2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=1+3i1-2i，则A．1 B．i C．﹣i D．﹣12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α-πA．-35 B．35 C．-3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，l∥α，则l∥β4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3π B．3π C．(3-22)π5．（5分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，则（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T176．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点，过B，C，D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B1所在部分的体积为（）A．233 B．536 C．7．（5分）在△ABC中，P0是边AB的中点，且对于边AB上任意一点P，恒有PB→⋅PCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且点M在AB线段上，且满足CM＝BM，若点P为△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期为π，则B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 C．三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 D．△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为2（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A．存在某条直径CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD体积的最大值为16C．对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线 D．若∠ABD=π6，则异面直线SA与CD（多选）12．（5分）已知数列{an}中各项都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，记数列{aA．任意a1与正整数m，使得amam+1≥0 B．存在a1与正整数m，使得am+1C．任意非零实数a1与正整数m，都有am+1＜am D．若a1＝1，则S2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为14．（5分）已知等差数列{an}，a8＝8，a9=8+π315．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BP⊥AB1，则动点P的轨迹长度是．16．（5分）已知向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=3，向量c→满足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）定义一种运算：(a，b)c（1）已知z为复数，且(3，z)z（2）已知x，y为实数，(y+sin2x，2)iy-(1，sin218．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=2n+5SnSn+1，数列{bn}的前n项和为T20．（12分）在△ABC中，内角A，B都是锐角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求证：sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿着AC翻折至△AB1C的位置，构成三棱锥B1﹣ACD，且DE→=1（1）证明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF与平面AB1C所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，数列{bn}满足：对任意n∈N（1）求证：数列{1（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设Tn是数列{2n-1b2n-bn}

2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=1+3i1-2i，则A．1 B．i C．﹣i D．﹣1【解答】解：z=1+3i1-2i=则z=-1-i故选：D．2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α-πA．-35 B．35 C．-【解答】解：由三角函数定义有sinα=-3所以cos（α-π2）＝sinα故选：A．3．（5分）设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β D．若α∥β，l∥α，则l∥β【解答】解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3π B．3π C．(3-22)π【解答】解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AB⊥BD，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥CD，设四面体ABCD内切球的球心为O，半径为r，则VABCD所以r=3VABCDSABCD又因为四面体ABCD的体积VABCD所以r=3VABCD故选：C．5．（5分）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，则（）A．q＜0 B．a1＜0 C．T15＜1＜T16 D．T16＜1＜T17【解答】解：因为等比数列{an}的前n项积为Tn，若T7＞T9＞T8，故1＞a8a9，a9＞1，a8＜1；所以a1⋅q8＞1，所以所以T16=a故选：D．6．（5分）如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点，过B，C，D三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B1所在部分的体积为（）A．233 B．536 C．【解答】解：如图，取A1C1的中点E，连接DE，CE，又D是A1B1的中点，∴DE∥B1C1，且DE=12B1C又B1C1∥BC，且B1C1＝BC，∴DE∥BC，且DE=12∴过B，C，D三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED，∴所求体积为：V=1=23故选：B．