2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.1数列基础5.1.2数列中的递推课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE二数列中的递推(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知数列{an}的首项为a1=1,且an+1=QUOTEan+QUOTE,则此数列第4项是 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.a1=1,a2=QUOTE×1+QUOTE=1,a3=QUOTE×1+QUOTE=1,a4=QUOTE×1+QUOTE=1.2.符合递推关系式an=QUOTEan-1(n≥2)的数列是 ()A.1,2,3,4,… B.1,QUOTE,2,2QUOTE,…C.QUOTE,2,QUOTE,2,… D.0,QUOTE,2,2QUOTE,…【解析】选B.由题意知从第2项起先每一项是前一项的QUOTE倍,只有B项符合.3.数列{an}中,a1=1,对全部的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.a1a2a3=32,a1aa1a2a3a4a5=5则a3=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE.故a3+a5=QUOTE.4.已知数列{an}满意:a1=QUOTE,对于随意的n∈N*,an+1=QUOTEan(1-an),则a2019-a2020= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.a1=QUOTE,a2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,…,归纳可知,当n>1时,若n为奇数,an=QUOTE;若n为偶数,an=QUOTE,所以a2019-a2020=QUOTE-QUOTE=QUOTE.5.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N*),则当n≥2时,下列不等式成立的是 ()A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1【解析】选C.由an=QUOTE解得an=5-4n,a1=1,所以na1=n,所以nan=5n-4n2,因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0(当n≥2时).Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0(当n≥2时).所以na1>Sn>nan.【补偿训练】若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于 ()A.15B.35C.66【解析】选C.易得an=QUOTE|a1|=1,|a2|=1,|a3|=1,令an>0,则2n-5>0,所以n≥3.所以|a1|+|a2|+…+|a10|=1+1+a3+…+a10=2+(S10-S2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.6.(多选题)已知数列{an}满意:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ可以取的值为 ()A.-3 B.-2 C.1 【解析】选ABCD.an≤an+1⇒n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)⇒λ≥-(2n+1),n∈N*⇒λ≥-3.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设数列{an}满意:a1=2,an+1=1-QUOTE,记数列{an}的前n项之积为Πn,则Π2021的值为________.

【解析】由a2=QUOTE,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而Π2021=(-1)673×2×QUOTE=-1.答案:-18.数列QUOTE满意a1=1,an-an-1=QUOTE(n≥2且n∈N*),则数列QUOTE的通项公式为an=__________.

【解析】an-an-1=QUOTE=QUOTE-QUOTE,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,an=QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+1=2-QUOTE,当n=1时满意.答案:2-QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列{an}中,a1=1,an+1=QUOTEan.(1)写出数列的前5项;(2)猜想数列的一个通项公式.【解析】(1)a1=1,a2=QUOTEa1=QUOTE,a3=QUOTEa2=QUOTE×QUOTE=QUOTE,a4=QUOTEa3=QUOTE×QUOTE=QUOTE,a5=QUOTEa4=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由(1)知an=QUOTE(n∈N*).10.已知数列{an}满意:a1=m(m为正整数),an+1=QUOTE若a6=1,求m全部可能的取值.【解析】若a5为奇数,则3a5+1=1,a5=0(舍去).若a5为偶数,则QUOTE=1,a5=2.若a4为奇数,则3a4+1=2,a4=QUOTE(舍去).若a4为偶数,则QUOTE=2,a4=4.若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,则a2=2,a1=4.若a3为偶数,则QUOTE