2020高考数学二轮复习八二项式定理与数学归纳法教学案理

专题八二项式定理与数学归纳法

［江苏卷5年考情分析］

本专题在高考中基本年年都考，并以压轴题的形式考查.主要常考的类型有：考查计数

原理与数学归纳法(2015年723、2018年723),考查组合数及其性质结合考查运算求解和推

理论证能力(2016年723),考查概率分布与数学期望及组合数的性质(2017年723),同时加

强对二项式定理的考查(2019年722),考查学生的运算求解能力，难度一般.

近几年高考对组合数的性质要求比较高，常与数列、集合、不等式、数学归纳法等知识

交汇考查.

第一讲I计数原理与二项式定理

题型(一)计数原理的应用

主要考查两个计数原理在集合或数列中的应用.

［典例感悟］

［例1］(2018•江苏高考)设〃GN*,对1,2,…，〃的一个排列？虫…加如果当Nt

时，有。＞工，则称(公，工)是排列的一个逆序，排列，也…工的所有逆序的总个数称

为其逆序数.例如：对1，2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231

的逆序数为2.记£(〃)为1,2,〃的所有排列中逆序数为衣的全部排列的个数.

⑴求「⑵,工(2)的值;

(2)求£⑵(层5)的表达式(用n表示).

［解］(D记Mabe)为排列a6c的逆序数，对1,2,3的所有排列，有

r(123)=0,r(132)=1,r(213)=1,r(231)=2,r(312)=2,r(321)=3,

所以-(0)=1,一(1)=以(2)=2.

对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中

的位置只能是最后三个位置.

因此一⑵=一(因+分(1)+6(0)=5.

(2)对一般的〃(〃24)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…〃，所以£(0)=1.

逆序数为1的排列只能是将排列12…〃中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所

以£(1)=〃一1.

为计算£+i(2),当1,2,…，〃的排列及其逆序数确定后，将〃+1添加进原排列，n

+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此右+i⑵=£(2)+4(1)+4(0)=£(2)+n.

当〃》5时，£(2)=［£(2)—(2)］+(2)一(2)］+…+［E(2)—/(2)］+£(2)

=(〃-1)+(〃-2)+…+4+/K2)=---,

n—n—2

因此，当时，£(2)--------.

［方法技巧］

(1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中

确保：①分类不重不漏；②分步要使各步具有连续性和独立性.

(2)解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公

式来计算其结果，从而解决实际问题.

［演练冲关］

(2018•苏北三市三模)已知集合〃={1,2,〃}(〃CN'，〃》2),对于集合少的两个

非空子集4B,若4c8=。,则称(月，而为集合〃的一组“互斥子集”.记集合〃的所有“互

斥子集”的组数为7,5)(视(4,而与(6,用为同一组“互斥子集”).

⑴写出f(2),A3),f(4)的值;

⑵求f(n).

解：⑴/'(2)=1,A3)=6,f(4)=25.

(2)法一：设集合力中有在个元素，k=l,2,3,…，/?-1.

则与集合4互斥的非空子集有2^-1个.

［n-1］〃-1

于是SC：(2”T—1)=5(ZC£i一£n—1,k=ic».

k=Qk=0

n—1

因为Xc『=E〃,4=0C：2〃T—c：2"—c；2°=(2+1)〃-2"—1=3'—2〃一1,

k=Q

n—1

XC*=£/7,A-=0C"-d-C"=2,,-2,

k=Q

所以An)=；［(3"-2"-1)一(2"—2)］=：(3"-2'角+1).

法二：任意一个元素只能在集合4B,而之一中，则这〃个元素在集合4,B,

C中，共有3"种，

其中4为空集的种数为2",8为空集的种数为2",

所以48均为非空子集的种数为3"—2X2"+1.

又(4,♦与(6,心为同一组“互斥子集”,

所以4)=1(3"_2,+1).

题型（二）二项式定理的应用

主要考查利用二项式定理求和或利用二项式定理论证整除问题.