7．（5分）在△ABC中，P0是边AB的中点，且对于边AB上任意一点P，恒有PB→⋅PCA．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB＝4，则A（﹣2，0），B（2，0），C（a，b），P（0，0），P0（x，0），所以PB→=（2﹣x，0），PC→=（a﹣x，b），P0B→因为恒有PB→⋅PC→≥P0B→整理得x2﹣（a+2）x≥0恒成立，故Δ＝（a+2）2≤0，即a＝﹣2，此时BA⊥AC，所以∠A＝90°，所以△ABC为直角三角形．故选：A．8．（5分）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC中，已知C=23π，AC＝1，BC＝2，且点M在AB线段上，且满足CM＝BM，若点P为△AMCA．﹣1 B．-45 C．-3【解答】解：因为C=23π，AC所以由余弦定理可得AB=A由正弦定理可得ACsinB=AB又B为锐角，所以cosB=1-si设CM＝BM＝x，则CM2＝CB2+BM2﹣2CB•BMcosC，即x2解得x=275所以AM=3则S△AMC又cos∠AMC=A则∠AMC为锐角，所以△AMC的三个内角均小于120°，则P为三角形的正等角中心，所以S=3所以|PA所以PA=-1=-1故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥C．若a→⊥(b→-【解答】解：对于A，当b→=0→时，满足a→∥b对于B，|（a→•b→）c→|＝|（|a→||b→|cos＜a→，b→＞|c→|）|≤|a→对于C，a→⊥(b→-c→)时，对于D，（a→•b→）•b→是数乘向量，与b→共线的向量，a→•(故选：BC．（多选）10．（5分）下列说法正确的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)，ω＞0的最小正周期为π，则B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件 C．三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 D．△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为2【解答】解：对于A，f（x）＝sinωx+2cos（ωx+π3）＝（1-3）sinωx+cosωx=5-23sin（ωx+若f（x）的最小正周期为π，则ω=2ππ=对于B，△ABC中，A＞B得出a＞b，充分性成立，a＞b也能得出A＞B，必要性成立，是充要条件，选项B正确；对于C，若2a，2b，2c成等差数列，则2•2b＝2a+2c，所以2＝2a﹣b+2c﹣b，所以a﹣b＝c﹣b＝0，即a＝b＝c，所以选项C错误；对于D，△ABC的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC的面积为22S直观图＝22×34×22故选：ABD．（多选）11．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A．存在某条直径CD，使得AD⊥SD B．若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD体积的最大值为16C．对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线 D．若∠ABD=π6，则异面直线SA与CD【解答】解：对A选项，∵SD在底面的射影为CD，而CD与AD夹角始终为锐角，∴AD与AD不垂直，∴根据三垂线定理可知AD与SD不垂直，∴A选项错误；对B选项，若AB＝2，则三棱锥S﹣AOD的高为SO＝1，当AO⊥DO时，三角形AOD的面积取得最大值为12此时三棱锥S﹣AOD体积取得最大值为13×1对C选项，∵AB，CD是直角圆锥SO底面圆的两条不同的直径，∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD，直线AD与直线SB互为异面直线，∴C选项正确；对D选项，若∠ABD=π6，则∠AOD=π∴SA=r×r×cosπ3-0=r22，又易知|SA→|∴cos＜SA∴异面直线SA与CD所成角的余弦值是24，∴D故选：BCD．（多选）12．（5分）已知数列{an}中各项都小于2，an+12-4an+1=an2-3an，记数列{aA．任意a1与正整数m，使得amam+1≥0 B．存在a1与正整数m，使得am+1C．任意非零实数a1与正整数m，都有am+1＜am D．若a1＝1，则S2022∈（1.5，4）【解答】解：对于选项A：因为an+1所以（an+1﹣4）an+1＝（an﹣3）an，整理得an+1=(所以anan+1=(an对于选项B：不妨设f（x）＝x2﹣4x，因为an+1可得f(a而f′（x）＝2x﹣4＝2（x﹣2），当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以对于任意正整数n，都有an+1≤3对于选项C：由A可知所有an同号，①当a1＝0时，对于任意正整数n，都有an＝0；②当0＜a1＜2时，0＜an＜2，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＞f（an），又函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n，都有an+1＜an；③当a1＜0时，an+12-4an+1=an2-3所以f（an+1）＜f（an），又函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n，都有an+1＞an，故选项C正确；对于选项D：因为对于任意正整数n，都有an+1当a1＝1时，an≤（34）n﹣1所以S2022≤k=12022（34）k﹣1=1-(因为当a1＝1时，0＜an≤1，又a22-4解得a2＝2-2所以S2022＞S2＞3则S2022∈（1，5，4），故选项D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为122【解答】解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3设该圆锥的底面半径为r，所以2πr=2π3×30因此该圆锥的高为h=3故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3高为1230h=2因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为202故答案为：122．14．（5分）已知等差数列{an}，a8＝8，a9=8+π3【解答】解：等差数列{an}，a8＝8，a9所以公差d＝a9﹣a8=π则cosa故答案为：1．