2014-2017高考真题-第二章-函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ考点1函数的概念1.(2015·浙江，7)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(sin2x)＝sinxB.f(sin2x)＝x2＋xC.f(x2＋1)＝|x＋1|D.f(x2＋2x)＝|x＋1|1.D[排除法，A中，当x1＝eq\f(π,2)，x2＝－eq\f(π,2)时，f(sin2x1)＝f(sin2x2)＝f(0)，而sinx1≠sinx2，∴A不对；B同上；C中，当x1＝－1，x2＝1时，f(xeq\o\al(2,1)＋1)＝f(xeq\o\al(2,2)＋1)＝f(2)，而|x1＋1|≠|x2＋1|，∴C不对，故选D.]2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋log22－x，x＜1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.9D.122.C[因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×eq\f(1,2)＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.]3.(2014·山东，3)函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)3.C[(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0＜x<eq\f(1,2)，故所求的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞).]4.(2014·江西，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)4.C[由题意可得x2－x>0，解得x>1或x<0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]5.(2014·江西，3)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f[g(1)]＝1，则a＝()A.1B.2C.3D.－15.A[因为f[g(1)]＝1，且f(x)＝5|x|，所以g(1)＝0，即a·12－1＝0，解得a＝1.]6.(2014·安徽，9)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A.5或8B.－1或5C.－1或－4D.－4或86.D[当a≥2时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋a＋1，x>－1，,x＋a－1，－\f(a,2)≤x≤－1，,－3x－a－1，x<－\f(a,2)，))如图1可知，当x＝－eq\f(a,2)时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(a,2)－1＝3，可得a＝8；当a<2时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋a＋1，x>－\f(a,2)，,－x－a＋1，－1≤x≤－\f(a,2)，,－3x－a－1，x<－1，))如图2可知，当x＝－eq\f(a,2)时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a,2)＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，答案为D.]图1图27.(2014·上海，18)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0.))若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]7.D[∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”.要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.]8.(2016·江苏，5)函数y＝eq\r(3－2x－x2)的定义域是________.8.[-3,1][要使原函数有意义，需且仅需3-2x-x2≥0.解得-3≤x≤1.故函数定义域为[-3，1].]9.(2015·浙江，10)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lgx2＋1，x＜1，))则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.9.02eq\r(2)－3[f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，当且仅当x＝eq\r(2)时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为2eq\r(2)－3.]考点2函数的基本性质1.（2017•北京,5）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（）A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数1.A显然，函数的定义域为全体实数，f（x）=3x﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x﹣（）x为增函数，故选A．

2.（2017•新课标Ⅰ,5）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A.[﹣2，2]B.[﹣1，1]C.[0，4]D.[1，3]2.D∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选D.3.（2017•山东,10）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A、（0，1]∪[2，+∞）

B、（0，1]∪[3，+∞）

C、（0，）∪[2，+∞）

D、（0，]∪[3，+∞）3.B根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，分2种情况讨论：

①当0＜m≤1时，有≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，

函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；

②当m＞1时，有＜1，

y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，

函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，

解可得m≤0或m≥3，

又由m为正数，则m≥3；

综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；

故选B．4.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)＝x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)＝－f(x)；当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，则f(6)＝()A.－2 B.－1 C.0 D.24.D[当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.]5.(2015·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a5.C[因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.]6.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是()A.y＝eq\r(x)B.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝ex－e－x6.D[由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.]7.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋exB.y＝x＋eq\f(1,x)C.y＝2x＋eq\f(1,2x)D.y＝eq\r(1＋x2)7.A[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]8.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.y＝cosxB.y＝sinxC.y＝lnxD.y＝x2＋18.A[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点.]9.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A.y＝eq\r(x＋1)B.y＝(x－1)2C.y＝2－xD.y＝log0.5(x＋1)9.A[显然y＝eq\r(x＋1)是(0，＋∞)上的增函数;y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]10.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)＝B.f(x)＝x3C.f(x)＝D.f(x)＝3x10.D[根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y).又f(x)＝3x是增函数，所以D正确.]11.(2014·山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C.sinx>sinyD.x3>y311.D[根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立.]12.(2014·湖南，3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A.－3B.－1C.1D.312.C[用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]13.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数13.B[f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选B.]14.(2014·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))14.B[当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2,－a2，a2<x≤2a2,x－3a2，x>2a2))，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))，选B.]15.（2017•江苏,11）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．15.[-1，]函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+ex+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤．16.（2017•山东,15）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．16.①④对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的增函数；对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）=为实数集上的减函数；