［典例感悟］

,,+l

［例2］(2018,江苏六市二调)已知(l+x)2"'=a+aix+azf斗---Fa2„+i/,〃GN*.记

n

Tn=X(2A+l)/i.

k=0

(1)求④的值；

(2)化简。的表达式，并证明：对任意的〃。都能被4〃+2整除.

［解］由二项式定理，得a=C\+i(f=0,1,2,••­,2/?+1).

(1)入=/+34+5呆=点+3以+5己=30.

(2)因为S+l+QCBF

=(〃+1+〃)•(刀+1+4！!

(2〃+1)•(2〃)！

(〃+女)!(/?—A)!

=(2〃+l)C步，

所以77=E，4=0(24+1)&_

n

=ZEn,k=6(24+1)C,消

k=0

n

=Z(2攵+DCBF

A=0

n

=Z［2(〃+1+女)一(2〃+1)北婢*

k=0

n

=2E(〃+1+%)CB「一(2〃+1)E〃,A=OCB慧

A=0

n

=2(2〃+l)X琮尸一(2〃+1)E〃,“=0琮"产

k=0

=2(2〃+1)•1•(2"+(X)-(2/?+1)•1•22n+1

=(2，+l)C£

T„=(2〃+1)。=(2〃+l)(Cg+C*)

=2(2〃+l)(X-i=(4n+2)CL-i.

因为CL-eN*,所以。能被4〃+2整除.

［方法技巧］

二项式定理中的应用主要是构造一个生成相应二项式系数的函数，通过研究函数关系证

明恒等式、不等式和整除性问题.将二项式定理g+份"=60"+(；3"-%+i+(：为"-7/+~+

中的a,8进行特殊化就会得到很多有关组合数的相关和的结果，这是研究有关组合数的

和的问题的常用方法.还可以利用求函数值的思想进行赋值求解.

［演练冲关］

(2019,江苏高考)设(l+x)"=ao+aix+a2x2+…+a〃x",〃GN".已知a：=2a2al.

(1)求〃的值；

(2)设(l+/)"=a+W5,其中a,be",求a?-34的值.

解：(1)因为(1+x)"=C：+C：X+C1Y2H---FC；；x",n24,n^N,,

9n(n-1)on(/?—1)(〃一2)

所以a=Cq=Q，d：i=C=7，

2t/6

1n(77—1)(/J—2)(〃一3)

&i=C〃=

24,

因为滂=2&a,

(/?—1)(77—2)［2

所以--------g--------

°n(/?-1)n(77—1)(〃一2)(〃一3)

=2X2*24-

解得〃=5.

(2)由(1)知，刀=5.

(1+4)"=(1+小尸

=己+。3/5+筏(4)?+C寅/)3+CK/)'+d(十)5

=a+b\［3.

法一：因为a,所以a=<+3d+9C；=76,

6=C；+3《+9C：=44,

从而a2-3Z?2=762-3X442=-32.

法二：(1—"\/5)"=d+以(一+Cs(—,\/3)2+Cs(-^3)+Cs(—,\/3)'+C式一4)°

=C5-CjV3+d(V3)2-Cl(V3)：，+C5(V3)'-d(V3)5.

因为a,6GN",所以(1一小)"=a一队

因此才一3^=(a+H5)匕一八/5)=(1+m)叹(1-A/3)5=(-2)5=-32.

题型(三)

组合数的性质应用

主要考查利用组合数性质进行代数化简论证问题.

［典例感悟］

［例3］(2019•南京四校联考)已知m,〃eN*,定义M=

n(/?—1)(7?—2).........(〃一加+1)

ml.

(1)求1(2),一(5)的值;

2n

(2)证明：X［〃•2"£(公］=2〃・3〃7,AeN*.

k=\

4X3

［解］(1)/；(2)=工］=6,

/、4X3X2X1X0

尤⑸=--------------------=0.

5!