15．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，动点P在△A1B1C1内（包括边界上），且始终满足BP⊥AB1，则动点P的轨迹长度是125【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝CC1＝3，AC＝4，AC⊥BC，建立如图所示的坐标系，由题意可知A（4，0，0），B（0，3，0），C（0，0，0），B1（0，3，3），设P（x，y，3），则BP→=（x，y﹣3，3），AB1→=可得：﹣4x+3y﹣9+9＝0，即4x﹣3y＝0．直线A1B1的方程：3x+4y＝12，3x+4y=124x-3y=0，可得x=3625，所以D（3625，48动点P的轨迹为线段C1D，长度为：(36故答案为：12516．（5分）已知向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=3，向量c→满足c→=λa→+(1-λ)b→(0＜λ＜1)，且a【解答】解：设OA→=a→，∵a→⋅b∵向量c→满足c∴C在线段AB上，设∠AOC＝α，则∠BOC=π则x=c→⋅a→|a∴34|c→|2≤3=|c=|c=3在△ABO中，由余弦定理有：|AB=|a∴|AB|≥6，当且仅当|∵a→⋅c→=∴S△OAB∴|OC|=6×32|AB|≤∴x2+y2﹣xy=3故答案为：278四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）定义一种运算：(a，b)c（1）已知z为复数，且(3，z)z（2）已知x，y为实数，(y+sin2x，2)iy-(1，sin2【解答】解：（1）设z＝a+bi，由题意可得，（3，z）[z4]＝3z+4z=3（a+bi）+4（a﹣＝7a﹣bi＝7﹣3i，故a＝1，b＝3，所以|z|=10（2）由题意可得，原式＝2y﹣sinx+（y+sin2x﹣23sin²x）i是实数，所以y+sin2x﹣23sin2x＝0，即y＝﹣sin2x+23sin²x=3（1﹣cos2x）﹣sin2＝﹣2sin（2x+π3）所以当2kπ+π2≤2x+π3sin（2x+π3）单调递减，此时函数解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12即单调增区间为[kπ+π12，kπ+7π12]（18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f（x）＝40[Acosω（x+4）+k]来刻画．其中正整数x表示月份且x∈[1，12]，例如x＝1时表示1月份，A和k是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y＝f（x）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．【解答】解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，T=2πω=12，得由规律②可知，f（x）max＝f（8）＝40（Acos2π+k）＝40A+40k，f（x）min＝f（2）＝40（Acosπ+k）＝﹣40A+40k，由f（8）﹣f（2）＝80A＝160，得A＝2；又当x＝2时，f（2）＝40[2cosω（2+4）+k]＝80•cosπ+40k＝40，解得k＝3．综上可得，f（x）＝80cos（π6x+（2）由条件，80cos（π6x+可得cos（π6x+2π3）＞12，则2kπ-π3＜π∴12k﹣6＜x＜12k﹣2，k∈Z．∵x∈[1，12]，x∈N*，∴当k＝1时，6＜x＜10，故x＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+4n﹣3．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=2n+5SnSn+1，数列{bn}的前n项和为T【解答】解：（1）由Sn＝n2+4n﹣3，可得n＝1时，a1＝S1＝5﹣3＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+4n﹣3﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+3，化简可得an＝2n+3（n≥2），所以an=2，n=1（2）bn=2n+5可得Tn=12-20．（12分）在△ABC中，内角A，B都是锐角．（1）若∠C=π3，c＝2，求△（2）若sin2A+sin2B＞sin2C，求证：sin2A+sin2B＞1．【解答】解：（1）由正弦定理有：asinA∴a=433∴a+b==4=4=23∵内角A，B都是锐角，∴0＜A＜π20＜∴π3∴sin(A+π∴a+b∈(23∴a+b+c∈(2+23∴△ABC周长的取值范围为(2+23（2）∵sin2A+sin2B＞sin2C，由正弦定理得：a2+b2＞c2，由余弦定理：cosC=a∵C∈（0，π），∴C为锐角，∵A，B都是锐角，∴A+B＞π2，∴∴sinA＞sin(π∴sin2A+sin2B＞cos2B+sin2B＝1，∴sin2A+sin2B＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿着AC翻折至△AB1C的位置，构成三棱锥B1﹣ACD，且DE→=1（1）证明：AC⊥B1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D的大小；（3）求EF与平面AB1C所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连接OB1，OD，因为菱形ABCD，∠AB所以△ACB1，△ACD为等边三角形，所以OB1⊥AC，OD⊥AC，又因为OB1，OD⊂面OB1D，OB1∩OD＝O，所以AC⊥面OB1D，因为B1D⊂面OB1D，所以AC⊥B1D．（2）因为DE→=1所以FE→平方得，FE→即374=136×36+1在△B1CD中，由余弦定理得，B1D²＝CB12+CD²﹣2CB1•CDcos∠B1CD所以B1D＝9，由（1）可知，∠DOB1是二面角B1﹣AC﹣D的平面角，在等边△AB1C中B1O=B在△B1OD中，由余弦定理得，cos∠B因为0＜∠B1OD＜π，所以∠B即二面角B1﹣AC﹣D的大小2π3（3）取B1E中点G，连接CG，则E是GD靠近G的三等分点，则EF∥CG，所以CG与平面AB1C所成角即为所成角，在平面DOB1中，作GK⊥B1O，因为AC⊥面OB1D，GK⊂面OB1D，所以AC⊥GK，又因为AC，B1O⊂面AB1C，AC∩B1O＝O，所以GK⊥面AB1C，所以∠GCK是CG与平面AB1C所成角，在△DOB1中，∠OB1D=∠OD所以GK=1在ΔDCB1中，由△DEF∽△DGC，得EFCG=DE所以sin∠GCK=GK所以EF与平面AB1C所成角的正弦值为33722．