2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2 .2 .4 直线的方向向量与法向量

2.2.3直线的一般式方程

2.2.4直线的方向向量与法向量

基础过关练

题组一直线的一般式方程

1.若方程mx+(m2-m)y+l=0表示的图形是一条直线,则实数m的取值范围

是.

2.(2020北京天坛中学模拟)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3c=0,则该

直线的方程为.

3.(2021江苏宿豫中学期中)过点A(-2,8)且与直线x-V3y+5=0成60。角的直线的

一般式方程是.

题组二直线三种方程之间的转化

4.(2022湖南怀化一中期中)下列有关直线l:x+my-l=0(m£R)的说法中正确的是

()

A.直线1的斜率为-m

B.直线1的斜率为二

m

C.直线1过定点(0,1)

D.直线1过定点(1,0)

5.(2022湖南师大附中月考)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实

数a=()

A.lB.-1

C.2或1D.-2或1

6.(2022北京人大附中期中)直线xsina+gy+l=0(a£R)的倾斜角的取值范围是

()

.rirHIC55K

A1■—4；—dB16—,—6J

C.[喝唔")D.[o,2喂E)

7.(2021山东昌邑一中期中)已知直线4x+m2y-m=0(m>0),若此直线在x轴和y轴的

截距的和取得最小值，则直线的方程为()

A.4x+2y-V2=0B.4x+y-l=0

C.2x-2y+l=0D.2x+2y-l=0

8.设直线1的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-l)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的

值.

⑴直线1在x轴上的截距为-3;

(2)直线1的倾斜角为45。.

题组三直线的方向向量与法向量

9.若直线1的倾斜角等于135。,则下列向量中不是直线1的方向向量的是()

A.(2,2)B.(-3,3)

C.(V2,-V2)D&J

10.(2020辽宁阜新一中月考)已知向量a=(l,3)是直线1的一个方向向量，点A(2,7)

和点B(-l,y)均在直线1上，则y的值为()

A.-9B.10C.4D.-2

11.(2020湖南岳阳一中期中)若直线1的一个法向量是则其倾斜角为

()

A.30°B.60°C.1200D.1500

12.(2022湖南雅礼中学期中)若直线1经过点P(-2,l),且直线1的一个法向量为

v=(2,-l),则直线1的方程为.

能力提升练

题组直线三种方程的应用

1.(2022湖南永州月考)关于x,y的方程a2x-ay-l=0(ar0)表示的直线(图中实线)可

能是()

2.(2022湖南常德期末)已知点A(1,3),B(2,1),若直线l:y=k(x+2)-l与线段AB相交，

则k的取值范围是()

A•原+8)

RS，才

C(-8,(|U生+8)

D[?i]

3.(多选)(2021安徽合肥期中)已知直线1过点P(-l,l),且与直线h：2x-y+3=0以及x

轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是()

A.直线1与直线1]的斜率互为相反数

B.直线1与直线h的倾斜角互补

C.直线1在y轴上的截距为-1

D.这样的直线1有两条

4.已知直线1的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍，且1经过点P(3,2),则直线

1的方程为.

5.已知直线l:2x-2y+l=0,其法向量记为a,直线m的方向向量记为m,<a,m>=60。,且

点A(l,2),B(4,-2)到直线m的距离相等,则直线m的方程为.

6.(2022山东济宁实验中学月考)直线1过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于

A,B两点Q为坐标原点，则AAOB面积的最小值为，当AAOB面积取最

小值时，直线1的一般式方程是.

7.已知4ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)经过BC的中点，且垂直于BC方向向量的直线方程；

(3)经过AB的中点，且方向向量平行于近的直线方程.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.答案mWO

解析由题意得m与m2-m不同时为0,故mNO.

2.答案15x-3y-7=0

U=5(71=_5B,

解析因为直线的斜率存在，所以BWO.由题意得B>所以〃_7R

(428+30=0,«=严

所以该直线的方程为-5x+y+：=0,即15x-3y-7=0.

3.答案x=-2或x+V^y-l=O

解析由直线方程x-By+5=0,可得此直线的斜率为小倾斜角为30。,则与该直线

成60。角的直线的倾斜角为90。或150°,

又因为所求直线过点A(-2,V3),

所以所求直线方程为x=-2或y-V3=-^(x+2),

即x=-2或x+V3y-l=0.

