2024高考数学九省联考数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【考查目标】样本数据中位数

【解题思路】排序再找中位数

【命题考向趋势】样本数据涉及到的概念【备考复习建议】样本数据相关概念

1.B【解析】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

V-21

2.椭圆。+V=i（a>i）的离心率为彳，则4=（）

a2

A.空B.y[2C.6D.2

3

【考查目标】椭圆性质、离心率

【解题思路】a、b、c关系及离心率公式

【命题考向趋势】椭圆的基本性质

【备考复习建议】灵活掌握椭圆基本性质

2.A【解析】由题意得6=也三=_1,解得.=毡，

a23

【知识链接】椭圆离心率专题

求离心率常用公式公式1：e=£

a

公式2：e=J1一与

22

公式3:已知椭圆方程为两焦点分别为”，设焦点三角形”

sin(a+/?)

“3=外小述=尸,则椭圆的离心率

sin(7+sinp

证明：N/耳马=a,N/鸟耳=/7,

\PF\_\PF\

由正弦定理得:sin（i80;;a-尸）2t

sinasin[3

|至|_\PFt\+\PF2\2c2a

由等比定理得:—LAJ

sin(a+p)sina+sin/?'sin(a+〃)sina+sinp

c_sin(a+J3)

asina+sin(3

公式4:以椭圆工+匚=1（。＞。＞0）两焦点耳,心及椭圆上任一点尸（除长轴两端点外）为

ah

cos~

顶点=a,NP6耳="则2

ea-f3

cos

2

证明：由正弦定理有驾=9=弟=『;

smpsinasine/sin（a+p）

c.a+£a+/3a+B

ILLI•/.2sin------cos.......-cos------

I"居|=sin(a+4)22.£2

夕汕。+二夕。a-B

\PFi\+\PF,\sina+sin25/.05«cos-----

222

TT

公式5:点尸是椭圆的焦点，过F的弦AB与椭圆焦点所在轴的夹角为e,6e0,耳,攵为直线

AB的斜率，且人尸=；1所（/1〉0）,则6=，+/丁7当曲线焦点在，轴上时，e

4+1

»2一A/71BF曰AFBF

汪:'=而或者4=至而不足花或瓦

3.记等差数列｛%｝的前〃项和为5“,%+%=6,《2=17,则九=（）

A.120B.140C.160D.180

【考查目标】等差数列通项公式及前n项和公式

【解题思路】公式应用

【命题考向趋势】等差数列通项公式及前n项和公式综合运用

【备考复习建议】对等差数列通项公式及前n项和公式的理解

3.C【解析】因为%+。7=2%=6,所以为=3,所以％+42=3+17=20,

所以九=("学)、16=8(%+/)=160

【知识链接】

1.等差数列的前"项和公式

公式一

证明：(倒序相加法)S”=4+4+4++«„-1+«„①,S”=。,+a,i+%-2++%+/②，由①+

②得2s“=(4+4,)+(%+”“7)+(%+。,,一2)++(4+4),因为4+4=%+勾1=4+4-2==。"+4,

所以25,,="3+q)，由此得

n(n-1)d

公式二：S,=〃4+

2

c.〃(4+4)n(n-1)d

证明：将a,=6+5T)d代入

”-2可得sn叫

2.前"项和与函数关系

由5“令A==则；

2

Sn=An+Bn(A,B为常数).

(1)当2=0即A=0时,s“=8〃=〃《,s"是关于"的一4"一次函数;它的图像是在直线y=qx

上的一群孤立的点.

(2)当"力0即时,*是关于"的一个常数项为零的二次函数;它的图像是在抛物线

y=Ax?+以上的一群孤立的点.

①当d>0时,S“有最小值；

②当"<0时,S”有最大值.

4.设a,£是两个平面，加,/是两条直线，则下列命题为真命题的是()

A.若aJ_P，加〃刀,/〃夕,则m_!_/B.若mua,lu0、m〃/,则a〃4

C.若aiB=m,l〃a、l〃B,贝ijm〃/D.若m【a,l10,m〃I,则。_1/

【考查目标】空间线面的位置关系

【解题思路】空间线面位置关系简图或利用周边环境想象思考【命题考向趋势】空间线

面的位置关系

【备考复习建议】理解空间线面位置关系

4.C【解析】对于A,〃，,/可能平行，相交或异面，故A错误，

对于B,。,夕可能相交或平行，故B错误，

对于D,以〃可能相交或平行，故D错误，

由线面平行性质得C正确，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有

()

