2024届一轮复习人教A版 立体几何 学案

易错点08立体几何

易错点1：平行和垂直的判定

在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是

高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题（位置关系

基本定理判定）或解答题（平行、垂直位置关系的证明），难度不大。

立体几何中平行与垂直的易错点

易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一

谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个

平面内的两条相交直线分别平行"而导致证明过程跨步太大。

易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视

"a%。〃人力ua"三个条件中的某一个。

易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一

谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为"一个平面内的两条相交直线与另一个平

面内的两条相交直线分别平行"而导致证明过程跨步太大；

易错点2：异面直线所成的角

1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,

进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。

2.求异面直线所成角的步骤：

①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置

斩点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。③因为异面直线所成的角

的范围是0。<9W90°,所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线

所成的角。

3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体

来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。

易错点3：直线与平面所成的角

1.传统几何方法：

①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。

②利用三面角定理（即最小角定理）cos8=cos，i-cos%求为。

2.向量方法：设）为平面戊的法向量，直线。与平面a所成的角为则

n一一一一f_n

---<〃，〃>,<〃，〃>£0,一

八2I2

—,n--（n

<a,n>----,<a,n>e\—,n

、2（2

易错点4：二面角

用向量求二面角大小的基本步骤

1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；

2.求出平面a的法向量,平面夕的法向量〃2

3.进行向量运算求出法向量的夹角C°S<%,%〉=；

%n2

4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：

当二面角为锐角时tos夕二为钝角时COS。=-CO《4，%

错题纠正

1.已知/，机是两条不同的直线，1是平面，且加〃a,则（）

A.若/m,贝ij/〃。B.若/〃0,贝IJ/.m

C.若/_Lm，贝！J/_LaD.若/_La,贝

【答案】D

【详解】依题意用〃a,

A选项，若l//m,则可能/ua,所以A选项错误.

B选项，若Illa,贝队与俄可能相交、异面、平行，所以B选项错误.

C选项，若/_L根，则可能/ua,所以C选项错误.

D选项，由于机〃a,所以平面a内存在直线几，满足机〃几，

若/_La,贝则/_Lm，所以D选项正确.

故选：D

2.已知直三棱柱A3C-AgG各棱长均相等，点〃£分别是棱4片，CG的中点，则异面

直线AD与龙所成角的余弦值为（）

1133

A.—B.—C.—D."-

5555

【答案】A

【详解】设直三棱柱的棱长为1,则AD=R^=9=BE,

点〃£分别是棱人由，CG的中点，

AD=AAl+AlD=BBl-^BA,BE=BC+CE=BC+,

111.211

AD,BE=网-aBA),(BC+万BBJ=BBT•BC+3BB[--BA-BC--BA-BBX

xlxlxcos60°=—,

224

fclADBE71

所以cos<AD,BE>=।----ri------1=—F=---广—~.

|AD||BE|好x好5

~TX^2

所以异面直线劝与庞所成角的余弦值为g.

故选：A.

3.如图，正方体ABCD-^QD.中，P是AQ的中点，则下列说法正确的是（

A.直线尸8与直线4。垂直，直线尸3〃平面瓦

B.直线尸B与直线2c平行，直线用，平面

C.直线尸3与直线AC异面，直线尸3,平面AOG左

D.直线尸8与直线8a相交，直线PBu平面ABC1

【答案】A

【详解】连接。民A0n综2c,3（；由正方体的性质可知网=2。，尸是4。的中点，所

以直线尸5与直线AQ垂直；

由正方体的性质可知。8〃R瓦,AB〃RC,所以平面BD4,//平面BQC，

又PBu平面所以直线P3〃平面与RC,故A正确；

D

以。为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1,P8=[g,l,g)2C=(O/，T

显然直线PB与直线2c不平行，故B不正确；

直线PB与直线AC异面正确，m=(1,0,0),尸小。4=gw0,所以直线PB与平面AOC也不

垂直，故C不正确；

直线PB与直线4。异面，不相交，故D不正确；

故选：A.

4.平行六面体ABCD-A与G2中，Z4AB=A\AD=/BAD=耳,AB=AD=A4,,则与

底面ABC£)所成的线面角的正弦值是()

A.eB.迈C.JD.也

3322

【答案】A

【详解】解：如图所示，连接AC,8。相交于点O,连接4。.

TT

平行六面体ABCD-AB[CR中=ZA,AD=ZBAD=-,^.AB=AD=AAl,

不妨令AB=AD-=2

AAtB,AAA.D,△m£)都是等边三角形.

