河北省张家口市宣化区宣化第一中学2024-2025学年高二数学上学期期初考试试题

PAGE17-河北省张家口市宣化区宣化第一中学2024-2025学年高二数学上学期期初考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）若a，b，QUOTE，QUOTE，则下列不等式成立的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE若QUOTE是QUOTE的内角，且QUOTE，则A与B的关系正确的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.无法确定已知QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比数列，则实数x的值为QUOTEA.3 B.QUOTE C.3或QUOTE D.不确定过点QUOTE且与直线QUOTE垂直的直线方程是QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为QUOTE，则这个圆锥的体积为QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知m，n是两条不同的直线，QUOTE，QUOTE是两个不同的平面，若QUOTE，QUOTE，则下列命题正确的是QUOTEA.若QUOTE，QUOTE，则QUOTE

B.若QUOTE，且QUOTE，则QUOTE

C.若QUOTE，QUOTE，则QUOTE

D.若QUOTE，且QUOTE，则QUOTE已知a，b，c分别为QUOTE内角A，B，C的对边，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE点QUOTE为圆QUOTE的弦AB的中点，则直线AB的方程为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知正数QUOTE满意QUOTE，则QUOTE的最小值为QUOTE

QUOTEA.5 B.QUOTE C.QUOTE D.2如图，长方体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，那么异面直线QUOTE与QUOTE所成角的余弦值是QUOTE

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知数列QUOTE的通项公式QUOTE，前n项和为QUOTE，若QUOTE，则QUOTE的最大值是QUOTEA.5 B.10 C.15 D.在三棱锥QUOTE中，QUOTE平面ABC，QUOTE，QUOTE，则三棱锥QUOTE的外接球的表面积为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）直线QUOTE恒过定点______．QUOTE中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知QUOTE，QUOTE，则QUOTE的最大值为______设数列QUOTE的前n项和为QUOTE，若QUOTE，且QUOTE，则QUOTE______．设圆QUOTE：QUOTE圆QUOTE：QUOTE点A，B分别是圆QUOTE，QUOTE上的动点，P为直线QUOTE上的动点，则QUOTE的最小值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）在长方体QUOTE中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是QUOTE的中点．

QUOTE求证：QUOTE平面QUOTE；

QUOTE若QUOTE，求二面角QUOTE的正弦值．

在QUOTE中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满意：QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求角A的大小；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，求QUOTE的最大值．

设QUOTE为正项数列QUOTE的前n项和，且满意QUOTE．

QUOTE求QUOTE的通项公式；

QUOTE令QUOTE，若QUOTE恒成立，求m的取值范围．

20.已知两个定点QUOTE，QUOTE，动点P满意QUOTE设动点P的轨迹为曲线E，直线l：QUOTE．QUOTE求曲线E的轨迹方程；

QUOTE若l与曲线E交于不同的C，D两点，且QUOTE为坐标原点QUOTE，求直线l的斜率；

QUOTE若QUOTE，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．

数学试卷答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由QUOTE，

A.取QUOTE，QUOTE时不成立；

B.取QUOTE，QUOTE时不成立；

C.取QUOTE时不成立；

D.QUOTE，可得：QUOTE恒成立．

故选：D．

通过赋值法及利用不等式的基本性质即可推断出结论．

本题考查了赋值法、不等式的基本性质，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得QUOTE，即QUOTE．