［Cn,旋〃,

(2)证明：由题意得，E(4=、)

［0,勿2〃+1.

2

当刀=1时，Z［«•2"7；a)］=2+0=2=2XlX30.

k=l

2/7

当/?>1时，因为Z[4•2*"(公]=1X2£(1)+2X2?工(2)+3X23/X3)+…+

k=\

2n*2

2〃X2ffl(2n)=1X2C1+2X2C'+3X2之+…+〃X2"C；；,

且k-Cn=k•——:八

k\(/?—A)!।

____________(〃一1)!____________

=/7>(A-l)![(/7-1)-(A-l)]!

=n•Ct；(右〃),

2n

所以Z[4•27；a)]=/7X2C3+〃X22cL+/7X23c3+・・・+〃X2”C>；=2〃(l+2)i

k=l

=2〃・3".

2n

综上所述，X[A・2%G)]=2〃・3'i,放N*.

k=\

［方法技巧］

(D对于组合数问题，需要熟记并能灵活运用以下两个组合数公式：C=c「"，c%=C+

pIXn—1•

(2)对于二项式定理问题，需掌握赋值法和二项式系数的性质，并能将二项式系数与二项

展开式系数区别开来.

[演练冲关]

(2018•南京、盐城一模)设〃wW,c23,AGN*.

(1)求值：①长：一乩3；

②优《一〃(刀-l)C*-2—(衣22).

(2)化简:Fc[+2'C：+3七+…+(A+1)%:+•,,+(/?+1)2Cn.

解：⑴①心一十二：

______n\____________(〃-1)!______

=kXkl(/7-A)!"nX(Zr-1)!(n~k)!

__________n\____________________n\____________

=(一一l)!(n-k)!—(kT)!"一外！=°-

②化一(〃T)*一武；==X%!'二)！j(〃T)X(-27！2：〃L)!一

______(刀-1)!________________n\___________________n\__________

nX(4一1)!(n-k)!=«X(D!(〃—幻！(4一2)!(〃一()！

-------------------=--------------------(--1一--1=0

(A-l)!(.n-k)!(A-2)!Cn~k)!(4一1k~\)v,

(2)法一:由(1)可知，当衣》2时，(A+l)2Ci=(A2+2A+l)Ci=/d+2ACUO[n(n-

l)Ci-2+/7C«-i]+2M3+C：=〃(/7—1)Cn-2+3/TC«-I+C^.

故l2Ca+22Ci+32C^+---+U+l)2Ci+---+U+1)2C：=(l2c"+22c],)+H〃-I)(CL+CL

++CA-2)+3〃(CLI+C3+…+CU；)+(Cn+Cn+…+C7)=(1+4/7)+〃(〃-1)2"’+3〃(2"7

—1)+(2"—1—ri)=2"一”(〃?+54+4).

法二：当〃13时，由二项式定理，

有(l+x)"=1+C：x+C需+…+C3*+…+C：x",

两边同乘以x,得(1+x)"x=x+d+C：M+…+以¥*'+…+C；x"‘，

两边对x求导,得(1+X)"+〃(1+X)'L%=I+2C：x+3C汶+…+(A+l)W+…+(〃+

DC7,

两边再同乘以x,得(l+x)"x+〃(l+x)"7=/+2&六+3(；&+…+(4+l)C"+…+

S+1)C”

两边再对x求导，得

(l+x)"+〃(l+x)"fx+〃(〃-1)(1+才)"一2丁+2/?(1+才)"一)=1+2乞%+3化笈4---\~(在+

+…+(z?+i)2c«y.

令x=l,得2"+〃・2"-l+〃(〃一l)2"7+2〃・2'1=1+20+32瑶+…+(4+1)&+…+(〃

+D2d,

即1~C：+2?以+32^+…+(4+1)0+…+("+1)立=2"2(/+5/?+4).