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足：Sn2=an（Sn﹣1），且Sn≠0，数列{bn}满足：对任意n∈N（1）求证：数列{1（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设Tn是数列{2n-1b2n-bn}【解答】解：（1）证明：由Sn2=an（Sn﹣1）得Sn2=（Sn﹣S化简得SnSn﹣1+Sn﹣Sn﹣1＝0，由于Sn≠0，所以又有1+1即1S又1S1=（2）结合（1）可得1Sn=1+（n所以有b1+2b2+…+nbn＝（n﹣1）•2n+1+2，又有b1+2b2+…+nbn+（n+1）bn+1＝n•2n+2+2，二式相减得（n+1）bn+1＝（n+1）•2n+1，即bn+1＝2n+1，所以当n≥2有bn＝2n，又b1＝2，符合上式，所以bn＝2n；（3）结合（2）可知2n-1b所以Tn＜1设Qn=1则14Qn=二式相减得34Qn=12+2×（即Qn=2又2n-122n+1＞0，所以Qn当n→+∞，Qn→23所以Tn＜102022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A．46 B．49 C．50 D．513．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a→=-2b→ B．a→=24．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥β，m∥α，则α∥β C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立 B．A3与B对立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍 B．今年商品B的营收是去年的2倍 C．今年商品C的营收比去年减少 D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为30（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为米．15．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）记a→、b→、c→（1）求〈a（2）若a→⋅c18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos220．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．21．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=23时，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π22．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．

2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知复数z在复平面内对应的点是（0，1），则1+izA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是（0，1），∴z＝i，∴1+iz=1+i故选：B．2．（3分）某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）A．46 B．49 C．50 D．51【解答】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，因为10×0.8＝8，因此，该组数据的第80百分位数为49+512故选：C．3．（3分）已知向量a→=(2，2)，A．a→=-2b→ B．a→=2【解答】解：向量a→=(2，2)，对于A，-2b→=(-2，2)，a对于B，2b→=(2，-2)，a对于C，由于2×（﹣1）≠2×1，即a→与b→不共线，对于D，a→⋅b→=2×1+2×(-1)=0故选：D．4．（3分）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥β，m∥α，则α∥β C．若m⊥n，n⊂β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；对于C，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；对于D，若m∥α，则平面α存在直线l，满足l∥m，由于m⊥β，则有l⊥β，必有α⊥β，故D正确．故选：D．5．（3分）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：Ai＝“正面向上的硬币数为i”，其中i＝0，1，2，3，B＝“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）A．A0与B相互独立 B．A3与B对立 C．P（A2）＝2P（B） D．A1+A2＝B【解答】解：总的可能有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正），（反，反，反），故P(A0)=18，P(A而P（A0∪B）＝0，P(A0)⋅P(B)=P(A3)+P(B)=2P（A2）＝P（B），故选项C错误；A1＝{（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）}，A2＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，B＝{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）}，所以A1+A2＝B，故选项D正确．故选：D．6．（3分）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：在直角圆锥P﹣ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，∠ACB＝90°，则PA=PB=2过点B作BD∥AC交底面圆于点D，连接PD，AD，如图，则∠PBD是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然BD=22AB=PB=PD所以∠PBD＝60°，即异面直线PB与AC所成角的大小为60°．故选：C．7．（3分）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，x1，x2是f（x）的两个零点，若x2＝4A．φ B．ω C．φω D．ω+【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0的周期为2πω令f（x）＝0，可得ωx+φ=kπ+π2，k∈所以x=kπ+π2-φω，即x=又ω＞0，|φ|＜π所以0＜φ＜π2，x1又x2＝4x1，所以3π-2φ2ω所以φ=π故选：A．