2024-2025学年新教材高中数学第六章导数及其应用单元素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE单元素养检测(二)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知函数f(x)=xlnx+x2-1,则f′(1)为 ()A.0 B.1 C.2 【解析】选D.依题意f′QUOTE=lnx+1+2x,所以f′QUOTE=0+1+2=3.2.设函数y=f(x)=xex,则 ()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的微小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的微小值点【解析】选D.令y′=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1,当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0.故x=-1时,y取得微小值.3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 ()A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0【解析】选A.因为y′=4x3,由y′=4得x=1.而x=1时y=1,故l的方程为4x-y-3=0.【补偿训练】1.函数f(x)=x2+(2-a)x+a-1是偶函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是 ()A.y=2x B.y=-2x+4C.y=-x D.y=-x+2【解析】选A.由f(x)为偶函数得a=2,即f(x)=x2+1,从而f′(1)=2,切点(1,2),所以切线为y=2x.2.曲线y=xsinx在点QUOTE处的切线与x轴,直线x=π所围成的三角形的面积为 ()A.QUOTE B.π2C.2π2 D.QUOTE(2+π)2【解析】选A.y=xsinx在QUOTE处切线为y=-x,所围成的三角形面积为QUOTE.4.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调减区间为 ()A.[-1,+∞) B.(-∞,2]C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞)【解析】选B.由导数几何意义知,在(-∞,2]上f′(x)<0,故单调递减.5.若函数f(x)=2xf′(1)+x2,则QUOTE等于 ()A.-QUOTEB.QUOTEC.-QUOTED.-QUOTE【解析】选C.因为f′(x)=2f′(1)+2x,则f′(1)=2f′(1)+2,所以f′(1)=-2,所以f′(x)=-4+2x,f′(-1)=-6,又f(-1)=-2f′(1)+1=5,所以QUOTE=-QUOTE.6.若函数f(x)=QUOTE,并且QUOTE<a<b<QUOTE,则下列各结论正确的是 ()A.f(a)<f(QUOTE)<fQUOTEB.f(QUOTE)<fQUOTE<f(b)C.f(QUOTE)<fQUOTE<f(a)D.f(b)<fQUOTE<f(QUOTE)【解析】选D.a=QUOTE<QUOTE<QUOTE<QUOTE=b,f′(x)=QUOTE′=QUOTE,令g(x)=xcosx-sinx,则g′(x)=-xsinx<0在QUOTE成立,所以g(x)为QUOTE上的减函数,所以g(x)<g(0)=0,所以f′(x)<0,所以f(x)为QUOTE上的减函数,所以f(b)<fQUOTE<f(QUOTE).7.(2024·东莞高二检测)已知可导函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f′(x)满意xf′(x)-2f(x)>1,则不等式f(x+2020)-(x+2020)2f(-1)<0为 ()A.(-∞,-2021) B.(-2021,0)C.(-2021,-2020) D.(-2020,0)【解析】选C.由题意知,当x∈(-∞,0)时,xf′(x)-2f(x)>1,可得x2f′设g(x)=QUOTE,则g′(x)=QUOTE<QUOTE<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.不等式f(x+2020)-(x+2020)2f(-1)<0,等价于QUOTE<f(-1)=g(-1),即为g(x+2020)<g(-1),所以QUOTE解得-2021<x<-2020.8.设函数f(x)的图像如图,则函数y=f′(x)的图像可能是下列选项中的 ()【解析】选D.由y=f(x)图像知有两个极值点,第一个是极大值点,其次个是微小值点,由极值意义知选D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示,以下结论错误的是()A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的最小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零【解析】选BD.依据导函数的图像可知当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,在x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点,因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,则-1不是函数y=f(x)的最小值点,因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,则y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零;所以错误的选项为BD.10.若函数f(x)=QUOTEx3+x2-QUOTE在区间(a,a+5)上存在最小值,则下列a值符合要求的是 ()A.-3 B.-2C.-1 D.0【解析】选ABC.由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,作出其大致图像如图所示,令QUOTEx3+x2-QUOTE=-QUOTE得,x=0或x=-3,则结合图像可知,QUOTE解得a∈[-3,0).所以A,B,C选项符合.11.已知函数f(x)=xlnx,若0<x1<x2,则下列结论正确的是 ()A.x2f(x1)<x1f(xB.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.QUOTE<0D.当lnx>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f【解析】选AD.g(x)=QUOTE=lnx,函数单调递增,则g(x2)>g(x1),即QUOTE>QUOTE,所以x1f(x2)>x2f(x设h(x)=f(x)+x,所以h′(x)=lnx+2不是恒大于零,B错误;f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1不是恒小于零,C错误;lnx>-1,故f′(x)=lnx+1>0,函数单调递增,故(x2-x1)(f(x2)-f(x1))=x1f(x1)+x2f(xx2f(x1)-x1f(x即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1QUOTE=lnx2>QUOTE=lnx1,所以x1f(x2)>x2f(x即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f12.已知函数f(x)=QUOTE,则下列结论正确的是 ()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在微小值C.当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根D.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=QUOTE,则t的最小值为2【解析】选ABC.A.f(x)=0⇒x2+x-1=0,解得x=QUOTE,所以A正确;f′(x)=-QUOTE=-QUOTE,当f′(x)>0时,-1<x<2,当f′(x)<0时,x<-1或x>2,(-∞,-1),(2,+∞)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间,所以f(-1)是函数的微小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确.C.当x→+∞时,y→0,依据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再依据单调性可知,当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根,所以C正确;f(x)在(-1,2)上单调递增,又f(2)=QUOTE,x∈[-1,+∞)时,f(x)max=QUOTE,所以D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2024·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为____________.