［课时达标训练］

A组一一大题保分练

1.(2019•南京盐城一模)已知数列｛a,,｝满足a=l,包=3,且对任意〃wN*,都有aC十

azCi+ajC？H------Fa„+iC：；=(a„+2-1)・2"'成立.

(1)求a,的值；

(2)证明：数列｛%｝是等差数列.

解：⑴在aiC^+aCl+aaC^H------Fa„+C=(a〃+2—1)•2"一,中，令n—\,则aiC?+a2Cl=a3

—1,由ai=l,a?=3,解得Qs=5.

(2)证明：若a”az,ait•••,当是等差数列，则a,,=2〃-1.

①当〃=3时，由(1)知a=5,此时结论成立.

②假设当力=A(4N3,AGN*)时，结论成立，则&=24-1.

由aCL+a2cL+&CLH----Fa£：」=(a*+i—1)2'",A'3,

对该式倒序相加，得E+a*)2i=2(a+Ll)•2一,

所以&+I—a«=ai+l=2,即a*+i—2A—1+2=2(A+1)—1,

所以当〃=4+1时，结论成立.

根据①②，可知数列｛a｝是等差数列.

2.(2019•南师附中等四校联考)设集合材=｛1,2,3,4,集合儿8是."的两个

不同子集，记I/in8表示集合4c6的元素个数.若其中1,则称(4

而是"的一组〃阶关联子集对(04,而与(8,⑷看作同一组关联子集对)，并记集合.〃的所有

n阶关联子集对的组数为a”.

(1)当勿=3时，求ara2；

(2)当卬=2019时，求｛a｝的通项公式，并求数列｛a,,｝的最大项.

解：(1)当/〃=3时，易知ai=3X4=12,a?=3.

2019n21H

⑵aLCKi'XaX[d»>9-„(2~-l)+Ch19-„•2°'""+…+C3-2?9--"+…+

Q2019-/?

r2018-n1

5019-/?•2+CK：：->2°]=Go19——.

2018-z?1

„+io3—1

rU0192(2019-/7)(32°18-f-l)

吁—=~(〃+)(》一-)>1,

an32i3

C23”----------------------

化简，得(1008-2/7)•32(,18-">1009-/7,(*)

当〃W503时，(*)式成立；

当504W.W1008时，(*)式不成立；

当009时，不成立；

所以ai<a2<a3<--<am<aso.i,

H5(M>a.505>%06>>a，2018，

所以a<a2VH3<…Va503V/018,

Q1515_]

所以数列｛4｝的最大项为酮,=C瑞—.

3.(2018•南京、盐城一模)已知〃GN*,+京—+…+HTC+…+游飞：.

⑴求"⑴,<(2),f(3)的值;

(2)试猜想的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想.

解：⑴由条件，〃/•®=(x+2ce+…+©-匕+・“+期飞；：，①

在①中令〃=1,得/1(1)=C；C；=L

在①中令〃=2,得2f(2)=C第;+2C；C=6,得/'(2)=3.

在①中令〃=3,得3R3)=C奴+2Cd+3c淳=30,得f(3)=10.

⑵猜想f(〃)=威一(或f(n)=CBJ.

欲证猜想成立，只要证等式成射=(X+2cN,+…+zcr'c;;+-+启飞：成立.

法一：(直接法)当〃=1时，等式显然成立.

当心2时，因为抬=六看万/?!

（71）!（〃一不）!

______（〃-1）!_________1

二〃X（L1）!（­）!二4一，

故zcr'o（£）cL=nc3cL.

故只需证明fiCL-1/JC°-IC"+/?CL-ICL+,,,+nC!,-!,C；T'+…+M；；二;C；：T.

即证忌I=c3隽+c3c：+…+c'-\c-'+-+crier1.

而cL=L,故即证（XT=C3C；+cLCT+…+c＞；c厂+……+H②

由等式（1+X）21=（1+X）"T（1+X）"可得，左边x"的系数为aT.