8．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱A1D1上的一个动点，若PA=10，PD=2，则三棱锥P﹣A．144π B．36π C．9π D．6π【解答】解：令长方体ABCD﹣A1B1C1D1的高为h，PD1＝x，于是x2+h2=2在△PAD中，∠PDA＝∠DPD1＝45°，则△PAD外接圆半径r=12×PAsin45°因此三棱锥P﹣ABD外接球的球心O在线段AB的中垂面上，球心O到平面PAD的距离为d=1则球半径R=r2+d2=5+4=3，所以三棱锥P﹣ABD外接球的表面积故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）（多选）9．（3分）下列等式成立的是（）A．sin26°﹣cos26°＝cos12° B．sin6°-cos6°=-2C．4sin15°sin75°＝1 D．3【解答】解：对于A，sin26°﹣cos26°＝﹣（cos26°﹣sin26°）＝﹣cos12°，故A错误；对于B，sin6°-cos6°=2(2对于C，4sin15°sin75°＝4sin15°cos15°＝2sin30°＝1，故C正确；对于D，tan60°-tan15°1+tan60°tan15°=tan(60°-15°)=tan45°=1，故故选：BCD．（多选）10．（3分）5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐．据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”．某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图．同比第一季度，下列说法正确的是（）A．今年商品A的营收是去年的4倍 B．今年商品B的营收是去年的2倍 C．今年商品C的营收比去年减少 D．今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变【解答】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，由扇形图可得：A款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确；B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，B正确；C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误；因为商品B，D今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，商品B，D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%，所以今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，D正确．故选：ABD．（多选）11．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使点A到达点A′的位置，且二面角A′﹣BE﹣C为90°．若M、N分别为A′B、CD的中点，则（）A．BE⊥A′N B．MN∥平面A′DE C．平面A′BE⊥平面A′DE D．点C到平面A′DE的距离为30【解答】解：连接AN交BE于点O，连接A′O，取BE的中点F，连接FM、FN，对于A选项，在正方形ABCD中，因为AB＝DA，AE＝DN，∠BAE＝∠ADN＝90°，所以，Rt△ABE≌Rt△DAN，则∠ABE＝∠DAN，所以，∠DAN+∠AEB＝∠ABE+∠AEB＝90°，则∠AOE＝90°，即BE⊥AN，翻折后，则有BE⊥A′O，BE⊥ON，又因为A′O∩ON＝O，A′O、ON⊂平面A′ON，所以，BE⊥平面A′ON，因为A′N⊂平面A′ON，所以，BE⊥A′N，A对；对于B选项，因为M、F分别为A′B、BE的中点，所以，MF∥A′E，因为MF⊄平面A′DE，A′E⊂平面A′DE，所以，MF∥平面A′DE，因为DE∥BC，BC＝2DE，则四边形BCDE为梯形，又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN∥DE，因为FN⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，则FN∥平面A′DE，因为MF∩FN＝F，MF、FN⊂平面FMN，则平面FMN∥平面A′DE，因为MN⊂平面FMN，故MN∥平面A′DE，B对；对于C选项，因为AO⊥BE，且AB＝2，AE＝1，∠BAE＝90°，所以，BE=AB2则A′O=2在Rt△ADN中，cos∠DAN=AD所以，OD=O因为平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE＝BE，A′O⊥BE，A′O⊂平面A′BE，所以，A′O⊥平面BCDE，因为OD⊂平面BCDE，所以，A′O⊥OD，所以，A′D=A′O2翻折前，AB⊥AE，翻折后，A′B⊥A′E，若平面A′BE⊥平面A′DE，且平面A′BE∩平面A′DE＝A′E，A′B⊂平面A′BE，所以，A′B⊥平面A′DE，因为A′D⊂平面A′DE，则A′B⊥A′D，事实上，A′B＝2，A′D=2155，BD=22，则A′B2+A′D2即A′B、A′D不垂直，假设不成立，故平面A′BE与平面A′DE不垂直，C错；对于D选项，因为S△CDE=12CD⋅DE=12所以，VA′-CDE在△A′DE中，A′E＝DE＝1，A′D=2由余弦定理可得cos∠A′ED=A′所以，sin∠A′ED=1-co所以，S△A′ED设点C到平面A′ED的距离为d，由VC﹣A′ED＝VA′﹣CDE，即13所以，d=255故选：ABD．（多选）12．（3分）在△ABC中，D为BC的中点，点E满足BE→=2ED→．若∠A．|AB→|=2|ADC．∠ABC＝20° D．∠DAC＝70°【解答】解：在△ABC中，D为BC的中点，BE→=2ED→，∠对于A，ABAD=12AB⋅AEsin∠BAE对于B，AE→=AB对于D，过C作CF∥AD交BA的延长线于F，由D为BC的中点，得AD是△BCF的中位线，则CF＝2AD＝AB＝AF，于是∠DAC=∠ACF=∠CAF=12∠DAF=对于C，由选项D知，∠EAC＝90°，假定∠ABC＝20°，则∠AEC＝40°，AE=BE=1cos40°=cos∠AEC=AECE=12，与cos40°＞cos60°=故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为π．【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为2π2=故答案为：π．14．（3分）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离．