A.20种B.16种C.12种D.8种

【考查目标】排列组合

【解题思路】先排乙丙，再排甲

【命题考向趋势】排列组合应用【备考复习建议】排列组合灵活应用

5.B【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，

①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有A；种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有A；xA；xA；=8种方法；

②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，

排乙丙有A；种方法，排甲有A；种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，

所以有A；xA；xA；=8种方法；

由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，

【知识链接】

一、分类与计数原理

1、分类加法计数原理的概念

完成一件事可以有九类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中加1种不同方法，在第

二类方案中小2种不同方法…在第九类方案中6rl种不同方法，那么完成这个件事共有

N=mi+ni2+…+吗1种方法.

2、分步乘法计数原理的概念

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有加1种方法，做第二步有加2种方法

做3、两个计数原理的联系与区别

原理分类加法计数原理分步乘法计数原理

联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言

区别一每类方法都能独立完成这件每一步得到的只是中间结果，

事，它是独立的、一次的，且每任何一步都不能独立完成这件事，

种方法，那么瀚解酬崛藉蟒版博需切秋•-M有榔螭聚都完成了才能完成这

方法就可完成这件事.件事.

区别二各类方法之间是互斥的、并各步之间是相互依存，并且既

列的、独立的.不能重复也不能遗漏.

二、排列与排列数

1.排列与排列数：一般地，从几个不同元素中取出2个元素，按一定顺序排成一

列，叫作从几个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从n个不同

元素中取出小个元素的排列数，用符号A7表示.

2.排列数公式：An=n(n—l)(n—2)(n—3)­­•(n—m+1)=丁(小me/V*且m<

九).九个不同元素全部取出的一个排列，叫作九个的一个全排列.这个公式中m=九，即有

An=nl=n(n—l)(n—2)(n—3)•••2x1.规定:0!=l.

三、组合与组合数

1.组合与组合数：一般地，从葭个不同元素中取出7n(7HW71)个元素合成一组，叫作从71个

不同元素中取出m个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从71个不同元素中取出m个

元素的组合数，用符号C针表示.

2.组合数公式：C/嗡-丛0且二/口二空吧】一辞菽（小加旷且加以）入个不同

元素全部取出的一个排列，叫作几个的一个全排列.这个公式中771=n，规定：C°=l.

3.组合数性质：

（1）C^=CJ}-m（九、meN*且加工九）；

（2）C,Z=C："+C：T（小meN*且7HW71）；

【变式】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，

不同排列表示不同信息，若所有数字只有0和1则与信息0110至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为（）

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】当与信息0110对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1个；当

与信息0110对应位置上的数字只有1个相同时，这样的信息个数只有4个；当与信息0110

对应位置上的数字只有2个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有

C：种方法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1种可能，故此时共有个不同的

信息.根据分类原理知共有：1+4+*=11个不同信息.故选B.

6.已知0为直线/：x+2y+l=。上的动点，点尸满足QP=（l,-3）,记P的轨迹为E,则

（）

A.E是一个半径为6的圆B.E是一条与/相交的直线

C.E上的点到/的距离均为石D.E是两条平行直线

【考查目标】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式

【解题思路】先确定动点Q的坐标，再设点P,利用向量坐标运算建立等量关系，求出P

的轨迹E再用平行线间的距离公式求解即可

【命题考向趋势】平面向量的坐标运算、平行线间的距离公式【备考复习建议】平面向

量的坐标运算、点到直线距离公式

6.C【解析】设P（x,y）,由QP=（l,—3）,则。（x—l,y+3）,

由。在直线/：x+2y+l=0上，故l+2（y+3）+l=O,

化简得x+2y+6=0,即尸轨迹为E为直线且与直线/平行,

E上的点到/的距离d=J，二"石,故人、B、D错误，C正确.

A/1L2+22

【点评】将轨迹方程、平面向量的坐标运算、直线与直线的位置关系、两条平行直线间的

距离公式等知识综合起来，考查直线与直线的位置关系、两条平行直线间的距离公式等基础

知识、基本方法的理解和掌握。该题立足基础知识，计算量小，强调知识之间的综合和应

用，很好检测了考生的知识体系和认知结构，有良好导向性，发挥了服务选才功能。

7.已知夕《辛,万),tan2e=Ttan(6+?(

则熹黑T)

_1_33

A.B.C.1D.