而右边（1+M"'（i+x）”=（c，i+cLx+cL/+…+C-；x"'）（c：+c：x+cis^+…+（^y）,

所以x"的系数为+c3c；r+…+c匚：•，7-'+•••+cr：c；,.

由（1+X）2I=（1+X）"T（1+X）"恒成立可得②成立.

综上，F(/?)=投1成立.

法二：(构造模型)构造一个组合模型，一个袋中装有(2/7—1)个小球，其中"个是编号为

1,2,…，〃的白球，其余(〃一1)个是编号为1,2,…，〃一1的黑球.现从袋中任意摸出〃

个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r个黑球((〃一二)个白球)的〃个小球的组合的个

数为OWrW〃-1,由分类计数原理有从袋中任意摸出〃个小球的组合的总数为

pOpnIplp?/—I।pi-Ip/;—74-l

L/?-〃十C/?—tv??i-"""iC/?—iL-/?H--FC^lci.

另一方面，从袋中(2〃一1)个小球中任意摸出〃个小球的组合的个数为(X1.

故C"C3&+—•••+c•；—+•••+c：二乙,余下同法一.

法三：(利用导数)由二项式定理，

得(1+x)"=C，+C*++…+C"x".(§)

两边求导，得〃(l+x)"T=C+2《x+…+式状7+-+^/-,.(4)

③X④，得〃(1+X)=(C°+C；x+Ctf+,•,+C"nX),(C,',+2c…+lCnX~'+…+if^nX

⑤

左边/的系数为MXT.

右边x"的系数为Cc；；+2C巡t+…++…+成麓=(X+2C初+…+rCCL+…

+nC"C"-1=C?CL+2CN,+…+rC：~'C+…+总厂'C".

由⑤恒成立，得能“T=(X+2Cd+・“+r(:广匕+…+能-以

故f(〃)=(X-i成立.

法四：(构造模型)由nf5)=C初+2cd+-+/€7'€；；+…

2

得1M=/-七：+5-Dcrcr'+…+dc：=4N+(〃-1)CN+…+C7匕，

所以2nf(n)—(z?+l)(C纪+CiC：+…+C「'C》=(A+1)(CX：+C『d+…+CiC》.

构造一个组合模型，从2〃个元素中选取5+1)个元素，则有C夕种选法，现将2〃个元

素分成两个部分〃，n,若5+1)个元素中，从第一部分中取〃个，第二部分中取1个，则有

CX；种选法，若从第一部分中取5—1)个，第二部分中取2个，则有优种选法，…，由分

类计数原理可知喏'=或：+&-底+…+CN.

故2"(〃)=(〃+1)咽'，

〃+1(2〃)!(2n-l)!„„

所以f®=

2n(n+1)!"-1)!n\(〃一1)!.Qi

4.(2018•苏锡常镇调研(二))已知函数f(x)=5+m)25(〃丘町，xGR).

(1)当〃=2时，若/^，十〃-2)=m4求实数月的值；

(2)若F(2)="+。(勿GN*,0<〃<1),求证：4(〃+。)=1.

解：(1)当〃=2时，f(x)=(>+，£)"=说/+或父/+黑¥3(m尸+(；笈(、向)3+。&(、1)'

+成雨&

所以f(2)+/"(—2)=(2+/尸+(―2+、同)5=2[6(4)2'+戊(4)崂+煤(4厂]=

2(5X16^/5+10X4X5^5+25^5)=610^/5,

所以力=610.

(2)证明:因为f(x)=(x+/)2e=C=&"+'+C〉W"季+低小/7(/)2+…+c处;

(南尸,

所以f⑵=%+2山+明如一+%122"7(m)2+...+储；(胡严1,

由题意知，f⑵=(#+2)25=三+。(卬GN*,0<a<l),

首先证明对于固定的"GN*，满足条件的勿，。是唯一的.

,

假设F⑵=(2+乖m+。|=股+。2(的，z/feGN*,0<aKl,0<a2<l,明#股，a,

W。2),

则如一/»•—o2—ai#0,而如一色GZ,a2—a1G(-1(0)U(0,1),矛盾.