已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为1507【解答】解：令甲的位置为点C，如图，在△ABC中，AC＝400，AB＝500，BC＝600，由余弦定理得cosA=AB2过C作CD⊥AB于D，所以所求距离的最小值为CD=ACsinA=400×3故答案为：150715．（3分）已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为5，且满足x1+x2+x3+x4＝4x5，则样本数据x1，x2，x3，x4，x5+5的方差为9．【解答】解：由题意可得，数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为x=方差s2又因为(x数据x1，x2，x3，x4，x5+5的平均数x′=所以方差s=1=1＝9．故答案为：9．16．（3分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B=π2，AB＝BB1＝BC＝1，P、Q分别为线段AC1、AA1的动点，则△B1PQ周长的最小值是4+2【解答】解：如下图所示：将面AB1C1、面AA1C1沿着AC1延展为一个平面，将面AA1B1、面AA1C1沿着AA1延展为一个平面，连接BB1′，此时，线段BB1′的长即为△B1PQ周长的最小值，则AB1=由于AB1=AC=2，B1C1＝CC1，AC1＝AC1，则△AB1C1延展后，则四边形AA1C1B1为矩形，因为AA1＝A1B1′，AA1⊥A1B1′，则△AA1B1′为等腰直角三角形，所以∠A1AB1'＝45°，延展后，则∠B1AB1'＝135°，由余弦定理可得B1B1'=A故答案为：4+22四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）记a→、b→、c→（1）求〈a（2）若a→⋅c【解答】解：（1）由已知|a→|=|所以，|a→-所以，cos〈a因为0≤〈a→，（2）由已知可得|a→|=|所以|2c18．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为3，O1是上底面A1B1C1D1的一个动点．（1）求三棱锥A﹣O1BC的体积；（2）当O1是上底面A1B1C1D1的中心时，求AO1与平面ABCD所成角的余弦值．【解答】解：（1）如图所示，根据题意得：VA-（2）如图所示，过点O1做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点，故∠O1AC为AO1与平面ABCD所成线面角，又AG=1所以AO1与平面ABCD所成角的余弦值为：cos∠O19．（8分）为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AD＝1，点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE＝α，∠DAE＝β．（1）利用图中边长关系DF＝BE+CE，证明：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（2）若BE=CE=13，求sin2α+cos2【解答】（1）证明：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝β，AD＝1，则DE＝sinβ，AE＝cosβ，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，∠DAF＝α+β，AD＝1，则DF＝sin（α+β），在Rt△ABE，Rt△ECD中，∠B＝∠C＝90°，∠CED＝∠BAE＝α，则BE＝sinαcosβ，CE＝cosαsinβ，依题意，四边形BCDF是矩形，则DF＝BC＝BE+CE，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ．（2）解：由BE=CE=13及（1）知，则tanα＝tanβ，而α，β为锐角，即有α＝β，sin2α=23，又2α＝α+β＝∠BAD是锐角，于是所以sin2α+cos2β=2+20．（8分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知10（2a+0.025+0.045+0.020）＝1，解得a＝0.005，x=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5众数为70，因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025＝0.3＜0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045＝0.75＞0.5，所以中位数在第3组，设中位数为m，则0.3+0.045（m﹣65）＝0.5，解得m≈69.4，所以中位数为69.4．（2）记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共有10种情况，其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，所以中签者中男生比女生多的概率为71021．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，BC＝CD＝2．（1）已知AB＝2，且AC＝AD，（i）当cos∠CAD=23时，求△（ii）若∠ABC=2∠ADC＞π2，求∠（2）已知AD=2AB，且∠BAD=π【解答】解：（1）（i）设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD=2x2在△ABC中，AB＝BC＝2，则底边AC上的高h=A所以△ABC的面积S△ABC（ii）设∠ADC＝θ，依题意，∠BAC=∠BCA=π则AD＝AC＝2ABcos∠BAC＝4sinθ，CD＝2ADcos∠ADC＝8sinθcosθ＝2，即sin2θ=12，而所以∠ABC=2θ=5π（2）连接BD，△ABD中，AD=2AB，由余弦定理得BD则BD＝AB，∠ABD=π2，设∠CBD=α(0＜α＜π2)，在△BCD于是AB＝BD＝2BCcos∠CBD＝4cosα，在△ABC中，∠ABC=π由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC，则A=8sin2α+8(cos2α+1)+4=82当且仅当2α+π4=所以当α=π8时，所以AC的最大值是2+2222．（10分）如图，在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2A1B1＝2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，（i）证明：BP=34（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值．