442

【考查目标】三角函数诱导公式

【解题思路】三角函数诱导公式化简，注意定义域【命题考向趋势】三角函数诱导公式

化简

【备考复习建议】三角函数诱导公式灵活运用

7.A【解析】由题ee(3T兀，7rj，tan2e=_4tan|e+：J,

4

2tan6-4(tan6+l)

得=>-4(tan^+l)'=2tan0，

l-tan2^1一tan6

Jjli](2tan^+l)(tan^+2)=0=>tan^=-2^tan^=-^,

因为夕ee,7t),tan6e(-l,0),所以tan6=-；,

l+sin26_sin20+cos20+2sin^cos^_tan2^+l+2tan0[+1一]]

2cos2e+sin262cos2^+2sin^cos62+2tan6-2+7-1)~4

【点评】以简单三角恒等变换公式和同角三角函数关系为载体，该题题干简洁，注重基

础，难度适中，考查考生对基础知识的理解、掌握及灵活应用。

【知识链接】

1.两角和与差的余弦

cos(tz+/?)=cosacos/?一sinasin(3变形cosacos一sinasinp-cos(a+/?)

cos(a-/?)=cosacos尸+sinasin(3变形cosacos尸+sinasin/?=cos(cr-4)

2.两角和与差的正弦

sin(cr+/7)=sinacos[3+cosasinp变形sinacosp+cosasinp=sin(a+4)

sin(cr-/7)=sinacos°-cosasin°变形sinacosp-cosasin/?=sin(cr-p)

3.两角和与差的正切

/小tana+tan>0/八、tana-tan£一2

tan(a+/?)=—~~；tan(a-^)=—~~变形：

1-tanatanp1+tantanp

tana+tan/?=tan(a+/?)(!-tanatan/?)；tana+tan尸+tanatan尸tan(a+夕)=tan(a+P)；

八tana+tanB

tanatanp=f1-----------------

tan(a+0)'

兀

cos—+a=2cos(乃—a),则tan----a

【变式】已知(2)

A.-4B.4cjD5

［答案］C

【解析】因为8$仁+q=2«»（乃-£）,所以-sina=-2cosa=>tana=2,所以

1-tan

tanP-a=-；,故选c.

141+tan

22

8.设双曲线C:=-马=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为后，K，过坐标原点的直线与

a-b-

C交于A3两点，恒却=2内=则C的离心率为（）

A.V2B.2C.75D.V7

【考查目标】双曲线离心率与向量的结合

【解题思路】双曲线与向量的结合

【命题考向趋势】双曲线与平面向量有机结合

【备考复习建议】双曲线与平面向量有机结合

8.D【解析】由双曲线的对称性可知|耳4|=|玛目,

\FtB\=\F2A\,有四边形A6BK为平行四边形，

令阳刈=|鸟叫=",则国身=|与4|=2加,

由双曲线定义可知|《山-|耳川=2。，故有2/〃-〃?=2a,

即加=2a,即忻川=后却=加=2。，W@=怩川=4°,

cos2

F2A-F2B=|^2^|■I=2ax4acosZAF2B=4a,则cosNAK8=g,即

97r

ZAF2B=^,故/鸟8耳=方，则有

22

cos4BF-恒周1（4a『+（2疗-（2c）［1

Z-r^Dr._一IM+；IM;~;——,

1

22\F,B\-\F2B\2x4ax2a2

20«2-4C2120

,H叩n-,则e?=7,由e>l,故e=V7.

16a2216162

【点评】以双曲线为载体，考查双曲线、向量的基本概念和性质。该题深入考查逻辑思维

能力、运算求解能力和数形结合思想，强调对知识的综合理解和灵活应用的能力。试题符合

高中数学课程标准的基本要求，很好引导中学教学。需要从双曲线的定义出发进行分析，对

直观想象与数学运算能力有一定要求。

【知识链接】双曲线的离心率专题

求离心率常用公式公式1：e=-

a

公式2：e=J1+]

22

公式3：己知双曲线方程为十A叱叱。）两焦点分别为耳储,设焦点三角形

PF,F2/PF\F2=a/PFE=4,则*+尸,

|sma-sinp\

证明：NP£K=a,N尸乙片=耳,

由正弦定理得:

2asin(a+4)

由等比定理得：即---------------=-------------------，•.e

sin(a+尸)sina-sin(3a|sina-sin

22

公式4:以双曲线0-斗=1(。＞0力＞())的两个焦点耳、鸟及双曲线上任意一点P(除实轴

ab

・/3+a

sin-------

上两个端点外)为顶点的耳鸟=a,NPB6="则离心率e=一六一。#夕)