所以满足条件的勿，。是唯一的.

下面我们求历及a的值：

2n+,J+

因为A2)-A-2)=(2+/)z小一(_2+乖严=(2+y/5)+(2-y/5)'"'=2［CL+l

2n+1

2+CL+1-221(，3)2+或+医1(m)，+...+嗡+4(小)力,

显然f(2)-f(-2)GN*.

又因为乖一2G(0,1),故(小一2户十/(0,1),

即A-2)=(-2+^/5)2n+'=(V5-2)2n+'e(0,1).

所以令勿=2［或+啰小+己+|22'1(小尸+成小•22-(4”+…+C骞2(/产］,

。=(-2+乘严I

则勿=F(2)-2),a=f(—2),又加+。=/'(2),

所以。(0+a)=/•(—2)•f⑵=(2+4产田•(一2+4产+|=(5-4产+'=1.

B组一一大题增分练

2〃(一1)'2〃(—1)7•/

1.(2019•南通、泰州等七市三模)设只=Zc「'&=Z~

7=0"J=\

(1)求2R—Q的值;

(2)化简nP„—Q,：.

解：(1)/^=70—7r+A—73+74=1,

CiCiCiLtCio

1,23,410

Q=-77+72-73+74=

viLiLiLio

所以2g-Q=0.

⑵设T=nP-Q,„

则7=借■-#----1-闺

5〃C2n5”

乡-视+…十倒

J2〃C-2/?V2zy

nn~\,〃一2〃一3

「0I「2「31----F72T@

V>2n5〃vy2/jvz2n

因为cL=dr\

nn-l,n—2—n

所以T=「2〃I"I「％一：?「2。一3I…+

L>2”V/2nv>2n5"

—n1—〃2一刀3一〃_2z->

z-*lI「2z-,3II

匕2〃L»2〃5“L*2〃

①+②得，27=0,即户“一以=0,

所以nP„—Q„=Q.

2.(2019•南京盐城二模)平面上有2〃(〃23,〃GN*)个点,将每一个点染上红色或蓝色.从

这2〃个点中任取3个点，记这3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.

(1)若〃=3,求7的最小值；

(2)若"24,求证：7^2Cl

解：(1)当〃=3时，共有6个点.

若染红色的点的个数为0个或6个，则7=或=20；

若染红色的点的个数为1个或5个，则7=或=10；

若染红色的点的个数为2个或4个，则7=方=4；

若染红色的点的个数为3个，则7=《+以=2.

因此7的最小值为2.

(2)证明：因为对任意的〃，ACN*,n^k,都有C3-C：=C尸＞0,所以C如＞C：.

设2〃个点中含有0W2〃)个染红色的点，

①当pG{0,1,2}时，

„33(2n—2)(2/?—3)(2〃-4),(〃一1)(〃一2)(2〃-3)

因为“24,所以2〃-3>〃，

,„n(7?-1)(〃一2),•,

于是7>4X-----------------=4cA2a.

6

②当,£{2〃—2,2/7—192〃}时,

T=C：2CL-2,

同理可得7>2Ct

③当3W/?W2/?-3时，

7=C：+d°,

设为D)=C；+C〉.，3<夕〈2〃一3,

当3W夕＜2〃一4时,

f(p+1)—f(p)=C'I+CZLp—1C>C^n-pCpC?”

显然p丰2n—p—l,

当夕>2〃一夕一1,即〃W°W2〃一4时，Ap+1)>f\p),

当pV2〃一p—1,即1时,Ap+1)<f(p)»

即f(ji)</(/?+1)<—<f(2p-3),A3)>f(4)>—>/'(/?).

因此f(p)=2Ct即7>2Ct

综上，当时，疹2c.

3.(2019,苏锡常镇一模)已知f(n)------1-7^-.g(〃)=揖+"+母----F

5L1O5什2V65Lio

其中〃GN",〃22.