【解析】y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以,k=y′|x=0=3,所以,曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y=014.若函数f(x)=QUOTE的单调增区间为(0,+∞),则实数a的取值范围是________.

【解析】f′(x)=QUOTE′=a+QUOTE,由题意得,a+QUOTE≥0,对x∈(0,+∞)恒成立,所以a≥-QUOTE,在x∈(0,+∞)恒成立,所以a≥0.答案:a≥015.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=QUOTE(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为______.

【解析】y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=QUOTE(x>0)的导数y′=-QUOTE(x>0),曲线y=QUOTE(x>0)在点P处的切线斜率k2=-QUOTE(m>0),因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)16.函数f(x)=lnQUOTE-ax在(2,3)上单调递增,则实数a的取值范围是________.

【解析】f′(x)=QUOTEQUOTE′-a=QUOTE-a≥0在(2,3)上恒成立,即a≤QUOTEmin,所以QUOTE>QUOTE,所以a≤QUOTE.答案:a≤QUOTE四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=QUOTE,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.【解析】f′(x)=QUOTE,g′(x)=QUOTE(x>0),由已知得QUOTE解得a=QUOTE,x=e2,所以两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f′(e2)=QUOTE,所以切线的方程为y-e=QUOTE(x-e2).18.(12分)设函数f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6lnx(x>0),所以f′(x)=2a(x-5)+QUOTE(x>0).令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).因为切线与y轴相交于点(0,6),所以6-16a=8a-6,所以a=QUOTE.(2)由(1)知,f(x)=QUOTE(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=(x-5)+QUOTE=QUOTE(x>0).令f′(x)=0,得x=2或x=3.当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,f(x)在区间(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,f(x)在区间(2,3)上为减函数.故f(x)在x=2处取得极大值f(2)=QUOTE+6ln2,在x=3处取得微小值f(3)=2+6ln3.19.(12分)(2024·北京高考)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【解析】(1)f(x)定义域为R,f′(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=QUOTE+QUOTE,所以S(t)=QUOTE(t2+12)|QUOTE+QUOTE|,t≠0,易知S(t)为偶函数,当t>0时,S(t)=QUOTEt3+6t+QUOTE,S′(t)=QUOTE×QUOTE,令S′(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+∞)S′(t)-0+S(t)↘微小值↗所以S(t)有微小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=±2时,S(t)有最小值32.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)探讨f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)由于fQUOTE=ae2x+QUOTEex-x,故f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),①当a≤0时,aex-1<0,2ex+1>0.从而f′QUOTE<0恒成立.fQUOTE在R上单调递减.②当a>0时,令f′QUOTE=0,从而aex-1=0,得x=-lna.x-lnaf′QUOTE-0+fQUOTE单调递减微小值单调递增综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,当a≤0时,fQUOTE在R上单调递减,故fQUOTE在R上至多一个零点,不满意条件.当a>0时,f(x)min=fQUOTE=1-QUOTE+lna.令gQUOTE=1-QUOTE+lnaQUOTE,则g′QUOTE=QUOTE+QUOTE>0.从而gQUOTE在QUOTE上单调递增,而gQUOTE=0.故当0<a<1时,gQUOTE<0;当a=1时gQUOTE=0;当a>1时gQUOTE>0.若a>1,则f(x)min=1-QUOTE+lna=gQUOTE>0,故fQUOTE>0恒成立,从而fQUOTE无零点,不满意条件.若a=1,则f(x)min=1-QUOTE+lna=0,故fQUOTE=0仅有一个实根x=-lna=0,不满意条件.若0<a<1,则f(x)min=1-QUOTE+lna<0,留意到-lna>0.fQUOTE=QUOTE+QUOTE+1-QUOTE>0.故fQUOTE在(-1,-lna)上有一个实根,而又lnQUOTE>lnQUOTE=-lna,且fQUOTE=QUOTE-lnQUOTE=QUOTE·(3-a+a-2)-lnQUOTE=QUOTE-lnQUOTE>0.故fQUOTE在QUOTE上有一个实根.又fQUOTE在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,故f(x)在R上至多两个实根.又fQUOTE在QUOTE及QUOTE上均至少有一个实数根,故fQUOTE在R上恰有两个实根.综上,a的取值范围为QUOTE.21.(12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预料当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[9,11].(2)L′=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x),令L′=0得x=6+QUOTEa或x=12(不合题意,舍去).因为3≤a≤5,所以8≤6+QUOTEa≤QUOTE.在x=6+QUOTEa两侧L′的值由正值变负值,所以①当8≤6+QUOTEa<9,即3≤a<QUOTE时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+QUOTEa≤QUOTE,即QUOTE≤a≤5时,Lmax=L6+QUOTEa=6+QU