.p-Ct

sin匚------

2

证明：由正弦定理，有吟=四=嗜=收

sinpsinasin，sm(a+p)

sin尸一sinasin(a+/?)

a_

a+/3

即B+a.(3-a.£+aXo<a+/3<7i,cos。0,e

cos--sin—sin—•cos-------2

2222

.4+a

sin-------

£=___2_

a-p-a

sin-------

2

TT

公式5:点F是双曲线焦点，过?弦$人8$与双曲线焦点所在轴夹角为为直线

AB斜率，4尸=/必(；1＞()),则e=

4—1

当曲线焦点在，.轴上时，e=

I+i

件AF—型.BF右才曰AF„BF

汪：/=——或者4=——而不是——或一

BFAFABAB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

3兀

9.已知函数〃x)=sin2x++cosr+v，贝I()

A.函数为偶函数B.曲线y=."x)的对称轴为x

C./(x)在区间单调递增D.“X)的最小值为-2

【考查目标】三角函数化简、三角函数图像性质

【解题思路】三角函数化简再结合图象分析【命题考向趋势】三角函数的图象性质

【备考复习建议】三角函数图象性质灵活运用

9.AC【解析】〃x)=sin(2x+菅+cos(2x+爸

._3兀.3兀__3兀.-.3兀

=sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos-----sin2xsin—

4444

5/25/2y/25/2.1­.

=-----sin2尤H-----cos2x-------cos2x------sin2x=-\/2sin2x,

2222

即/(x)=-V2sin2x,

对于A,71-v-^J=-V2sin^2x—|J=>/2cos2x,易知为偶函数,所以A正确；

对于B,f(x)=-V5sin2x对称轴为2%=二+A兀,Z='+包，AeZ,故B错误；

''242

对于C,无出马,2xe停,兀),y=sin2x单调递减，则

/(x)=—V5sin2x单调递增，故C正确；

对于D,/(x)=-V2sin2x,贝)加2%€卜1』，所以/(力工一出,夜］,故D错误；

故选：AC

10.已知复数z,w均不为0,则()

Z22_______Z_Z

A.z"=|z|2B.==--yC.z—w=z—wD.

ZIZ|W卬

10.BCD

【考查目标】复数的运算、共辄复数、复数的模

【解题思路】灵活运用复数的运算、共辄复数、复数的模解决问题【命题考向趋势】较复

杂的复数的有关运算

【备考复习建议】灵活掌握复数的四则运算、复数的模、共辄复数

【解析】设2=。+例(a,beR)、w=c+d\(C,4/GR)；

对A：设2=。+切力eR),贝Uz?=(a+bi)-="+2a/?i/-b?+2a0i,

|2『=(，3+/)=/+〃，故A错误；

2_2

对B：N=J又Jz=W，即有？=鼻，故B正确；

zz・zZ|z「

对C：z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-dy,则z-w=a-c-(<b-d)i,

z=a—bi，w=c—di>则z—w=a一历一c+M=a—c——

即有z—w=z—w，故C正确;

za+〃i(a+历)(c-di)ac+bd-^ad—he)i

对D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+J2

1^ac+bdY_(ad-bc^_la2c2-\-2ahcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2

FIR

_\a2c2+b2d2+a2d2+b2c2_yla2c2+b2d2+a2d2+b2c2

―《(c2+J2)2-c2+d2，

|z|=/+非==#2+^C,2+屋)

Hyjc2+d2c2+d2c2+d2

»*十年哽2些,故文口，故D正确.

【点评】以复数为载体，考查复数、共枕复数和复数的模的概念及复数的代数运算，强

调对高中数学基本概念、基本运算的掌握，体现了课程标准对复数学习的要求，较好引导复

数教学，考查学生逻辑思维能力和运算求解能力。

【知识链接】

1.复数的定义

形如a+砥〃,h€/?)的数叫复数，其中a叫复数的实部，6叫复数的虚部，，为虚数单位且规定i2=-l.

要点诠释：(1)因为实数。可写成“+Oxi,所以实数一定是复数;

(2)复数构成的集合叫复数集，记为C

2.虚数单位i的周期性

计算得i0=l,i'=i,i2=-l,i3=-i,继续计算可知i具有周期性，且最小正周期为4，故

有如下性质：

⑴i"'=1『向=川田==-(〃wN*);

4+24n+3

(2)产+i^'+i«+i=0(net.*).

3.复数核心运算

m+nOT

1.运算律：(l)z"\z"=z;(2)(z)"=z'"";(3)(z「z2)'"=z；"-zf(见neN).