(1)求f(2),A3),g⑵,g(3)的值;

(2)记方(〃)=f(〃)一g(〃)，求证：对任意的mGN",应》2,总有4⑵＞生，.

解：(1"(2)=卷=卷，f(3)=汾净靠

⑵)！_______(2幻！_________

..C以一C打2k!■k\一(4一2)!•(4+2)!

⑵证明:二C婢2=⑵+2)!

(A+1)!・(:+1)!

(A+1)*12*4(A+2)-(A+l)k(A-1)

(24+2)(24+1)(衣+2)

(A+l)(4A+2)

(2A+2)(2A+1)(A+2)

1

=k+2f

C“一C”？1

・・•力(〃)=/"(〃)一g(〃)=£n,k=2工人」=£n,k=277T.

5。+2A■十N

m—1

下面用数学归纳法证：对任意的〃eN’,勿22,总有人(23>亍.

I11371

当勿=2时，力(4)=彳+鼻+/=或>3，结论成立；

456602

3711113743724

当勿=3时，力(8)=示+5+d+w+77；>昔+示=昔+诉>1,结论成立.

607891060106060

t—1

假设当如=才1》3)时，结论成立，即人(2')>亍；

H,[+J-1H,+I>H,+,+

则当〃='+1时，h(2')=A(2)+2+32+42+2~~~2+32+4'

1.1,.1

2'+52'+62,+1+2'

••一+嘉「金(2-3)2f-22

,・(23,>0,

(2'+3)(2'+4)(2.+2)

113

**,2f+3+2%4>2/+1+2，

1111112'-2

又r+I>f+1+r+l

2'+5T2'+62+22+22+22f+1+2-2H1+2,

32-2t

2f+1+2FrT+2=2,

当m=t+1时，结论成立.

m—1

综上，对任意的mWN*,卬》2,总有夙2)＞亍.

4.(2018•常州期末)对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法

称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒

等式.如：考察恒等式(l+x)”'=(l+x)"(l+x)"("eW),左边x"的系数为CM,而右边(1+

x)"(l+x)"=(比+Cb+…+Cx")(比+C；x+…+U炉)，4的系数为(：匕：；+C：C；T+…+C或=

(c°)2+(ci)2+(cT+…+c)②，因此可得到组合恒等式％=(c°)2+(c!,)2+©)2+…+(3：

(1)根据恒等式(l+x)"+"=(l+x)”(l+x)"(w,两边X"(其中*GN,AWW,

的系数相同，直接写出一个恒等式；

(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明：

z[f],〃=0蟆2"九仁场,其中囿是指不超过郛J最大整数.

解：⑴*产CW+ClC尸+…+C域

((Y-I-1)2"/

(2)证明：考察等式2+x+f—,等式右边的常数项为：*=(X,

、X)XX

£r

因为(2+x+：)=£n,r=0C；•2"一=£n,r=0C：•*

“=0"0丫

当且仅当r=24时，产仔为常数，

等式左边的常数项为：%=0C理t七册，

所以g[1],4=0C煦f腰*=图成立.

第二讲|数学归纳法

题型(一)

用数学归纳法证明等式

主要考查利用数学归纳法证明与正整数有关的代数等式.

［典例感悟］

［例1］(2019•南师附中、天一中学四月联考)设(t+x)"=期(t)+团(。了+a(。步+…

+a,(t)x'+…+a〃(t)x",其中常数tGR,—N*,ar(t)(r=0,1,2,力是与x无关的常

数.

(1)若〃=4,a3(t)—32,求t的值；

111O^-LOX(-1,)11

(2)当〃=3勿，/zz£N时，求证：Z弧(1)=----------z----------.

r=0

［解］(1)因为〃=4,全(。=32,所以C；・t=32,因此£=8.

(2)证明：利用数学归纳法证明如下：

由题意得，⑴=嫖=%r=0,1,2,•••,m.