对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；

对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④．17.(2016·四川，14)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.17.－2[首先，f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x＋2)；而f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4eq\f(1,2)＝2，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－2，从而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.]18.(2016·北京，14)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤a，,－2x，x＞a.))(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________.18.(1)2(2)(－∞，－1)[(1)当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3－3x，x≤0，,－2x，x＞0.))若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，0]上单调递减，∴f(x)最大值为f(－1)＝2.若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0.所以f(x)最大值为2.(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图.由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值.且－2a＞2.所以a＜－1.]19.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.19.1[f(x)为偶函数，则ln(x＋eq\r(a＋x2))为奇函数，所以ln(x＋eq\r(a＋x2))＋ln(－x＋eq\r(a＋x2))＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.]20.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.20.(－1，3)[由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.]21.(2014·四川,12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[－1,1)时,f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.21.1[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.]考点3二次函数与幂函数1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a＝2eq\s\up6(\f(4,3))，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))，则()A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b1.A[a＝2eq\s\up6(\f(4,3))＝eq\r(3,16)，b＝3eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\r(3,9)，c＝25eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\r(3,25)，所以b＜a＜c.]2.(2015·四川，9)如果函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.eq\f(81,2)2.B[令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－eq\f(n－8,m－2)，当m＞2时，对称轴x0＝－eq\f(n－8,m－2)，由题意，－eq\f(n－8,m－2)≥2，∴2m＋n≤12，∵eq\r(2mn)≤eq\f(2m＋n,2)≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－eq\f(n－8,m－2)≤eq\f(1,2)，即2n＋m≤18，∵eq\r(2mn)≤eq\f(2n＋m,2)≤9，∴mn≤eq\f(81,2)，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.]3.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是()3.D[当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.]4．(2014·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，eq\f(3,a)－eq\f(4,b)＋eq\f(5,c)的最小值为________．4.－2[设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－eq\r(\f(8,5)c)≤t≤eq\r(\f(8,5)c)，当|2a＋b|取最大值时t＝eq\r(\f(8,5)c)，代入①式得b＝eq\r(\f(c,10))，再由2a＝t－b得a＝eq\f(3,2)eq\r(\f(c,10))，所以eq\f(3,a)－eq\f(4,b)＋eq\f(5,c)＝eq\f(2\r(10),\r(c))－eq\f(4\r(10),\r(c))＋eq\f(5,c)＝eq\f(5,c)－eq\f(2\r(10),\r(c))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),\r(c))－\r(2)))eq\s\up12(2)－2≥－2，当且仅当c＝eq\f(5,2)时等号成立.]考点4指数与指数函数1.（2017·天津,6）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A、a＜b＜c

B、c＜b＜a

C、b＜a＜c

D、b＜c＜a1.C奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，

∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．2.（2017•北京,8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（）

（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.10932.D由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈=1093，故选D．

3.(2014·辽宁，3)已知a＝，b＝log2eq\f(1,3)，c＝，则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a3.C[a＝2－eq\f(1,3)∈(0，1)，b＝log2eq\f(1,3)∈(－∞，0)，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23∈(1，＋∞)，所以c>a>b.]4.(2015·山东，14)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.4.－eq\f(3,2)[当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))方程组无解；当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2.))∴a＋b＝－eq\f(3,2).]5.(2014·上海，9)若f(x)＝－，则满足f(x)<0的x的取值范围是________.5.(0，1)[令y1＝xeq\s\up6(\f(2,3))，y2＝，f(x)<0即为y1<y2，函数y1＝xeq\s\up6(\f(2,3))，y2＝的图象如图所示，由图象知：当0<x<1时，y1<y2，所以满足f(x)<0的x的取值范围是(0，1).]考点5对数与对数函数1.（2017•新课标Ⅰ,11）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z1.Dx、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．

∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．故选D．2.(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数2.A[易知函数定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数,又f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,x－1)))，由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选A.]3.(2015·陕西，9)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A.q＝r＜pB.q＝r＞pC.p＝r＜qD.p＝r＞q3.C[∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\s\up6(\f(1,2))＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.选C.]4.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()4.B[因为函数y＝logax过点(3,1),所以1＝loga3,解得a＝3,所以y＝3－x不可能过点(1，3),排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]5.(2014·天津，4)函数f(x)＝(x2－4)的单调递增区间为()A.(0，＋∞)B.(-∞，0)C.(2，＋∞)D.(-∞，－2)5.D[函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logeq\s\do9(\f(1,2))t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logeq\s\do9(\f(1,2))t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增.选D.]6.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1,1).现有下列命题：①f(－x)＝－f(x)；②feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,1＋x2)))＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②6.A[f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)，又当x∈(－1，1)时，eq\f(2x,1＋x2)∈(－1，1)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,1＋x2)))＝lneq\f(1＋\f(2x,1＋x2),1－\f(2x,1＋x2))＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))eq\s\up12(2)＝2lneq\f(1＋x,1－x)＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|⇔f(x)－2x≥0，令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1－x)－2＝eq\f(2x2,1－x2)>0，所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A.]7.(2016·浙江,12)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝eq\f(5,2),ab＝ba,则a＝______，b＝______.7.42[设logba＝t，则t＞1，因为t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，解得t＝2，所以a＝b2①，因此ab＝ba⇒a2b＝ab2②，解得b＝2，a＝4.联立①②结合b＞1，解得b＝2，a＝4.]8.(2015·浙江,12)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.8.eq\f(4,3)eq\r(3)[2a＋2－a＝2log43＋2－log43＝2log2eq\r(3)＋2log2eq\f(\r(3),3)＝eq\r(3)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(4,3)eq\r(3).]9.(2015·福建，14)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.9.(1，2][由题意f(x)的图象如图，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,3＋loga2≥4，))∴1＜a≤2.]10.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________.10.－eq\f(1,4)[依题意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，当且仅当log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,\r(2))时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－eq\f(1,4).]考点6函数与方程1.（2017•新课标Ⅲ,11）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（