4.D直线l:x+my-l=O可化为my=-(x-l).当mWO时，直线1的方程可化为y=-：(x-l),

其斜率为二,过定点(1,0)；当=0时，直线1的方程为x=l,其斜率不存在，也过点(1,0).

mm

故选D.

5.C依题意可知aWO,当-2+a=0,即a=2时，直线ax+y-2+a=0化为2x+y=0,此时直

线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当-2+a#0,即aW2时，直线ax+y-2+a=0化

为一+上=1,由直线在两坐标轴上的截距相等,可得巴=2-a,解得a=l或a=2(舍去).

--2—aa

综上所述,a=2或a=l.

故选C.

6.D将直线方程xsina+gy+l=O(a£R)化为斜截式为y=-ysina♦x-日,故直线的

斜率k=[sina,sina£[-1,1],.…叶弓斗.•.直线的倾斜角的取值范围为

。，斗^匡口).故选D.

6J6/

7.D直线方程4x+m2y-m=0(m>0)可化为卷+乎1,则此直线在x轴和y轴上的截距

4m

分另U为上上且上>0上>0,所以巴^22>=1,

4m4m4m4m

当且仅当m=2时一+二取得最小值1,此时直线方程为4x+4y-2=0,即2x+2y-l=0.故选

4m'

D.

(m2-2m-37^0,,

8.解析⑴由题意得上丝=解得m=」.

(nj2-2m-3,

故当m=」时，直线1在x轴上的截距为-3.

3

2m2+m-lTtO,,

(2)由题意得/2m一3_1解得m=3

--------I3

、2m2+m-l

故当m=g时，直线I的倾斜角为45。.

9.A由题意得直线I的斜率k=tan135。=-1,因此直线I的方向向量是

m(l,-l)(m£R,mW0),故选A.

10.D由题意可知，荏=(-3,y-7),设荏=QiQ£R且件0),：a=(l,3),，『3；之解得

(y-/=5A,

｛；U：故选D

ii.c由题意得直线1的一个方向向量为因此其斜率1<=子=-返,则其倾斜

3

角等于120°.

12.答案2x-y+5=0

解析由题意得ki=2,则直线1的方程为y-l=2(x+2),即2x-y+5=0.

能力提升练

1.D由题意得直线的斜率为a,在y轴上的截距为」，直线的斜率和它在y轴上的

a

截距的乘积为-1.对于A、C,直线的斜率和它在y轴上的截距同号，所以排除A、

C;对于B,直线的斜率小于1,在y轴上的截距大于-1且小于0,所以排除B;对于D,

直线的斜率小于-1,在y轴上的截距大于0且小于1,所以D可能成立.故选D.

2.D直线l:y=k(x+2)-l恒过点P(-2,-l)Ji]kPA=9=：kPB上3三结合图形可得k

1—(—2)32—(—2)2

的取值范围是故选D.

123」

3.ABC由于直线1与h及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以1与h

的倾斜角互补，斜率互为相反数，故A,B均正确;易知直线1的方程为y-l=-2(x+l),

因此其在y轴上的截距为-1,故C正确;易知这样的直线1只有一条，故D错误.

4.答案8x-15y+6=0

解析设所求直线的倾斜角为。，直线x-4y+3=0的倾斜角为a,贝！J0=2a,故tana],

故tan0=tan2a-'2tan^=—,

l-tan2a15

从而可得直线1的方程为8x-15y+6=0.

5.答案(4+2V3)x-2y-10-5V3=0或(4-2代)x-2y-10+58=0

解析由已知得a可以是(2,-2),

当直线m的斜率不存在时,不满足<a,m>=60。，

故直线m的斜率存在，设为k,所以m=(l,k),

则cos<a,m>=。，:勺产工,解得k=2+B或2-8.易求得kAB='=-',显然直线m

不与直线AB平行.

故直线m过线段AB的中点g,0),

所以直线m的方程为y=(2+后(%-。或y=(2-V3)(%-0,

即(4+2V3)x-2y-10-5^3=0或(4-2g)x-2y-10+573=0.

6.答案8;x+4y-8=0

解析设直线1的方程为「也l(a〉0,b>0).

ab

由点(4,1)在直线上得

ab