2：'+2X(—1)3

①当勿=1,即〃=3时，Z，劭(1)=C；+C：=2,---------------------=2,所以所证等式

r=0

成立.

②假设当初=A(A£N"),即〃=3左时,所证等式成立，即£左r=0瓯(1)=服+Cirl-----卜

"2"+2X(-1)3k

4+1

则当R=4+l,即〃=34+3时，Za^r(1)=CL+3+C3A+3+,,,+C3A+3+,•,+C3A+3+CaA+3»

r=0

63/+3」_r3r+2」_「3/42、」_/「3r+2_|_八3，-+1\「3r+3」_or»3r+2_|_「3r+l3r+3_(_八3尸1_2\

XC3A-+3—5什2十54+2—十115*+i十—C3A-+1~rZC3A-+1rC3A-4-1—+58)

+2d泮+C*)+(C*+C给=废+3点*+3C：*+戊泮,其中r=0,1,2,…，k-l.

所以所左+1,r=0即⑴=—+(%+3%+3%+服)+…+(或+3CL+3CF+CD

+…+(煜经+3C犷?+3C犷*1+C勖+C：M=3(d+或*+e*+…+C勃-(C?*+Ct+-+d：)=

2.+2义(—1)”8X2"-2X(—1)“

3X2"—Ek,r=0加⑴=3X2”-

33=

2"+3+2X(—1)3*+3

3

所以当勿=4+1,即〃=3"+3时，所证等式也成立.

n

1n9+2x(―1)

综上，当〃=3%，/£N*时'，Z劭(1)=------------------

O

r=0

［方法技巧］

(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等

式两边各有多少项，以及初始值外的值.

(2)由到n=k+l时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用〃=〃时的式子，即

充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.

[演练冲关]

(2018•苏州期末)在正整数集N*上定义函数y=f(n),满足f(n)"(〃+1)+1]=2[2—

且/'(1)=2.

9

(1)求证:y(3)-f(2)=77；

(2)是否存在实数a,b,使得/•(〃)=——-——+1对任意正整数〃恒成立，并证明你

的结论.

4-/(/?)

解：(1)证明：由/'(〃)[/、(〃+1)+1]=2[2—F(〃+l)],变形得F(〃+D

F(〃)+2.

17

由AD=2,得r(2)=-,再得A3)="

z□

所以f⑶-F⑵/一731=9*

OZ1U

(2)法一：(数学归纳法)由1(2)

741

f(3)=p可得a=飞，

猜想：对〃GN”，均有f[n)——+1.

-5

以下用数学归纳法证明.

①当〃=1时，等式显然成立；

②假设当〃=〃(4GN*)时，等式成立,

即AA)=-----二一+1.

5V2；5

3

4一f(外3+1—广(外1一f(幻十1______2

则/U+1)f(公+2=f(外-1+3=3-=3-

1一一(幻一11-/(A)

F(A)WL否则F(2)=…=f(A)=1,但/'(2)Wl.

即〃=4+1时，等式也成立.

由①②知，对任意〃WN+,

均有/(/?)=-------------+1.

5k2J5

41

综上所述，存在4=一口力=W满足题意・

55

法二：(转化法)因为〃刀)

所以问题转化为：是否存在实数a,b,使得1/.(〃；_1+4是公比为一|的等比数列.

4—f(/?)

证明如下：由⑴得改+1)=77K,

口】/।、2-2/(/?)

即f(〃+D_】=/、(〃)+2'

__1__________4(刀)+2-(〃)-1+3

所以了(〃+1)—1=-2[2(〃)-1]=一2[2(〃)-1]

13.1

2~2・2(〃)-6

设f"+；)—1+b=T")—l

16

=3

5-5-公比为一万的等比数列.

41

综上所述，存在a=y，Q洒足题意.

题型(二)用数学归纳法证明不等式

主要考查用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.

［典例感悟］

［例2］(2019•苏锡常镇二模)已知数列{