故选：B．

依据正弦定理转化为QUOTE，利用大角对大边的性质进行推断即可．

本题主要考查三角函数角的大小比较，结合正弦定理以及大边对大角是解决本题的关键．

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．

由QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出．

【解答】

解：QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比数列，奇数项的符合相同，

则QUOTE．

故选：B．

4.【答案】C

【解析】解：由于直线QUOTE的斜率为QUOTE，故所求直线的斜率等于QUOTE，故所求直线的方程为QUOTE，即QUOTE，

故选：C．

由两直线垂直的性质求出所求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，化为一般式．

本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．

5.【答案】C

【解析】解：圆锥的绽开图为扇形，半径QUOTE，侧面积为为扇形的面积，

所以扇形的面积QUOTE，解得QUOTE，

所以弧长QUOTE，所以底面周长为QUOTE，

由此可知底面半径QUOTE，所以底面面积为QUOTE，

圆锥体的高为QUOTE，

故圆锥的体积QUOTE，

故选：C．

利用圆锥的侧面绽开图，扇形的面积，然后转化求解圆锥的体积．

本题考查圆锥的体积的求法，考查转化思想以及计算实力．

6.【答案】D

【解析】解：对于A，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE或QUOTE与QUOTE相交，故错；

对于B，若QUOTE，且QUOTE，则m与QUOTE不肯定垂直，故错；

对于C，若QUOTE，QUOTE，则QUOTE与QUOTE位置关系不定，故错；

对于D，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE，故正确．

故选：D．

利用面面、线面位置关系的判定和性质，干脆判定．

本题考查命题真假的推断，是中档题，解题时要仔细审题，留意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用．

7.【答案】D

【解析】解：QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE由正弦定理QUOTE，可得：QUOTE，

QUOTE由余弦定理QUOTE，可得：QUOTE，解得：QUOTE，负值舍去．

故选：D．

由已知利用正弦定理可求c的值，依据余弦定理可得QUOTE，解方程可得a的值．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．

8.【答案】C

【解析】解：QUOTE是圆QUOTE的弦，圆心为QUOTE

QUOTE设AB的中点是QUOTE满意QUOTE

因此，AB的斜率QUOTE

可得直线AB的方程是QUOTE，化简得QUOTE

故选：C．

由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB相互垂直，由此算出AB的斜率QUOTE，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．

本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等学问，属于基础题．

9.【答案】C

【解析】解：QUOTE，所以，QUOTE，

则QUOTE，

所以，QUOTE，

当且仅当QUOTE，即当QUOTE时，等号成立，

因此，QUOTE的最小值为QUOTE，

故选：C．

由QUOTE得QUOTE，再将代数式QUOTE与QUOTE相乘，利用基本不等式可求出QUOTE的最小值．

本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．

10.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象实力、运算实力和推理论证实力，属于基础题．

先将QUOTE平移到QUOTE，得到的锐角QUOTE就是异面直线所成的角，在三角形QUOTE中再利用余弦定理求出此角即可．

【解答】

解：如图，设QUOTE，则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

将QUOTE平移到QUOTE，则QUOTE是异面直线QUOTE与QUOTE所成角，

QUOTE，QUOTE，QUOTE

QUOTE．

故选：A．

11.【答案】B

【解析】解：依据题意，数列QUOTE的通项公式是QUOTE，

其前n项和是QUOTE，有QUOTE，

即当QUOTE最大时，QUOTE取得最大值；

若QUOTE，且QUOTE，

解可得：QUOTE，

即当QUOTE时，QUOTE的值为正．

即当QUOTE，QUOTE时，QUOTE，

此时QUOTE取得最大值10．

故选：B．

依据题意，由数列的性质可得QUOTE，结合数列的通项公式以及二次函数的性质分析可得当QUOTE时，QUOTE的值为正，进而可得当QUOTE，QUOTE时，QUOTE取得最大值，利用通项公式计算QUOTE的值，即可得答案．

本题考查等差数列的前n项和与前m项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．

12.【答案】C

【解析】解：如图，

由题意，QUOTE的外接圆的半径QUOTE．

QUOTE平面ABC，且QUOTE，

QUOTE三棱锥QUOTE的外接球的半径R满意QUOTE．

QUOTE三棱锥QUOTE的外接球的表面积为QUOTE．

故选：C．

由题意画出图形，求出底面三角形ABC的外接圆的半径，进一步求得三棱锥QUOTE的外接球的半径，再由球的表面积公式求解．

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

13.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE直线QUOTE，

QUOTE由题得QUOTE，

QUOTE，

解得QUOTE，QUOTE，

QUOTE直线过定点QUOTE

故答案为：QUOTE

直线QUOTE，化为QUOTE，由此能求出直线经过的定点．

本题考查直线经过的定点坐标的求法，考查直线方程的性质等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．