A8。是等边三角形.

:.AC±BD,\OLBD,AOfAC=O,4。,ACu平面相e。

.•.BD_L平面AAJGC，BDu平面ABCD,

平面AAXCXC_L平面ABCD,

ZAAC是AA与底面ABC。所成角.

1

所以cosNAAO=/73

因为朋=2,AO=y/3=A]O

2

如图建立空间直角坐标系，则A("o,o),3(0,1,0),r>(o,-i,o),aj¥，o,半

其中4的坐标计算如下，过4作AE，4c交AC于点E,

因为cosN4Ao=,COSZ?1!AO=-^,所以AE=44,cosN/1,40=2f,

所以OE=OA—AE=豆-拽=立,

33

因为AA=AD=(—6,—i,o)

显然平面ABCD的法向量为”=(0,0,1),

।।巫

设8。与底面A5CD所成的角为凡则叫=3=上

iBD.liil203

5.已知小〃是两条不同的直线，。、£是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是

（）

A.若mln,a,则n//aB.若m//a,。〃£，贝!jm//B

C.若/n_LQ,a_L£,则m//BD.若m_LQ,n,LB,mA.n,则aJ_£

【答案】D

【详解】A选项，;Z7±77,m.Lci,则可能及ua,故A错误；

B选项，mlIa,a//B,则可能相u尸，故B错误；

C选项，m±a,aLf3,则可能MU/7,也可能相〃/?,故C错误；

D选项，因为机_La,mLn,所以〃ua或"〃0，当〃ua时，因为〃_L尸，所以由面面垂

直的判定定理知。，分，当口〃。时，存在切/H且4ua,所以“，刀，所以可得。，/7,故

D正确.

故选：D.

举一反三/

1.在长方体A3CD-A］耳G2中，已知与平面ABCZ）和平面所成的角均为30。，

则（）

A.AB=2ADB.45与平面A与G。所成的角为30。

C.AC=CBlD.8Q与平面叫GC所成的角为45°

【答案】D

【详解】如图所示:

不妨设AB=",A£>=4M=c,依题以及长方体的结构特征可知，与平面ABCD所成角

cb

为NBQB,耳。与平面出所成角为/DB|A,所以sin30=kx=M，即6=。，

DyUD}U

B[D=2c=yja2+b2+c2，角星得a=y/2c•

对于A,AB=a,AD=b,AB=41AD，A错误；

对于B,过区作成，Ag于£,易知班，平面AgG。，所以A5与平面ABC。所成角为

ZBAE,因为tan/BAE=£=变，所以NBAEw30,B错误；

a2

222

对于C,AC=da+及=6c，CBX-y/b+c=y/2c,ACwCg,c错误；

对于D,8Q与平面8BCC所成角为ND与C,sin4D4C=段=£=1g,而

B、D2c2

0<ZDBtC<90,所以/。耳。=45.D正确.

故选：D.

2.南水北调工程缓解了北方■些地区水资源短缺问题，其中■部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升至U157.5m时，增加的水量约为(622.65)()

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【详解】依题意可知棱台的高为跖V=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积

V.

棱台上底面积S=140.0km2=140xl()6m2,下底面积S'=180.0km2=180xl()6m2,

/.V=1/Z(S+S,+V®7)=1X9X(140X106+180X106+V140X180X1012)

=3x(32O+6O>/7)xlO6»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09®1.4xl09(m3).

3.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3g和4道，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.lOChiB.128TIC.144TID.192TI

【答案】A

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径、4,所以々=*-,24=*-，即

1sin602sin60

可=3透=4,设球心到上下底面的距离分别为4，/,球的半径为尺，所以4=，店-9,

d2=-16，故|4一蜀=1或4+4=1，即-9-_16]=1或JR2—9+JR2_]6=1,

解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4K/?2=100TT.

故选:A.

4.如图，已知正三棱柱ABC-44G，AC=A4,£,尸分别是棱BC，AG上的点.记所与AA

所成的角为。，E尸与平面ABC所成的角为夕，二面角尸-BC-A的平面角为/,则

A.a</3<yB.P<a<yC./3<y<aD.a<y<(3

【答案】A

【详解】如图所示，过点尸作FPLAC于P,过P作R0L3C于连接尸E,

则。=/£五？，/3=4FEP,y=FMP,

PFPFFPABFPFP

tana=——=——<1,tanS=——=——>1,tanr=——>——=tan/7,

FPABPEPEPMPE

所以

故选：A.

