2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第4章 计数原理测评卷

第4章计数原理

（满分150分，考试用时120分钟）

一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的）

1.计算《+谶+谶=（）

AGB.C|C.C,D.At

2.北斗七星自古是人们辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天矶、天

权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观

测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）

A10R11「11D5

A♦五B.五C.-D.-

3.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含xi°项的系数是（）

A.-8B.8C.4D.-4

4.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点

——“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一

个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作人员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的

人员分配方案种数为（）

A.18B.36C.54D.72

5.

A.3B.4C.5D.6

6.2021年4月24日是第六个“中国航天日”，今年的主题是“扬帆起航，逐梦九天”.为了制作

一期展示我国近年来航天成就的展板，某校科普小组的6名同学计划分“神舟飞天”“嫦娥奔

月”“火星探测”3个展区制作展板,每人只负责一个展区，每个展区至少有一人负责，则不同的

任务分配方案有（）

A.990种B.630种

C.540种D.480种

7.2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”.

某校5名大学生到A,B,C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人,每人只能去一个社区宣传.

若甲、乙要求去同一个社区且不去A社区，则不同的安排方案共有（）

A.20种B.24种C.30种D.36种

8.以长方体ABCD-AiBiCiDi的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个，则这2个三角

形不共面的情况种数为（）

A.l480B.1468C.1516D.1492

二、多项选择题（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列等式正确的是（）

ApmR\m+l\

-九+icn+ln-/in+l—11^n-l

C.A肝nA氏D.nC4C怙1+k喋

10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科

目，下列说法正确的是（）

A.若任意选择三门课程，则选法种数为35

B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为30

C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为30

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20

11.关于（«-1）2⑼及其二项展开式，下列说法正确的是（）

A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22021

007

B.该二项展开式中第8项为021x*

C.当x=100时除以100的余数是9

D.该二项展开式中不含有理项

12.下列说法正确的是（）

A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中各任选一类，不同的选法共有64种

B.用1,2,3三个数字可以组成9个三位奇数

C.从集合A={a,b,c,d}中任取2个元素组成集合B,则集合B中含有元素b的概率为，

D.两个男生和两个女生随机排成一列，则两个女生不相邻的概率是，

三'填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）

13.已知（证的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n=，展开式中的常数项

为.

14.现有甲、乙等5名教师要带3个兴趣小组外出学习，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队

教师至多2人，但甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有种.（用数字作

答）

15.在（X2-X-2）5的展开式中,X3的系数为.

16.A,B,C,D,E五个人站成一排,A和C分别站在B的两边（可以与B相邻，也可以与B不相邻）的

不同站法共有种.

四,解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项目,每个人都要报名参加.分

别求在下列情况下的不同报名方法的种数.

（1）甲、乙报同一项目，丙不报A项目；

⑵甲不报A项目，且B,C项目报名的人数相同.

18.(12分)设(x+l)(2%2-i)5=ao+aix+a2x2+…+aux”.

⑴求a6的值；

(2)求ao+22a2+2,a4+…+2叫10的值.

19.(12分)已知(3%-为%6+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1：3.

(1)求n的值；

(2)求展开式中各二项式系数的和以及各项系数的和；

(3)求展开式中系数绝对值最大的项.

20.(12分)2020年1月29日，宁德市援鄂医疗队首批8名医护人员抵达武汉，投入疫情防控和治

疗工作，其中3人安排到重症科室，其余5人安排到呼吸、感染、检验三个科室.

(1)从8名医护人员中选出3人到重症科室，共有多少种不同的选法？

(2)将5名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有1人,共有多少种不

同的安排方法？

(3)抗击疫情胜利后,8名医护人员站成一排合影留念,A,B两人要站在相邻位置，且不站在队伍两

端，共有多少种不同的站位方法？

21.(12分)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目,4个舞蹈节目.

(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序？

(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序?

⑶若已定好节目单,后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相

对顺序，有多少种不同的安排顺序？

22.(12分)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字

的四位数，所有这些四位数构成集合M.

⑴求集合M中不含有数字0的元素的个数；

(2)求集合M中含有数字0的元素的个数；

⑶从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率.

答案与解析

1.A因为CT+CT+i=C^i,所以C%+C>C於谶+C/+C於C3+C於C>C机故选A.