【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，因为AB＝2A1B1＝2AA1，所以三棱锥S﹣ABC为正四面体，连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，连接AG，则AG⊥面SBC，所以SDSA所以DE∥AG，所以DE⊥面SBC．（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，设AB＝2A1B1＝2AA1＝2，则AH＝1，过点A作AM∥BC，交PQ于点M，设BQ＝k，则CQ＝2﹣k，AM=2-k3，所以APBP=AM所以S△PBQ＝S△ABC•k2•3k所以k2•3k所以k＝1，所以点Q与点F重合，均为BC的中点，所以BPAB=3k2+2k=（ii）连接DP，C1Q，由题知DP∥C1Q，且DP=12，C1Q＝1，BC1＝连接AB1交DP于点N，易知B1N⊥DP，且B1N=34AB1=334，DPVB1-DPQ=VB﹣DPQ＝VQ﹣BDP=316VQ﹣ABS=HC1＝HF=25所以dB-所以dQ﹣DP=1所以S△DPQ=12•12所以13•3316所以dB设平面α与平面ABB1A1所成角为θ，所以sinθ=6所以平面α与平面ABB1A1所成角的正弦值为422022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z∈C，i为虚数单位，若z•i＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，则a＝（）A．263 B．2 C．23．（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（）A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面4．（5分）在四边形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形5．（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．7．（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E为棱AD上一点，且AE＝6，平面A1BE上一动点Q满足AQ→⋅EQ→=0，设PA．34+26 B．34+22 C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）已知复数z，其共轭复数为z，下列结论正确的是（）A．z⋅z=|z|2 B．z2=（多选）10．（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差 B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差 C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数 D．郑州月平均气温的第一四分位数为10（多选）11．（5分）平面向量a→，b→，c→满足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值为32 C．|a→-c→|+|（多选）12．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB＝1，AD＝4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿直线BF进行翻折，将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（）A．直线AB与直线CD可能垂直 B．直线AF与CE所成角可能为60° C．直线AF与平面CDE可能垂直 D．平面ABF与平面CDE可能垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M＝“电路是通路”包含的样本点个数为．14．（5分）已知平面向量a→=(2，0)，b→=(1，1)，则b→15．（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为．16．（5分）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO＝3OC，AD的中点为E，BE＝3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0（a∈R）有两个根x1，x2，其中x1（1）求a的值；（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．18．（12分）在菱形ABCD中，AE→=13AD→，（1）用a→，b→表示（2）若BD→⋅EF19．（12分）如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为16π．（1）求圆柱OO1的表面积；（2）若∠ABF＝30°，求点F到平面BDE的距离．20．（12分）现行国家标准GB2762﹣2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知bcosC﹣ccosB＝2a．（1）若c＝a，求B的大小；（2）若c≤2a，过B作AB的垂线交AC于D，求BC⋅BDS22．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD＝4，点E是边AD上的动点，沿BE将△ABE翻折至△A'BE，使二面角A'﹣BE﹣C（1）当AE＝3时，求证：A'B⊥CE；（2）当线段A'C的长度最小时，求二面角C﹣A'B﹣E的正弦值．

2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知z∈C，i为虚数单位，若z•i＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．i【解答】解：z=1-i故选：B．2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，则a＝（）A．263 B．2 C．2【解答】解：因为b＝2，A＝45°，B＝60°，由正弦定理可得，asinA则a=bsinA故选：A．3．（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（）A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等 C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面【解答】解：当a，b都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A错误；当a，b与同一个平面所成角相等时，直线a，b可能相交，B错误；当a，b都垂直于同一个平面时，直线a，b一定平行，C正确；当a平行于b所在平面时，a，b也可能异面，D错误．