2.模的性质：(1)|斗2|=|4冈；(2)五=3乂3)—=|2|";(4”与=⑶2.

z?Iz?I

3.重要结论：

22222

(1)h-z2|+|z+z/=2(|zJ+|z2|);z-z=|2|=|2|

(2)(1±i)2=±2;;--L=-i;"Li;

1+/1-Z

(3)6y=1=(。—1)(疗+0+])=o。i或&二一;±

11.已知函数的定义域为R,且噌卜0,若〃x+y)+/(x)/(y)=4取，则

()

A.小；卜0B.佃=-2

C.函数/卜-1是偶函数D.函数/是减函数

【考查目标】抽象函数性质

【解题思路】特殊值带入寻找解题路径【命题考向趋势】抽象函数变化

【备考复习建议】理清抽象函数的特点属性

11.ABD【解析】令x=（y=o,则有/(；)+/[)x/(o)=/(£)[i+/(o)]=o,

又故1+/(0)=0,即/(O)=T,

£1

令尤y

22

一1,由/（0）=-1,可得了"1/

=0,

有1--j=-2（x+1）=-2x-2,KP/+—j=-2x-2,

即函数/（x+g）是减函数，

令x=l,有/（；）=一2*1=-2,

故B正确、C错误、D正确.

【点评】解答过程应该是由题目条件得到/（0尸1，再进一步得到/（-1/2尸0,由此导出

/（x-1/2）的表达式，最后得到./（X）的表达式。有关抽象函数的试题很多都是在奇偶性、周期性

的基础上设计，类似题目多了难以避开程式化的误区。第11题设计新颖，叙述简洁，选项设

置符合题目内在逻辑，且形式优美对称，是试题规范性的极好示例。

【知识链接】

1.周期概念理解

1.定义:设/(X)的定义城为力，若对VxeD,存在一个非零常数T,有/(x+7)=f(x)，则称函数

/3)是一个周期函数，称T为，x)的一个周期.

2.若Ax)是一个周期函数，则/(x+T)=/(幻,那么/(x+2T)=八x+T)=/(x),即2T也是/(》)的

一个周期，进而可得kT(keZ,kK0)也是f(x)的一个周期.

3.最小正周期:若T为了⑴的一个周期，kT(keZ«工0)也是f(x)的一个周期,则在某些周期

函数中，往往存在周期中最小的正数，称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正

周期,比如常值函数f(x)=C就没有最小正周期.

2.常见周期性结论

序号函数式满足关系(xeK)周期

(1)/(x+n=/(x)T

(2)f(x+T)=-f(X)2T

函

f(x+T)=、;f(x+T)=2T

(3)/(x)/(x)

数

(4)f(x+T)=f(x-T)2T

周

f(x+a)=f(x+b)^,f(x-a)=f(x-b)\a-h\

期(5)

性(6)/(x+n=-/(x-T)AT

的，f(a+x)=f(a-x)

2a

(7)f(x)为偶函数

些f(a+x)=f(a-x)

2pz-/?|

(8)f(b+x)=f(b-x)

结

论f(a+x)=-f(a-x)

2a

(9)/(x)为奇函数

f(a+x)=-/(a-x)

21a-闿

(10)f(b+x)=-f[b-x)

f(a+x)=f(a-x)

4a

(11)J(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4。

(12)J(x)为偶函数

f(a+x)=f(a-x)

4,-闿

(13)f(b+x)=-f{b-x)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={—2,(),2,4},6=卜氏一3区时，若AcB=A,则〃?的最小值为

【考查目标】集合交集运算、不等式

【解题思路】集合交集运算、不等式【命题考向趋势】集合相关运算

【备考复习建议】灵活掌握集合相关运算

12.5【解析】由A8=A,故4勺3,由卜一3|4加，得一根+3Kx<m+3,

4<m+3m>1

故有<即《即m>5,即加的最小值为5.

—2>-m+3m>5

【点评】将集合、不等式、最值等知识有机结合起来，不仅考查了考生对集合的表示方

法、集合的交集运算性质、集合间的关系、绝对值不等式等基础知识的掌握情况，而且考查

了数学中重要的分类和数形结合思想。该题题面简洁，内涵丰富，强调数学知识之间的联系

与融合。

【知识链接】

1.集合技巧全攻略

交集AAnBcBAryA=AAc0=0Ar>B=Br\A

并集AuB^AAuA=AAu0=AA<JB=B<JA

补集

G/(G/A)=4CyU=0Cu0=U(QA)cA=0(CUA)<JA=U

2.集合的互异性

对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合，必须首先

考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等，例如集合4=匕4,则有

3.集合相等

对于两个集合A与B,如果A=8,且B=那么集合A与8相等，记作A=8.