5.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱

柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【详解】该几何体由直三棱柱AFD-及直三棱柱DGC-组成，作于例

如图，

因为Ca=3a=3,NCaB=120,所以CM=BM=毡,碗=2,

22

因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3后，

在直棱柱AFD-3HC中，AB_L平面W,则

由ABcBC=8可得_L平面APCB,

设重叠后的£6与F”交点为/,

E

J乙乙NNT

QI97

=2x=27

则该几何体的体积为丫二^AFD-BHC-VJ-BCDAy-y-

故选：D.

易错题通关

一、单选题

1.已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为0,则此三棱锥的外接球的表

面积为（）

A.兀B.3兀C.6兀D.9兀

【答案】C

【详解】由题意，正三棱锥5-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为&,

此三棱锥S-ABC可补形为一个棱长为友的正方体，

三棱锥S-ABC的外接球与补成的棱长为形的正方体的外接球为同一个球，

设正方体的外接球的半径为R,可得=即氏=乎，

所以此三棱锥的外接球的表面积为S=4TLR2

故选：c.

2.设%，，是不同的直线，a邛,7是不同的平面，则下面说法正确的是（）

A.若。_1_刀，al/,则夕///

B.若a_L£,mlla,则m_1_刀

C.若mlIP,则1_1_夕

D.若tn/1n,wua,则；"〃。

【答案】C

【详解】A：由a，。，a'y,则4/少或相交，错误；

B：由a-L£,m//口,则相〃6或加u£或也力相交，错误；

C：由加〃尸，则存在直线/u£且〃/加，而加，£则以0,根据面面垂直的判定易知a，6，

正确；

D：由相〃”，〃ua,则或"zua,错误.

故选：C

3.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、

内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.己知某“鞠”

的表面上有四个点p,A3,c,满足上4=1,24,面AC±BC,若％则该“鞠”

的体积的最小值为（）

.25-八9八9

A.一口B.97tC.—nD.-万

628

【答案】C

【详解】取A5中点为£）,过。作QD//Q4,且?A=g,因为PA_L平面ABC,所以O£）_L

平面43c.由于ACJ_3C,i^DA=DB=DC,进而可知。4=QB=OC=O尸，所以。是球心，

OA为球的半径.

11?

由yP-ABC=§X/AC•C5•PA=]=>AC•C5=4,又=AC2+BC2>2AC-BC=8，当且仅当

AC=BC=2,等号成立,故此时A5=20,所以球半径

33

J，故体积最小值为

22

4.在三棱柱A3C-A3]G中，D,£分别为A3、B]C1的中点，若4\=4。=2,DE=y[6,

则。E与CG所成角的余弦值为（）

.V3RV6r376n2n

3483

【答案】C

【详解】如图所示，取点BC的中点P,可得CC"/E尸，

所以异面直线DE与CG所成的角，即为直线。后与所所成的角，

在，DEF中，可得政

由余弦定理可得cosZDEF=（府三一『=—.

故选：C.

4

5.已知在菱形A3CD中，AB=2,ZA=60°,把△ABD沿折起到么为。位置，若二面角

A-3D-C大小为120。，则四面体A3CD的外接球体积是（）

.728280T八7721

A.-71B.—71C.---------71D.--------冗

332727

【答案】C

【详解】设A'8£）的外接圆圆心为。I，△38的外接圆圆心为。2，

过这两点分别作平面11AZ。、平面△BCD的垂线，交于点。，则。就是外接球的球心；

取3D中点E,连接OxE,O2E,OE,OC,

因为aE_L8Z),O2E±BD,

所以NQHQ=120。，

因为48。和△BCD是正三角形,

所以O2E=O1E=t，

由AABD^ABCD得ZOEO2=60°,

77

所以。。2=1由+p即球半径为

所以球体积为射&=辿红》.

327

故选：c.

6.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，3c，面ACGA，CA=CCX=2CB,则直线8cl与直

线AB1夹角的余弦值为（

A.巫B.@C.好

535

【答案】C

【详解】连接C4交8G于。，若E是AC的中点，连接3瓦瓦＞,

由ABC-A4G为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：。是C4的中点,

所以ED〃A4,故直线8G与直线AB1夹角，即为即与BG的夹角N3DE或补角,

若BC=1,则CE=1,BD=CD=—,

2

3C_L面ACGA,ECu面ACGA,则CB_LCE,

而EC_LCG，又BCCCj=C,BC,Cqu面BCQB],故石C_L面BCq用，

又CDu面3。。由，所以CE_LCD.