2.B玉衡和天权都没有被选中的概率为军替,所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为

Cy21

1101147、生二

1-五二五.故r选B.

3.D由条件可知瑞=以,所以n=12,(%-2)12的展开式的通项为

12r

Tr+i=C[2x-•(4),=(-丁/xi2汽令122=10,解得r=l,所以含xi°项的系数是(4•Cj2=-4,

故选D.

4.B若甲、乙到同一景点调研(无其他人)，则有髭A418种方法，若甲、乙与另一人到同一景点

调研(三人一起)，则有最Ag=18种方法，共有18+18=36种不同的人员分配方案，故选B.

4444rrr+14

5.C(X-(1-x)=x(1-x)-i(1-x),x(1-x)的展开式的通项为Tr+i=xCi(-x)=CJ(-l)x,(-^(l-x)

的展开式的通项为Tk+]=[c*X)k=-CtGDkxk-l^｛；；[=，可得｛；二;因此展开式中X3的系数

为C%第=5.故选C.

6.C分成三类:①一组1人，一组2人，一组3人，不同的分配方案有GC式M>360（种）;②一组4

人，其他两组各1人,不同的分配方案有《•警•A>90（种）;③每组都是2人，不同的分配方案

A?

有龛|直•A|=90（种），故不同的分配方案共有360+90+90=540（种）.故选C.

A3

7.B分2步进行分析:⑴安排甲和乙，有2种方法;（2）安排剩余的三人，可分为两类，①三个社区各

安排一个，有Ag种方法，②安排在其他两个社区，有玛A刍种方法.故共有2（Ag+C协办=24种不同的

安排方案.故选B.

8.B长方体ABCD-AiBiCiDi的八个顶点中任意三个均不共线,故任取三个均可构成1个三角

形，共有C卜56（个），从中任选两个,共有釐6=1540种情况.长方体有六个面，六个对角面，每个面（对

角面）的四个顶点共确定4个不同的三角形，故随机取出2个，则这2个三角形不共面的情况共有

1540-12x^=1468（种），故选B.

9.BC噜（：公1=噜•"1）!=_^•川小2m半C化故A错

n+1"十，n+1m!（n+l—m）!n-m+1m!（n-m）!n-m+1C""

误.A留-A肝器洋湍六瑞12A此故B正确皿止鬻化故C正

确&+i+k胎y，！卜］甯!…+kC卜警武+kC"n（X故D错误.故选BC.

10.ACD对于A,选法种数为0=35,故A正确.对于B,若物理和化学选一门，其余两门从剩余的

五门中选,有的釐=20种选法;若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选,有废心=5种选法.

故共有20+5=25种选法，故B错误.对于C,物理和历史同时选,有喘玛=5种选法，故不同时选的选

法种数为35-5=30,故C正确.对于D,只选物理，不选化学,则历史也不选，有第=6种选法;只选化学,

不选物理，有釐=10种选法;若物理、化学都选，则历史不选，有禺=4种选法.故共有6+10+4=20种

选法，故D正确.故选ACD.

11.BC偶数项的二项式系数之和为22。2。,故A错误;展开式中第8项为T7+1=C；021（夜）2

01472021202）20212

•（-1）=-CZ023叫故B正确;当x=100Ht,（V%-l）=（10-l）=C5021«10-C1021•10

c2o19o2Oo211o

)22o212o21-o21-1o19-o212

•10+C^21o)

o19+c2o2Oo2O

-o212o21o21101-1=20209=20200+9,除以100的余数是9,.,.当

x=100时,（4-1）2021除以100的余数是9,故C正确;（《-1）2021的展开式的通项为

2021—r7091-r

Tr+i=C5021•(«严I-QDN-D©021%^^，当；为整数，即r=l,3,5,…,2021时,Tr+i为有

理项，故D错误.故选BC.

12.CD对于A,第1位同学可以从三类不同的图书中任选一类，有3种选法洞理,其他的3位同

学也都各有3种选法，则不同的选法共有3x3x3x3=81（种），故A错误；

对于B,个位数字可以放1,3,十位数字和百位数字都可以放1,2,3,所以可以组成2x3x3=18个三

位奇数，故B错误；

对于C,从集合A中任取2个元素可得到集合B的个数为鬣，含有元素b的个数为禺,其概率

P=登日，故C正确；

对于D,两个女生和两个男生随机排成一歹U,总的排法有A%24（种），

两个女生不相邻的排法有A触上12（种）,所以两个女生不相邻的概率P=H=|>D正确.故选CD.

