测量学第五章-测量误差基本知识1

第五章测量误差的基本知识

§5.1概述

§5.2衡量精度的指标

§5.3算术平均值与中误差

§5.4误差传播定律及其应用

§5.5权及加权平均值测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形α+β+γ≠180°

闭合水准∑h≠0§5.1概述一、测量误差的来源

等精度观测：观测条件相同的各次观测。

不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.仪器误差2.观测误差3.外界条件的影响观测条件二、测量误差的分类在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差(systemerror)

—

误差的大小、符号相同或按一定的规律变化。

例：钢尺—尺长、温度、倾斜改正水准仪—i角经纬仪—c角、i角

注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。消除和削弱的方法:

（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。

在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。

2、偶然误差(accidenterror)3、粗差（grosserror）：因读错、记错、测错造成的错误。偶然误差的特性真误差观测值与理论值之差三、偶然误差的统计特性

③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；

④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：

①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）误差处理的原则：1、粗差(grosserror)：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差(systemerror)

：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。3、偶然误差(accidenterror)：根据误差特性合理地处理观测数据减少其影响。精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。容许误差(toleranceerror）评定精度的指标中误差(meansquareerror)

相对误差(relativeerror)

§5.2衡量精度的指标一、中误差(meansquareerror)

定义在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高

定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差(toleranceerror）

测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。

相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差(relativeerror)

一般情况

:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：

设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、m2…mn，则其最或然值（似真值）L为：（一）算术平均值L§5.3算术平均值及其中误差

设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，…，n）将上e各式相加得

或故

推导过程：由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即（算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。

因为

式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有

(二)算术平均值中误差mL由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍。

故(三)精度评定

第一公式

第二公式

（白塞尔公式）条件：观测值真值

x已知条件：观测值真值

x未知，算术平均值L已知其中

—观测值改正数，证明：（i=1，2，3，…，n）两式相加，有即解：（i=1，2，3，…，n）设则将上列等式两端各自平方，并求其和，则将代入上式，则故（P≠Q）又因

由于为偶然误差，它们的非自乘积仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测值列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：已知：mx1,mx2,---mxn

求：my=?

§5-4误差传播定律及其应用

y=?dy

y

概念

误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数§5.4误差传播定律及其应用

例如：用水准测量测定两点间的高差h=(a-b)，a为后视读数，b为前视读数，称h为观测值a和b的函数。又例如距离S分n段丈量，各段长度分别为S1、S2、…，Sn，则S=S1+S2+….Sn，称距离S是各分段长度S1，S2、…，Sn的函数这些数学式都是直接观测值之和或差，因此称为和差函数。（一）和差函数（二）倍函数

例如用尺子在比例尺为1：1000的图上量取两点间长度d，则其相应的实地长度D=1000d。则称D是观测值d的倍函数。（三）线性函数在直接观测值li之前乘某一常数系数后取其代数和，称该量是直接观测值li的线性函数。和差函数和倍函数也属于线性函数。（四）一般函数（非线性函数）例如用三角高程测量方法获得高差h，是通过测量斜距S′和竖直角a按公式：h=S′sina计算而得。S′ha凡是乘、除、乘方、开方、三角函数等非线性关系组成的函数称一般函数（非线性函数）。误差传播定律——根据观测值的中误差求观测值函数的中误差的一般规律称为误差传播定律。误差传播定律按照函数的形式表达成为一般的数学公式。式中x1，x2、….xn为具有中误差m1、m2、…mn的独立观测值，当各观测值的真误差为Δi时，函数y必然也产生真误差Δy，即：

y+Δy=f（x1+Δ1，x2+Δ2，…..xn+Δn）由于Δi很小，对函数全微分并以真误差代替微分：m22

mn2

my2

m12函数的中误差关系式：

1.列出观测值函数的表达式：

2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：

式中，是用观测值代入求得的值。求观测值函数中误差的步骤：运用误差传播定律的步骤

3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：

注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数误差传播定律观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD应用举例1误差传播定律观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD应用举例2[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D的中误差。解：1.函数式

2.全微分

3.求中误差

D'vhD算例3：用三角形闭合差求测角中误差观测值：基线长度b，角度r待求值：长度DbrAD例4

当r角较小时，和差函数算例例如，用30m的钢尺丈量一段240m的距离D,共量8尺段。设每一尺段丈量的中误差为±5mm，则丈量全长D的中误差为:由于D=d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7+d8则：

mD2=md12+md22+md32+md42+md52

+md62+md72+md82倍函数算例例如，用尺子在l:1000的地形图上量得两点间的距离d,其相应的实地距离D＝l000d，则D是d的倍函数。

Z=kx

Mz=kmx

例如，在比例尺为l:500的地形图上量得某两点间的距离d＝134.7mm，图上量距的中误差md=±0.2mm，则换算为实地两点间的距离D及其中误差mD为:

500×(±0.2mm)=±0.1m(一)水平角观测的精度

J6级经纬仪一测回方向观测的中误差m=±6″，则一测回角度观测的中误差为：四、误差传播定律应用示例则半测回角度值的中误差为：盘左、盘右角度值之差的中误差为：取两倍中误差为极限误差则为±34″。

故DJ6经纬仪一测回观测水平角，盘左、盘右角值之差的容许误差一般规定为±40″。若在平坦区，测站间距离S大致相等，设A、B间距离为L，则测站数n=L/S，故：四、误差传播定律应用示例(二)水准测量的高差中误差水准测量时，设A、B两