所以a=Jcz)2+CE2=：,BE=4CB2+CE，=0，

59

-+--2

BD2+ED2-BE-44V5

在aBDE中cosZBDE=

2BDED5

故选：C

7.四面体P-ABC中，ZAPB=45°,ZAPC=ZBPC=30°,则二面角A—PC—3的平面角的

余弦值为（

L3

A.5/2—1B.—C.272-3DT

【答案】C

【详解】过点/作AM,PC交尸C于点〃，过点〃作MNLPC交加于点儿如图,

H

则/4W是二面角A—尸C—3的平面角，设AM=尤，则跖V=x,AP=PN=2x,

在，APN和AMN中，由余弦定理，

AN2=AP2+PN2-2AP-PN-cosZAPN=AM2+MN2-2AM-MN-cosZAMN，

所以cos/AMN=20-3,

故选：C

8.如图，三棱锥尸—ABC中，平面平面ABC,AC=BC=1,PA=BAg，PB=2.三

棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，则球心。到平面力及7的距离为（）

30

变c.0

【答案】B

【详解】解：因为AC=3C=1,PA=BA=桓,尸3=2,

所以AC2+BC2=AB\即AC_LBC,P^+AB^PB1，即以_LAB,

又平面R4B_L平面ABC,平面R4Bc平面ABC=AB,PAu平面巴4B,

所以尸A_L平面ABC,

因为ABC为直角三角形，所以.ABC外接圆的圆心在斜边AB的中点，

所以三棱锥尸-钻C外接球的即为下图长方体的外接球，

所以三棱锥尸-ABC外接球的球心。在尸3的中点，

所以球心O到平面ABC的距离为工PA=走

22

故选：B

二、多选题

9.已知。，夕是两个不重合的平面，m,〃是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(

)

A.若根_L〃，m±6Z,nil。，则。_1a

B.若根J_a,nlla,贝！Jzn_L〃

C.若a//。，mua,则机/〃？

D.若m//n,alip,则加与a所成的角和w与尸所成的角相等

【答案】BCD

【详解】解：对于A.若7〃，"，根，£，nil（3,则C万或a与尸平行或，。与夕相交不

垂直，故A错误；

对于B：〃//a,,设过九的平面月与a交于。，则〃//a,又m_Le,:.mVa,：.m±n,

•■.B正确；

对于C：-a//〃，'。内的所有直线都与夕平行，且加ua,.•.机//£,;.c正确；

对于D：根据线面角的定义，可得若加〃-aUp,则加与。所成的角和〃与尸所成的角相

等，故D正确.

故选：BCD.

10.在正四面体力—比》中，钻=3,点。为△ACD的重心，过点。的截面平行于48和S

分别交品BD,AD,立于£,户，G,〃则（）

A.四边形跖第的周长为8

B.四边形跖第的面积为2

C.直线和平面如打的距离为血

TT

D.直线力。与平面夕诩所成的角为二

4

【答案】BCD

2

【详解】。为ABC的垂心，连/。延长与切交于〃点，贝UAO=1AM

21

:.HGU—CD,：.HG=2,EF=2,HE//-AB,：.HE=GF=1,

=3=3

周长为6,A错.

AB±CD,贝I]SEFGH=2X1=2,B对.

将四面体补成一个长方体，则正方体边长为女&，，//（血,血,0）

2

P,0分别为ZS切中点，平面以谢n=PQ=0,--,0

I

血广

・•・4到平面夕期距离d=i1」=---尸J=j2,c对

同3。2

TTTT

〃1与国夹角为丁，则然与平面四阳的夹角为丁，D对

44

故选：BCD

三、解答题

11.如图，三棱柱ABC-A4cl中，点4在平面ABC内的射影。在AC上，ZACB=90°,

BC=1,AC=CC,=2.

(1)证明：AGJ.AB；

(2)若AC=2,求二面角A—AB—C的余弦值.

【答案】

(1)•.•点4在平面ABC内的射影。在AC上，...A。，平面ABC,又BCu平面ABC,

A.DVBC,VBCJ_AC,ACcAQ=O,AC,AQu平面A41GC，,8。_1_平面照。。，

A&U平面441GC,AQ1BC,*/AC=CCl=2,四边形A4(。为平行四边形，,四

边形A4CC为菱形，故AG^AC，又BC.AC=C,5cAeu平面48C,AG，平

面AtBC,AtBu平面A}BC,：.ACX±\B-

(2)以C为坐标原点，以C4,C8DA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A。,0,⑹,4(2,0,0),3(0,1,0),

4A=(l