13.答案12;-1760

解析由二项式系数的性质可得>1=7,得n=12.（版-I）"的展开式的通项为

12—T/oxV12—4r

r^

Tr+尸C：2久==（-2）C[2x^,^12-4r=o,得r=3,故常数项为T4=-l760.

14.答案54

解析若甲教师和乙教师不带同一组，则共有禺的A>36种不同方案;若甲教师和乙教师带同一

组，则共有髭At18种不同方案.由分类加法计数原理可得共有36+18=54种不同的带队方案.

15.答案120

解析（x2-x-2）5=（x+l）5（x-2）5,（x+l）5的展开式的通项为Tr+l=cx5-r,（x-2）5的展开式的通项为

Tt+i=Cgx5-t（-2）t,；.x3的系数为髭醺（-2）5+C]C贯-2）4+C（C贯-2）3+《C贯-2）2=120.

16.答案40

解析按A和C中间人数分三种情况:（1）A和C中间站1人，必是B,则3人捆绑，与其他2人全

排列，共有A刍Ag=12（种）;（2）A和C中间站2人,一人是B,再选一人，最后一人在最左或最右，故共

有最A触数2=16（种）;（3）A和C中间站3人，共有A,Ag=12（种）.综上，不同的站法有

12+16+12=40（种）.

17.解析（1）把甲、乙看成一个整体.甲、乙在三个项目中任选一个，有最=3种选法;（2分）

丁在三个项目中任选一个，有玛=3种选法;（3分）

丙在除A项目外的项目中任选一个，有最=2种选法.（4分）

故共有3x3x2=18种报名方法.（5分）

（2）若B,C项目各有一人,有废禺=6种报名方法;（7分）

若B,C项目各有两人，有田禺=6种报名方法.（9分）

所以报名方法共有6+6=12（种）.（10分）

18.解析（1）由题意知a6是（x+l）（2x2-l）5的展开式中x6的系数.

（2%2一1）5的展开式的通项为。+1=9（2%2）51_1）三（-1）「25弋，°2（『0,1,・“,5）,（2分）

令102=5,得r=|,舍去;令102=6,得r=2.（4分）

故a6=（-1）2x23义髭=80.（6分）

（2）令x=2,得3x75=ao+2ai+22a2+-+2%11,①（8分）

令x=-2,得-75=ao-2ai+22a2-…-2“aii,②（10分）

由①;②得ao+22a2+24a4+---+2loaio=3X^-7=75.（12分）

19.解析⑴由题意得加：鬣=1：3,nGN+,解得n=7.（2分）

（2）由⑴得原式为（3『专）[

所以展开式中各二项式系数的和为27=128.（4分）

令x=l,得展开式中各项系数的和为（3X1-奈"I。分）

⑶（3%-意）7的展开式的通项为Tr+i=C%3x）7-（得）2837-，（一2）叹/号,（8分）

设第（r+1）项的系数的绝对值最大，

设…X37”,则嚣部

即修，X尸？分）

[ax37-rx2r>Cp1x38-rx2r-\

解得与WrW?,又r©N+,所以r=3.

r3x35

故展开式中系数绝对值最大的项为T4=GX37-3X（-2）3%7-T=_22680X2.（12分）

20.解析（1）由题意得共有最=56种不同的选法.（2分）

（2）5个人按3,1,1分成3组，共有a=10种分法，再分到三个科室，有A§=6种方法，此时共有10x6=60

种安排方法;（4分）

22

5个人按2,2,1分成3组,共有篝=15种分法，再分到三个科室，有Ag=6种方法，此时共有15x6=90

种安排方法.（6分）

故共有60+90=150种不同的安排方法.（7分）

（3）将A,B两人看成一个整体，且A,B不在两端，共有5A弓=10种方法,（9分）

剩下6人全排列，有A&=720种方法,（11分）

则共有10x720=7200种不同的站位方法.（12分）

21.解析⑴分两步:第一步，将4个舞蹈节目捆绑，与6个演唱节目全排列，有A>5040种方法;（2

分）

第二步，将4个舞