2021年沪教版数学初三讲义17 （双）A字相似解题方法（学生版）

专题17（双）A型相似解题方法专练

第I卷（选择题）

一、单选题

1.直线h〃12〃13,且h与12的距离为1,12与13的距离为3,把一块含有45。角的直角三角

形如图放置，顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上，AC与直线12交于点D,则线段BD

的长度为（）

k

2.如图，△A3。的顶点A在函数y=—（x>0）的图象上，ZAB6»=90°,过AO边的三等

x

分点M、N分别作无轴的平行线交A8于点尸、Q.若△AN。的面积为1,则上的值为（）

A.9B.12C.15D.18

3.如图.在AA8C中，DE//BC,ZB=ZACD,则图中相似三角形有（）

4.如图，已知VADE:VA5C,若4。：43=1:3丫45。的面积为9,则AAD石的面积为

A

5.如图，在HfAABC中，NACB=90。，取AC的中点。，连接30,点。关于线段3。

的对称点为点E,点F为线段CD上的一个动点，连接AE、BD、BE、DE,已知AC=2&，

BD//AE,当EF+3尸的值最小时，则——的值为

£

DF

A2占R3«「10「3

C-.—D.一

5592

6.如图，AB//C4£D、,EADE分P别FD交,于/点G、H,则下列结论中错

误的是（）

4RB

Vf

K\

“ED

DHCHGECGAFHGFHBF

----____C.-D.-

FHBHFD~GBCECGAGAB

7.如图，AABC中，AB=8,AC=6,NA=90°,点。在AABC内，且。3平分NABC,

。。平分NACB,过点。作直线PQ,分别交A3、AC于点P、Q,若AAPQ与AABC

相似，则线段PQ的长为（）

D

35一35

A.5B.——C.5或—D.6

66

第II卷（非选择题）

二、填空题

8.如图，在中，点。是AB边上的一点，且=连接CD并取8的中

点E,连接3E,若ZACD=NBED=45。,且C£>=6后，则A3的长为.

9.如图，在HsABC中，ZACB=90°,过点B作垂足为8,且50=3,

连接CD与AB相交于点M,过点“作脑VLCfi,垂足为N.若AC=2,则MN的长

为.

10.如图，光源P在水平横杆A5的上方，照射横杆A5得到它在平地上的影子为CD（点

尸、A、C在一条直线上,点、P、B、D在一条直线上），不难发现ABHCD.己知AB=1.5m,

CD=4.5m,点尸至U横杆A3的距离是1相，则点P到地面的距离等于m.

八

_\B

，_/_______t、

/\

/'、

Z、

F------------------D

11.在△ABC中，/C=90。，AC=4,BC=3,D是边AB上的一点，E是边AC上的一点

(D、E与端点不重合)，如果ACDE与△ABC相似，那么CE的长是.

12.如图，BD、CE是锐角△A3C的两条高线，则图中与相似三角形有个.

13.如图，P是AA5C内一点，过点尸分别作直线平行于AA5C各边，形成三个小三角形

面积分别为H=3,S?=12,S3=27,则5AABC=

14.已知，平行四边形ABCD中，点E是A3的中点，在直线上截取AR=2ED，连

AQ

接班乙EF交AC于G,则-

15.在平面直角坐标系中，已知4(—3,4),。(—1,0),点。是y轴正半轴上一动点，以AC

为直角边构造直角AABC,另一直角边交X轴负半轴于点3,E为线段的中点，则OE

的最小值为.

16.平行于BC的直线DE把△ABC的面积平分，且交边AB、AC分别于点D、E,则倦

的值为.

17.如图，王华晚上由路灯A下的5处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前

走2米到达E处时，测得影子砂的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高

度等于.

18.如图，在中，ZACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一点，点E在BC

上，连接CD,AE交于点尸.若NCFE=45°,BD=2AD，则CE=.

