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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过椭圆的左焦点的直线过的上顶点,且与椭圆相交于另一点,点在轴上的射影为,若,是坐标原点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.2.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.3.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.14.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间5.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列6.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.7.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.8.函数的部分图像大致为()A. B.C. D.9.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.410.函数的一个零点在区间内,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.11.已知是函数的极大值点,则的取值范围是A. B.C. D.12.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数的定义域为R,导函数为,若,且,则满足的x的取值范围为______.14.设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则______________.15.已知二项式ax-1x6的展开式中的常数项为-16016.的展开式中的系数为________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.18.(12分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.19.(12分)已知函数.当时,求不等式的解集;,,求a的取值范围.20.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)21.(12分)如图,四棱锥的底面ABCD是正方形,为等边三角形,M,N分别是AB,AD的中点,且平面平面ABCD.(1)证明:平面PNB;(2)问棱PA上是否存在一点E,使平面DEM,求的值22.(10分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
求得点的坐标,由,得出,利用向量的坐标运算得出点的坐标,代入椭圆的方程,可得出关于、、的齐次等式,进而可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得、.由,得,则,即.而,所以,所以点.因为点在椭圆上,则,整理可得,所以,所以.即椭圆的离心率为故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,解答的关键就是要得出、、的齐次等式,充分利用点在椭圆上这一条件,围绕求点的坐标来求解,考查计算能力,属于中等题.2、A【解析】
根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.3、C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.4、D【解析】
可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题5、D【解析】
由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题6、D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.7、C【解析】
利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故选:.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.8、A【解析】
根据函数解析式,可知的定义域为,通过定义法判断函数的奇偶性,得出,则为偶函数,可排除选项,观察选项的图象,可知代入,解得,排除选项,即可得出答案.【详解】解:因为,所以的定义域为,则,∴为偶函数,图象关于轴对称,排除选项,且当时,,排除选项,所以正确.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象,利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.9、A【解析】
采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.10、C【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.11、B【解析】
方法一:令,则,,当,时,,单调递减,∴时,,,且,∴,即在上单调递增,时,,,且,∴,即在上单调递减,∴是函数的极大值点,∴满足题意;当时,存在使得,即,又在上单调递减,∴时,,所以,这与是函数的极大值点矛盾.综上,.故选B.方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,须在的左侧附近,,即;在的右侧附近,,即.易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得,故选B.12、C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
构造函数,再根据条件确定为奇函数且在上单调递减,最后利用单调性以及奇偶性化简不等式,解得结果.【详解】依题意,,令,则,故函数为奇函数,故函数在上单调递减,则,即,故,则x的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.14、【解析】设根据椭圆的几何性质可得,根据双曲线的几何性质可得,,即故答案为15、2【解析】
在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项,再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】∵二项式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常数项为-C63故答案为:2.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.16、【解析】
在二项展开式的通项中令的指数为,求出参数值,然后代入通项可得出结果.【详解】的展开式的通项为,令,因此,的展开式中的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,涉及二项展开式通项的应用,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)从而的分布列为012;(3).【解析】
(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件,则,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.(2)由题,知的可能取值分别为0,1,2,,,从而的分布列为012.(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为,所以,所以事件“”的概率为.18、(1)3(2)78【解析】试题分析:(1)由两角和差公式得到,由三角形中的数值关系得到,进而求得数值;(2)由三角形的三个角的关系得到,再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析:(1)在中,由,得为锐角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面积.19、(1);(2).【解析】
(1)当时,,①当时,,令,即,解得,②当时,,显然成立,所以,③当时,,令,即,解得,综上所述,不等式的解集为.(2)因为,因为,有成立,所以只需,解得,所以a的取值范围为.【点睛】绝对值不等式的解法:法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.20、(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ)8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.,,.故分布列为:.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21、(1)证明见解析;(2)存在,.【解析】
(1)根据题意证出,,再由线面垂直的判定定理即可证出.(2)连接AC交DM于点Q,连接EQ,利用线面平行的性质定理可得,从而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【详解】(1)证明:在正方形ABCD中,M,N分别是AB,AD的中点,∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵为等边三角形,N是AD的中点,∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如图,连接AC交DM于点Q,连接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在点E,使平面DEM,此时,E是棱A的靠近点A的三等分点.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理,考查了学生的推理能力以及空间想象能力,属于空间几何中的基础题.22、(1)存在;详见解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性质定理可得,为上靠近点的三等
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