）A.﹣B.C.D.11.C因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），

由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；

综上所述，a=，故选C．2.(2015·山东，10)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B.[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D.[1,＋∞)2.C[当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝eq\f(2,3)时，f(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3×eq\f(2,3)－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝eq\f(2,3)满足题意，排除D选项，故答案为C.]3.(2015·天津，8)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x＞2，))函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2))3.D[记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b′，,y＝（x－2）2，))解得b′＝－eq\f(9,4)，－eq\f(9,4)－(－4)＝eq\f(7,4)，所以曲线h(x)向上平移eq\f(7,4)个单位后，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当eq\f(7,4)＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点.选D.]4.(2014·湖南，10)已知函数f(x)＝x2＋ex－eq\f(1,2)(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,\r(e))))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\r(e)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(e))，\r(e)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(e)，\f(1,\r(e))))4.B[由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－eq\f(1,2)有正解，即e－x－ln(x＋a)－eq\f(1,2)＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－eq\f(1,2)，则F′(x)＝－e－x－eq\f(1,x＋a)<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－eq\f(1,2)在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－eq\f(1,2)≥0，所以a≤，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以a<＝，选B.]5.(2016·山东，15)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.5.(3，＋∞)[如图,当x≤m时，f(x)＝|x|;当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b,使方程f(x)＝b有三个不同的根,则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.6.(2015·湖南，15)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤a，,x2，x＞a，))若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.6.(－∞，0)∪(1，＋∞)[若0≤a≤1时，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3（x≤a），,x2（x＞a）))在R上递增，若a＞1或a＜0时，由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).]7.(2015·安徽，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.7.①③④⑤[令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]8.(2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤1，,|x2－4|－2，x＞1，))则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.8.4[令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－lnx，0＜x≤1，,－x2＋lnx＋2，1＜x＜2，,x2＋lnx－6，x≥2，))当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－2x2,x)＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.]9.(2015·北京，14)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x＜1，,4x－ax－2a，x≥1.))(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.9.(1)－1(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)[(1)当a＝1时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4（x－1）（x－2），x≥1.))当x<1时，2x－1>－1.当x≥1时，且当x＝eq\f(3,2)时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－1，∴f(x)最小值为－1.(2)1°当a≤0时，2x－a>0，由4(x－a)(x－2a)＝0得x＝a或x＝2a.a∉[1，＋∞)，2a∉[1，＋∞)，∴此时f(x)无零点.2°当0<a<1时，若有2个零点，只须eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,2a≥1，))∴eq\f(1,2)≤a<1.3°当1≤a<2时，x＜1，2x＝a，x＝log2a∈[0，1)，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a∈[1，＋∞).2a∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意.4°当a≥2时，x<1，则2x－a<0，x≥1时，由f(x)＝0，得x＝a或2a，a，2a∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上eq\f(1,2)≤a＜1或a≥2.]考点7函数模型及其应用1.(2016·山东,10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y＝sinxB.y＝lnxC.y＝ex D.y＝x31.A[对函数y＝sinx求导,得y′＝cosx,当x＝0时,该点处切线l1的斜率k1＝1,当x＝π时,该点处切线l2的斜率k2＝－1,∴k1·k2＝－1,∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导,得y′＝eq\f(1,x)恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y＝ex求导,得y′＝ex恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y＝x3,得y′＝2x2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]2.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年D.2021年2.B[设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x＝log1.12eq\f(200,130)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈3.80,因资金需超过200万,则x取4,即2019年.选B.]3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油3.D[汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10km,消耗1升汽油.故D正确.]4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2)B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq)D.eq\r(p＋1q＋1)－14.D[设年平均增长率为x,原生产总值为a,则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2,解得x＝eq\r(（1＋p）（1＋q）)－1,故选D.]5.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)－f(y)|<eq\f(1,2)|x－y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)－f(y)|<k恒成立,则k的最小值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2π)D.eq\f(1,8)5.B[不妨令0≤y<x≤1,当0<x－y≤eq\f(1,2)时,|f(x)－f(y)|<eq\f(1,2)|x－y|≤eq\f(1,4)；当eq\f(1,2)<x－y≤1时,|f(x)－f(y)|＝|[f(x)－f(1)]－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<eq\f(1,2)|x－1|＋eq\f(1,2)|y－0|＝eq\f(1,2)(1－x)＋eq\f(1,2)y＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(y－x)<eq\f(1,4).综上,|f(x)－f(y)|<eq\f(1,4),所以k≥eq\f(1,4).]6.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.6.24[由题意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))∴e22k＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4),∴e11k＝eq\f(1,2),∴x＝33时,y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eb＝eq\f(1,8)×192＝24.]7.(2015·江苏,17)某山区外围有两条相互