19.如图，在中，ZACB=9Q°,AC=BC=9cm,动点P从点A出发，沿A5

方向以每秒72cm的速度向终点3运动；同时，动点。从点3出发沿方向以每秒1cm的

速度向终点C运动，将△PQC沿翻折，点P的对应点为点尸'，设。点运动的时间为方

秒，若四边形QPCP为菱形，则/的值为

20.如图，在AA5c中，点、D、E分别在A3、AC上，ZADE=NC,如果AO=3,

△ADE的面积为9,四边形BDEC的面积为16,则AC的长为.

三、解答题

21.已知点尸为线段上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60。，得到线段AC；再将

线段绕点B逆时针旋转120°,得到线段80；点〃是的中点，联结BM、CM.

(1)如图1,如果点尸在线段CM上，求证：PM//BD-,

(2)如图1,如果点P在线段CM上，求证：PC=2PM；

(3)如果点尸不在线段CM上(如图12),当点尸在线段上运动时，4QW的正切值

是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值.

22.如图，48为。。的直径，C为BA延长线上一点，点。为圆上一点且NAOC=/AOF,

。尸，4。于点E,交CD于点尸.

(1)判断8与。。的位置关系；

(2)若sinC=L,BD=8,求取的长.

3

23.如图，RtXAPE,ZAEP=90°,以48为直径的。。交PE于C,且AC平分NEAP.连

接3C,PB-.PC=1：2.

(1)求证：PE是00的切线；

(2)己知。。的半径为之，求AP的长.

2

24.求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定

值.

25.如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人

行路上的路灯高度.小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点A处，小

丽站在点C处，这时小军的身高A5形成的影子为AE,小丽身高CD形成的影子为。尸.

BD

I

EACF

(1)请画图确定灯泡P的位置

(2)已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子AE

和CK分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离AC为10米，点、E，A,C,尸在同一

条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度.

26.小明想测量在太阳光下一栋楼高，他设计了一种测量方案如下：如图，小明站到点E

处时，刚好使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同；此时，

小明测得落在墙上的影子高度CD=1.2m,CE=0.8m,C4=30m(点A、E、C在同一

直线上)，已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到1m).

27.如图，AABC中，中线A。，BE交于点,EG/IBC交AD千点、G.

(1)求三三的值.

GF

(2)如果5。=4百，DF=4,请找出与VBZM相似的三角形，并挑出一个进行证明.

28.如图，正方形EFGH内接于△ABC,ADJ_BC于点D,交EH于点M,BC=10cm,AD

=20cm.求正方形EFGH的边长.

29.如图，△A笈。中，点。在AC边上，且/或＞。=90°+!//1£。.

2

（2）点E在边上，连接AE交5。于点孔且NAFD=NABC,BE=CD,求NACB

的度数.

（3）在（2）的条件下，若3C=16,户的周长等于30,求的长.

30.如图，已知矩形ABCD的边长AB=4an,BC-8cm,动点M从A出发在边A3上

以lan/s的速度向8点匀速运动，同时，动点N从。出发在边D4上以2cm/s的速度向4

点匀速运动，MN与AC相交于点。.

备用图

（1）经过多少时间，AAAW的面积等于矩形ABC。面积的（？

（2）是否存在时刻3使以A、M、N为顶点的三角形与八48相似？若存在，求r的值;

若不存在，请说明理由.

（3）当r=1时，求NQ的长.

31.大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点

文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上。处垂直于地面竖立

了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点。，大雁塔的塔尖点3正好

在同一直线上，测得EC=4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点尸，标杆的顶

端点、H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点b，点G,点E,点C与大雁塔底处

的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，CG=60米，请你根据以上数据，计算大雁

塔的高度A3.

B

32.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4,0)、B(4,

3),动点M、N分别从点0、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运

动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作M7/AB交AC于点P,连结MP.

(1)直接写出OA、AB的长度；

(2)试说明ACPN〜

3

(3)在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式,并求出S=-

2

时，运动时间/的值.

33.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点AA3C的顶点B、C的坐标分别为(0,6),

(-2,0).顶点A在x轴的正半轴上，AB=10,ZBAC=2ZCBO.