14.【答案】QUOTE

【解析】解：由QUOTE，QUOTE，

由余弦定理得QUOTE，

即QUOTE，

故QUOTE，

即QUOTE的最大值为QUOTE，

故答案为：QUOTE．

结合余弦定理以及基本不等式，利用三角形的面积公式进行求解即可．

本题主要考查三角形面积最值的计算，结合余弦定理，以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．

15.【答案】QUOTE

【解析】解：由于数列QUOTE的前n项和为QUOTE，若QUOTE，所以QUOTE常数QUOTE，

所以数列QUOTE是以QUOTE为首项，1为公差的等差数列，

故QUOTE，整理得QUOTE，

故答案为：QUOTE．

干脆利用递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果．

本题考查的学问要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算实力和转换实力及思维实力，属于基础题型．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：可知圆QUOTE的圆心QUOTE，QUOTE，圆QUOTE的圆心QUOTE，QUOTE，如图所示

对于直线QUOTE上的任一点P，由图象可知，要使QUOTE的得最小值，

则问题可转化为求QUOTE的最小值，

即可看作直线QUOTE上一点到两定点距离之和的最小值减去7，

又QUOTE关于直线QUOTE对称的点为QUOTE，

由平面几何的学问易知当QUOTE与P、QUOTE共线时，QUOTE取得最小值，

即直线QUOTE上一点到两定点距离之和取得最小值为QUOTE

QUOTE的最小值为QUOTE．

故答案为：QUOTE

求出圆心坐标和半径，结合圆的地产进行转化求解即可．

本题主要考查圆与圆位置关系的应用，利用数形结合结合对称性进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有肯定的难度．

17.【答案】证明：QUOTE连接QUOTE，QUOTE，F分别为AB，QUOTE的中点，

QUOTE长方体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

QUOTE四边形QUOTE是平行四边形，

QUOTE，QUOTE

QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE

解：QUOTE在长方体中，分别以DA，DC，QUOTE为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则QUOTE0，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，

QUOTE1，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

设平面QUOTE的一个法向量QUOTE，

则QUOTE，

取QUOTE，则QUOTE

同样可求出平面QUOTE的一个法向量QUOTE

QUOTE二面角QUOTE的正弦值为QUOTE．

【解析】QUOTE连接QUOTE，推导出QUOTE，则四边形QUOTE是平行四边形，从而QUOTE，QUOTE，由此能证明QUOTE平面QUOTE．

QUOTE在长方体中，分别以DA，DC，QUOTE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角QUOTE的正弦值．

本题考查线面平行的证明，考查三面角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查运算求解实力，是中档题．

18.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE由余弦定理可得：QUOTE，

又在QUOTE中，QUOTE，

QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE由QUOTEⅠQUOTE及QUOTE，可得：QUOTE，即QUOTE，

QUOTE，当且仅当QUOTE时等号成立，

QUOTE，则QUOTE，当且仅当QUOTE时等号成立，

故QUOTE的最大值为2．

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于基础题．

QUOTEⅠQUOTE由正弦定理化简已知等式可得QUOTE，由余弦定理可得QUOTE，结合范围QUOTE，可求A的值．

QUOTEⅡQUOTE由QUOTEⅠQUOTE及QUOTE，可得QUOTE，由QUOTE，即可求得QUOTE的最大值．

19.【答案】解：QUOTE由题QUOTE，QUOTE

令QUOTE，得QUOTE，解得QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，QUOTE

QUOTE得：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

即QUOTE

QUOTE是以3为首项，2为公差的等差数列，

QUOTE；

QUOTE，

QUOTE，

若QUOTE恒成立，则QUOTE，

QUO