4.集合子集个数

真子集有（2"-1）个,非空真子集有（2"-2）个.

5.子集与交集

若AqB,则4八8=/1；若4门8=4,则A^B.

6.子集与并集

若A=B,则=若=则

7.子集与空集

题目中若有条件BgA,则应分8=0和3H0两种情况进行讨论.

8.并集与空集

由于Au0=A,因止匕=3中的4可以为0.

9.反演律（德摩根定律）

G（AC5）=（GA）D（C4）（交的补等于补的并）

G（AD8）=（C/A）C（C/）（并的补等于补的交）

10.容斥原理

用card(A)表示集合A中的元素个数(有资料中用|A|或其他符号)，则通过维恩图可理解

其具备的二维运算性质card(AuB)=card(A)+card(B)-card(AnB).

13.已知轴截面为正三角形的圆锥W的高与球。的直径相等，则圆锥脑1，的体积与球

。的体积的比值是，圆锥MM'的衣而积与球。的表面积的比值是.

【考查目标】圆锥轴截面概念、圆锥表面积、体积公式、球体表面积、体积公式

【解题思路】根据题设条件建立等量关系

【命题考向趋势】圆锥轴截面概念、表面积、体积公式，球体体积、表面积公式

【备考复习建议】球体、锥体表面积、体积公式运用

13.答案：®.-②.1

【解析】设圆锥的底面半径为，，球的半径为A,

因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高〃=6r,母线/=2r,

由题可知：h=2R,所以球的半径/?=走「

2

所以圆锥的体积为V,=,x(兀=弓•兀，,

44Y

球的体积匕=耳兀R=］兀x—r=—Tir3,

所以*2

3

圆锥的表面积S1=izrl+nr2=3nr2,

73

球的表面积S2=47tR2=4nx3nr2，

(2J

所以『市=1'

【点评】以圆锥和球为载体，考查简单几何体的体积和表面积公式等基础知识。该题背

景熟悉，计算量不大，要求考生能在已有知识的基础上进行推理、运算，融合考查了空间想

象、逻辑思维、运算求解等数学关键能力。

【知识链接】

1.多面体的表面积和体积公式

名称侧面积s侧全面积5全体积V

棱棱柱直截面周长X/S底x力或S直截面x1

S侧+2s底

柱直棱柱chS底微

1c,

棱锥各侧面面积之和3s底/

棱

s侧+§底

锥1

正棱锥—chs侧

2

棱台各侧面面积之和

棱I〃（S上底+S下底+Js上底.S下底）

111s侧+S上底+S下底

台正棱台—(c+c)/l

要点诠释：表中S表示面积，c’,c分别表示上、下底面周长，〃表示高，/?’表示斜高，/表示

侧棱长

2.旋转体的表面积和体积公式

名称侧面积5侧全面积s全体积V

圆柱2兀ri2"(/+r)兀，h（即冗，1）

2

圆锥兀rl7tr(l+r)-7rrh

3

圆台乃（彳+吃）/%(彳+i2)l+7r(r^+4)g万〃(d+今攵+4)

L3

球4兀R2

3

要点诠释

表中"分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，4,乃分别表示圆台的上下底面半径,

R表示球的半径.

3.公式法

(1)柱体的体积公式：

(2)锥体的体积公式：V^=^Sh

(3)台体的体积公式：％=g(S+S+炳)6

(4)球的体积：

5.正四面体与球的组合

正四面体的棱长为。，它的高为ga,体积为第/,外接球半径为中-内接半

径为尊a.

12

6.表面积和体积最值问题

1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.

2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小

值.

3.组合体中的最值问题一般思路：

(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平

面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；

(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法

解决.

14.以maxAf表示数集M中最大的数.设0＜。＜人＜。＜1,已知》22”或。+人＜1,则

max{Z?-a,c—Z?,l—c}的最小值为.

14.〈或0.2

【考查目标】不等式

【解题思路】最大值变量中的最小值辩证关【命题考向趋势】不等式的灵活运用【备考

复习建议】注重概念深层次理解。

b=\-n-p

［解析］令人_〃=相,C_b=〃1_C=P，其中九所以，

a=i—m—n—p，

若022a,贝！|〃=1一〃一p22（l一加一〃一p）,故2根+力+〃21,