(1)求AC的长度.

(2)动点。从A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，设。的运动时间为/秒，

ABCD的面积为S,请用含£的式子表示S,并直接写出相应t的取值范围.

(3)在(2)的条件下，在射线80上取一点尸，使BF=CD,过。作。G//BC交直线

A3于点G,当NCB£>=45°时，求/值和G点坐标.

34.如图已知正方形DEFG的顶点D、E在AABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、

35.(教材呈现)下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想

如图23.4.2,在△ABC中，点0、E分别是AB与AC

的中点.根据画出的图形，可以猜想：

DE〃BC,且DE=yBC.

图23.4.2

对此，我们可以用演绎推理给出证明.

(定理证明)请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

(定理应用)如图②，在矩形A8CD中，AC为矩形ABC。的对角线，点E在边上，且

AE=2BE,点F在边CB上,CF=2BF.。为AC的中点，连结ER0E、OF.

(1)EF与AC的数量关系为.

(2)△(?跖与AA3c的面积比为.

36.陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁

种，距今已有1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录.小华是一位数学爱好者，

想利用所学的知识测量这棵银杏树的高度.阳光明媚的一天，小华站在点。处利用测倾器

测得银杏树顶端A的仰角为39。，然后着。M方向走了19米到达点厂处，此时银杏树的影

子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高斯=1.7米，测得FG=3米，测倾器的高度

CZ)=0.8米，已知AB_L8G,CD±BG,EF±BG.请你根据以上信息，计算银杏树的高

度.(参考数据：sin39°~0.6,cos39°~0.8,tan39°~0.8)

A

37.如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB,AC所在直线于点M,

ABAC

N,且=m,=n.

AM~AN

（1）若点O是线段BC中点.

①求证：m+n=2；

②求mn的最大值;

*co

(2)若——=k(k#0)求m,n之间的关系（用含k的代数式表示）.

OB

AI7AR

38.如图，在AA6C中，点E,尸分别在上，且——=——

AFAC

(1)求证：AAEF-AABC；

EGFG

（2）若点。在BC上，AD与EF交于点、G,求证：一=—

BDCD

39.如图，在△ABC中，AD、BE分另I］是BC、AC边上的高.求证：△DCEs/\ACB.

D

E.

40.如图，P为。O的直径AB上的一个动点，点C在AB上，连接PC,过点A作PC的

垂线交。。于点Q.已知AB=5cm,AC=3cm,设A,P两点间的距离为xcm,A,Q两点间

的距离为ycm.

某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.下面是该

同学的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：

x(cm)01.02.53.03.54.05.0

y(cm)4.04.75.04.84.13.7

(说明：补全表格时的相关数值保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图

象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当AQ=2AP时，AP的长度约为cm.

41.如图，把边长为=6C=4且4=45°的平行四边形ABC。对折，使点3

和。重合，求折痕"N的长.

42.雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案

如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点。处时，笑笑在地面上找到一点G,使得点G、

雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得OG=2.8m；然后雯雯向前移动

1.5相到达点P处，笑笑同样在地面上找到一点打，使得点》、雯雯的头顶E以及旗杆的顶

部A三点在同一直线上，并测得GH=1.7»7,已知图中的所有点均在同一平面内，A3L8区

CD±BH,EF1BH,雯雯的身高CZ)=EP=16w.请你根据以上测量数据，求该校旗杆的

身度AB.

43.矩形ABC。中，AB=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点尸处，折痕为DE.

(1)如图①，若点P恰好在边8C上，连接AP,求——的值；

DE

(2)如图②，若E是A8的中点，"的延长线交8C于点F,求8月的长.

44.如图，在AABC中，AB=AC,以AC为直径的O。交3c于点。，交A3于点E,

过点。作。尸，AB,垂足为尸，连接OE.

(1)求证：直线止与O。相切;

(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.

45.如图，A8是。。的直径，。为AB上