【分析】把点（2,4）代入抛物线方程可得°,进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点

坐标.

【详解】••・抛物线丁=。/经过点（2,4）,

\a-1,

••・抛物线标准方程为f=y,

抛物线焦点坐标为（0,工）

4

故答案为：（0,工）

4

三、解答题

12.已知向量〃=卜,血丁），5=（1,0）,且（口+25）_L（万-25）,点

（1）求点T的轨迹方程C；

（2）过点（0,1）且以（2,四）为方向向量的一条直线与轨迹方程。相交于点尸，。两点，OP,。。所在的直

线的斜率分别是左OP，k°Q,求上的值；

V2V21

【答案】（1）—+^=1；（2）

422

【分析】（1）先由向量万=（x,、/5y），B=（l,o）,表示出1+2石与］—2b，再由+—,即

可得出结果；

（2）先由题意得出直线PQ的方程，设尸（七,另），。（9,为），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求

出结果.

【详解】已知向量万=（x,后y）,B=（l,o）,且仅+2到”万—25）,点T（x,y）.

⑴求点T的轨迹方程C；

（2）过点（0,1）且以（2,J5）为方向向量的一条直线与轨迹方程。相交于点P,Q两点，OP,OQ所在的直

线的斜率分别是％OP，kOQ,求自「自。的值；

解：（1）因为.=卜,&，），b=（1,0）,所以M+25=（x+2,"y）,万一25=（x—2,0y）,

因为（3+25）1•（万一25）,所以（万+25）♦（万一25）=0,即（％+2）（%—2）+2/=0,

22

整理得二+匕=1;

42

（2）由题意得，直线PQ的方程：>=孝％+1,设尸（%,％）,Q（x2,y2）

[3+1

y=---x+1

2

联立22消去丁得：必+缶_i=o所以芭々=-1，

工+匕=1

[42

同理可得，

所以kopkoQ=竺1=—.

%工22

【点睛】本题主要考查点的轨迹方程以及直线与椭圆位置关系，常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定

理即可求解，属于常考题型.

13.已知椭圆的焦点片。,0）,6（—LO），尸[°，；]过作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为布，过用

作直线/与椭圆交于AB两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求ARAB的面积；

（3）是否存在实数f使丽+而=/%,若存在，求f的值和直线/的方程；若不存在，说明理由.

【答案】解：（1）y+y2=l（2）S"旬=1（3）当直线斜率不存在时，得/=2,直线/的方程为x=l；

211

当直线斜率存在时，t=~直线点的方程为y=—‘X+Q.

【分析】（1）根据过点P作的垂直，可得椭圆上点的坐标，再根据c的值即可求得椭圆标准方程。

（2）根据点坐标，可得直线方程，再求得与椭圆的交点即可求得三角形面积。

（3）先讨论斜率不存在时的情况，此时医德A、B点坐标，代入即可求得t的值及直线方程；当斜率存在

时，设出直线方程，联立椭圆方程，可得两个交点横坐标关系，再结合向量坐标运算，即可求得t的值，进

而求得直线方程。

22

【详解】（1）设椭圆方程为=+4=1（。〉6〉0）

ab

由题意点在椭圆上,a2^b2+l

+泉=1

所以

解得廿=1,所以/=2

2

X21

—+V=1

2

(2)由题意可得4(0,—1),耳(1,0)

所以过耳、4两点的直线方程为V=x-1

代入椭圆方程可得3X2-4X=0

4

可得x=0或％=一

3

4\_

所以B点坐标为

§'3

因为p,,;

所以SMBpngxAPxxB

134,

=—x—x—=1

223

/、

A

(3)当直线斜率不存在时，易求得A1,^-,B1,-彳/2

I12)2

7

所以讨个,叫［L容”.J

由可+而=/所得方=2,直线/的方程为x=l

当直线斜率存在时，设4(%,乂),3(%2，%)，直线方程为y=1)

y=^(x-1)

则尤221，化简得x--2k~x+k--1^0

—+V=1

I2-

4k2

所以石+々=

1+2?

所以用=1，％-!

由方+而=/所得

xr+x2=tx1+x2=t

111即，1

/工+乂-3-不[%+%=1-57

因为乂+丁2=左(%+%2-2)

所以1—5=左(-2)且4k2

l+2k2

12

解得％=—,t=一

23

所以此时直线方程为y=—；》+；

综上所述，当直线斜率不存在时r=2,直线/的方程为x=l

2i|

当直线斜率存在时/=—,直线/的方程为丁=—-x+—

322

【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，分类讨论的应用，属于中档题。

14.（1）求以富世器胪=❿为渐近线，且过点您而，—褥5：的双曲线麴的方程；

（2）求以双曲线,题的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆爵的方程；

（3）椭圆点上有两点更，蝮，椅为坐标原点，若直线电鹘，磁斜率之积为:，求证：悒部「书|晦『为

定值

2222

【答案】（1）-乙=1,（2）土+匕=1,（3）0尸+。。2=30

205255

【解析】分析：（1）利用待定系数法设出双曲线方程，然后代入坐标即可，（2）确定椭圆的焦点和顶点

坐标，即可求出椭圆方程，（3）直线与椭圆联立，求得。尸，的值，即可得证结论.

22

解析：⑴设双曲线方程为必―4y2=%,将（2近,-忘）代入可得;1=20,所以双曲线方程为工-2=入

205

（2）双曲线的顶点为（±而,0）,焦点为（±5,0）,所以椭圆的顶点为（±5,0）,焦点为（土回,0）,所以

22

〃=5,所以椭圆B的方程为工+2=1.

255

⑶证明：设七？=鼠七0=二,由丁=红225，所以0尸=25与+1,同理可得

5k｛旦+d=1='=-15/+1

255

2=5（25f+1）,所以0P2+O02=1504：+30=30

5k2+15k2+1

点睛：熟练双曲线和椭圆的简单几何性质即可解决此题，对于第（3）问证明题则只需根据题意先求出问题

的表达式进行化简即可得出结论.

15.已知函数/（力=2「2-二

⑴设4（升,％）,8（%2，%乂%产％2）是产/（%）图象上的两点，直线斜率左存在，求证：k>0；

（2）求函数8（同=22、+2-2=4〃矿（力（加€尺