故选：C．4．（5分）在四边形ABCD中，已知OA→+OCA．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形【解答】解：∵OA→∴OA→∴BA→∴四边形ABCD为平行四边形．故选：D．5．（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设这五个数为x1，x2，x3，x4，x5，则(x因为(x所以这五个数必有3个3，另外两个为2或4．又x1+x2+x3+x4+x5＝15，所以这五个数为3，3，3，2，4，点数2出现的次数为1．故选：B．6．（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（）A． B． C． D．【解答】解：对于A：连接MB，NC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足AB∥平面MNP，故A错误；对于B：如图所示，G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB∥EM，因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB∥平面MNP，故B错误；对于C：连接AD，交MN与点O，连接PO，因为O，P分别为AD，BD中点，所以PO∥AB，由线面平行的判定定理可知，AB∥平面MNP，故C正确；对于D：D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，取AC的中点为O，连接MO，由中位线定理可知，AB∥MO，因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB∥平面MNP，故D错误；故选：C．7．（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=2A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣P（AC．P(A∪B)=45 【解答】解：依题意，事件A，C对立，P（A）+P（C）＝1，故B正确；设盒子中有m个红球，5﹣m个黄球，P(A)=P(A∩B)=25⋅14P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=710，故故选：C．8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E为棱AD上一点，且AE＝6，平面A1BE上一动点Q满足AQ→⋅EQ→=0，设PA．34+26 B．34+22 C．【解答】解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设Q（x，y，z），长方体外接球球心记为O，则O（3，4，3），A（6，8，0），B（0，8，0），E（6，2，0），A1（6，8，6），∴EQ→EA∵EQ→∴（x﹣6）2+（y﹣2）（y﹣8）+z2＝0，①又动点Q在面A1BE上，所以可设EQ→则x-6=-6λy-2=6λ+6μz=6μ，即x=6-6λ将②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，③在三棱锥A﹣A1BE中，AE＝AB＝AA1＝6且AE，AB，AA1两两互相垂直，所以三棱锥A﹣A1BE为正三棱锥且底边BE=62当AQ⊥面A1BE时，|AQ→在正三棱锥A﹣A1BE中，由等体积法有13×1又|EQ先代入②再代入③有|EQ则6λ+μ=26，此时λ+μ当点Q与点E重合时，满足EQ→⋅AQ→=0，|AQ→则λ+μ∈[0，2点Q到外接球球心距离为|OQ→将②代入④中整理得|OQ又2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，所以|OQ因为λ+μ∈[0，23]，所以当λ+μ因为长方体外接球半径为12所以P，Q两点间距离的最大值为34+故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）已知复数z，其共轭复数为z，下列结论正确的是（）A．z⋅z=|z|2 B．z2=【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z=a-bi对于A，z⋅z=（a+bi）•（a﹣bi）＝a2+b2，|z|2=(对于B，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，|z|2=(对于C，z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a≠0，故选项对于D，|z|+|z|=2a2+b2，|z+z故选：AD．（多选）10．（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（）月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差 B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差 C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数 D．郑州月平均气温的第一四分位数为10【解答】解：对于A，昆明月平均气温的极差为21.6﹣9.3＝12.3，郑州月平均气温的极差为28.9﹣2.9＝26＞12.3，故A正确；对于B，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；对于C，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6，则昆明月平均气温的中位数为16.8+192郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，则郑州的月平均气温的中位数为15.2+16.52郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；对于D，因为12×1所以郑州月平均气温的第一四分位数为8.7+11.32=10，故故选：ACD．（多选）11．（5分）平面向量a→，b→，c→满足|a→|=1，|b→|=2A．|c→|的最小值为32 C．|a→-c→|+|【解答】解：不妨设a→由于|b→|=2，a→与则b→=(1，3设c→=(x，y)，则|(1-x，-y)|=|(1-x，3所以(1-x)2+(-y解得y=32或则c→=(x，3对于A，|c→|=对于B，当c→=(x，32)时，设a→=OA则|a当c→=(x，-32)时，设a→=OA则|a→-对于C，当c→=(x，32)则|a由于点C在直线y=32上运动，则同理当c→=(x，-32)，此时b对于D，当c→=(x，3则c→当