课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题九平面解析几何5抛物线及其性质试题理

PAGEPAGE12抛物线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点1.抛物线的定义及标准方程驾驭抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁性质2024课标Ⅱ,16,5分利用抛物线的定义求线段长度★★★2024课标Ⅰ,10,5分利用抛物线的定义求线段长度三角形相像的性质2.抛物线的几何性质2024课标Ⅲ,16,5分利用抛物线的几何性质求参数的值直线与抛物线的位置关系★★★2024课标Ⅰ,10,5分利用抛物线的几何性质求距离圆的性质3.直线与抛物线的位置关系2024课标Ⅰ,8,5分利用直线与抛物线的位置关系求值向量坐标运算★★★2024课标Ⅰ,10,5分利用直线与抛物线的位置关系求最值基本不等式分析解读从近5年的高考状况来看,抛物线的定义、标准方程及简洁几何性质等基础学问常以选择题、填空题的形式考查,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查.在复习备考中,对抛物线的切线问题以及抛物线的焦点弦问题应予以高度关注,解题时要留意数学思想方法的应用.破考点【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2024陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x22-A.-2B.2C.-4D.4答案D2.(2024河南中原联盟第五次联考,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B考点二抛物线的几何性质1.(2024青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满意|OA|=|OB|,B是抛物线的准线与x轴的交点,则FA·AB=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案C2.(2024江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.

答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2024山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-3答案D2.(2024山西太原二模,10)已知双曲线x23-y2=1的右焦点是抛物线yA.43B.313C.14D.23答案D炼技法【方法集训】方法抛物线焦点弦问题的求解方法1.(2024湖南益阳、湘潭调研,10)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.答案C2.(2024安徽六校联考,8)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则|AFA.5B.4C.3D.2答案C3.(2024湖南五市十校联考,15)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M、N两点(其中M点在第一象限),若MN=3FN,则直线l的斜率为.

答案22过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2024课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=()A.72B.3C.5答案B2.(2024课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.

答案6考点二抛物线的几何性质1.(2024课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B2.(2024课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.

答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2024课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FNA.5B.6C.7D.8答案D2.(2024课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2024浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.

答案92.(2024陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.

答案22考点二抛物线的几何性质(2024浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|-C.|BF|答案A考点三直线与抛物线的位置关系(2024北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=12所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+12(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2由y=kx+12则x1+x2=1-kk2,x1x因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=y2x2因为y1+y2x1x=k=(2k-所以y1+y2x1故A为线段BM的中点.方法总结在探讨直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再依据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,留意先探讨斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,留意先探讨斜率是不是0.C组老师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程(2013课标Ⅱ,11,5分,0.474)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C考点二抛物线的几何性质1.(2024课标Ⅱ,10,5分,0.262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.334B.938答案D2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y2A.12B.32答案B3.(2024天津,14,5分)设抛物线x=2pt2,y=2答案64.(2024湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则ba=答案1+25.(2024上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y2答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2024辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.3答案D2.(2024江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p2由点p2,0所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由y2=2px,因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±p2+2pb,从而y0=因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<43因此,p的取值范围是0,评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解实力及推理论证实力.3.(2024湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点,C(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且AC与BD同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为26,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为±6,32,所以联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为y29+(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x将④,⑤代入③,得16(k2+1)=162k即16(k2+1)=16所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±64即直线l的斜率为±64(ii)由x2=4y得y'=x2,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x令y=0,得x=x12,即Mx12,0,所以FM=x12,-1.而FA=(x1,y1-1),于是因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2025届湖南三湘名校教化联盟第一次大联考,12)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点,以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|MN|=()A.233B.3C.4答案C2.(2024浙江11月学考,18)如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过P作圆A的切线l,当rr≥1A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案D3.(2024浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案D4.(2024云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案D5.(2024广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于()A.7π12B.2π3C.3π答案B6.(2024福建六校4月联考,10)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案C7.(2024山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量PQ在x轴正方向上的投影为()A.2-55B.25-1C.1-2121D.答案A8.(2024安徽六安一中4月月考,10)若曲线y=2xx-A.22B.6C.3D.22+3答案D二、填空题(共5分)9.(2025届辽宁沈阳东北育才学校第三次模拟,14)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.

答案13三、解答题(共25分)10.(2025届四川成都外国语学校开学考试,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上异于原点的随意一点,过点A的直线l交抛物线C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l2∥l且l2和抛物线C有且只有一个公共点E,试问直线AE是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.解析(1)由题意知Fp2,0,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为p+2t由p+2t4(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0>0),D(xD,0)(xD>0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由x0>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),故直线l的斜率为k=-y02,因为直线l故可设直线l2的方程为y=-y02x+b,代入抛物线方程得y2+8y0·y-8by0=0,由题意知Δ=64y02+32by0=0,得b=-2y0当y02≠4时,kAE=yE-y0xE-x0=4y0y0思路分析(1)依