2022-2023学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程单元综合测试卷新人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程单元综合测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若直线经过/Q,0）,B（4「3C）两点，则该直线的倾斜角为（

B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】因为直线经过/Q,。），44,-36）两点,

所以直线的斜率为k==-V3.

设直线的倾斜角为。，则tan。=-百，

又0”6»<180°,

所以6=120°,

所以直线N8的倾斜角为120。.

故选：C

2.已知两点/（1,-2）,5（2,1）,直线/过点尸（0,-1）且与线段43有交点，则直线/的倾斜角

的取值范围为（）

兀3兀［「八兀］「兀3兀

A.B.0,-u

144」14」|_24」

八兀］「3兀、「兀71、1713无

C.0,-u—,71D.u——

L4」［4J］42J124」

【答案】C

【解析】如图所示，直线刃的斜率L=曰=-1,直线尸3的斜率%=其=1.

由图可知，当直线/与线段有交点时，直线/的斜率后

因此直线/的倾斜角的取值范围是,用。「手,

L4」［4）

故选：C

1

3.圆&：/+/-1。丁=0与圆。2：/+/=10的公共弦长为()

A.6B.2^/10C.4D.V10

【答案】A

【解析】圆G与圆。2的方程相减得-10歹=-10,即y=1,又G(0,0)到直线尸1的距离为b

所以公共弦长为2函=1=6.

故选：A

4.已知直线/：(2+4)x+(〃-1/-3〃=0在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜

率的取值范围是(

B.左＞1或左＜」■

A.-1＜A:＜-

52

D.左〉〕■或左＜一1

C.左或左＜1

2

【答案】D

【解析】已知直线/：(2+a)A+(a-1)y-3a=0,所以(x+厂3)a+2x-产0

x+y-3=0(x=l

所以直线/过点/(I,2),

2x-y=0\y=2

由题知，在％轴上的截距取值范围是(-3,3),

2-02-01

所以直线端点的斜率分别沏寸717r5,如图:

.•.£＞一或左〈一1.

2

故选：D.

5.圆(x+l)2+(y-2)2=9关于直线x-y=O对称的圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-l)2=9B.(x-2)2+(j+l)2=3

C.(X+2)2+(J-1)2=3D.(X-2)2+(J+1)2=9

【答案】D

【解析】因为圆(x+iy+Qr-2>=9的圆心为(-1,2),半径为3,

且(-1,2)关于直线x-y=O对称的点为(2,-1),

所以所求圆的圆心为(2,7)、半径为3,

即所求圆的标准方程为(x-2)2+(了+Ip=9.

故选：D.

6.点〃在圆/+/=2上，点”在直线了=x-5上，贝『恻的最小值是()

A.41B.—C.—D.1

22

【答案】C

【解析】由题意可知，圆心M(0,0),半径为厂=0,

卜5|_50

所以圆心〃(0,0)到/：>=》-5的距离为

412

所以IMVI的最小值为竽-=孝-血=¥.

故选：C.

7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点四N是锐角的一边3上的两点，试

在"边上找一点R使得NMPN最大.”如图，其结论是：点尸为过弘"两点且和射线

力相切的圆与射线数的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给

定两点〃(T,2),"(1,4),点尸在x轴上移动，当乙如W取最大值时，点户的横坐标是

)

3

A/

A.1B.-7C.1或TD.2或-7

【答案】A

【解析】由题〃（-1,2）,4（1,4）,则线段仞V的中点坐标为（0,3）,

易知上MN=I，则经过〃，"两点的圆的圆心在线段四的垂直平分线y=3-x上.

设圆心为S（a,3-a）,则圆S的方程为+（了—3+°）2=2（1+d）.

当NMPN取最大值时，圆S必与无轴相切于点尸（由题中结论得），

则此时夕的坐标为（。,0）,代入圆S的方程，得2（1+/）=伍一丫，

解得。=1或。=-7,即对应的切点分别为P（1,0）和尸'（-7,0）.

因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，

又过点〃，N,P的圆的半径大于过点弘N,尸的圆的半径，

所以NMPN>NMPN,故点尸（1,0）为所求，即点尸的横坐标为1.

故选:A.

8.如图，“爱心”图案是由函数/'（x）=-x2+4的图象的一部分及其关于直线>=x的对称

图形组成.若该图案经过点卜灰,0）,点〃是该图案上一动点，N是其图象上点〃关于直线

y=x的对称点，连接跖V,贝!的最大值为（）

【答案】B

【解析】函数/'（尤）=一尤2+后经过点（-6,0）,所以左=6.

设直线V=x+b与函数/（%）=-%2+6相切,

4

Iy=x+b

联上\2（消去P，得%2+%+b-6=0.

[y=-x+6

A=l-4（&-6）=0,解得b=

25

则直线＞=x+交与直线＞=x间的距离为了_25后.

4Ek

故物V的最大值为旦旦.

4

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.（多选）已知直线/：（/+。+1卜一歹+1=0,其中aeR,则（）

A.当。=-1时，直线/与直线x+y=0垂直

B.若直线/与直线x-y=0平行，则。=0

C.直线/过定点（0,1）

D.当。=0时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【解析】对于A,当。=-1时，直线/的方程为x-y+l=0,其斜率为1,而直线x+y=0的

斜率为一1,所以当。=-1时，直线，与直线x+y=0垂直，所以A正确，

对于B,若直线7与直线x-y=0平行，则/+.+1=1，解得。=0或。=-1,所以B错误，

对于C,当x=0时，y=l,与。无关，故直线，过定点（0,1）,所以C正确，

对于D,当。=0时，直线/的方程为x-y+l=0,在两坐标轴上的截距分别是一1,1,不

相等，所以D错误，

故选：AC

10.已知直线/过点尸（3,2）,且与直线＜：x+3y-9=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等

腰三角形，则（）

A.直线J的方程为x-3y+3=0B.直线）与直线4的倾斜角互补

C.直线/在y轴上的截距为1D.这样的直线/有两条

【答案】ABC

【解析】因为直线/与4及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以，与《的倾斜角

互补，故B正确；

由直线4的斜率为-；，知直线/的斜率为:，可得直线，的方程为y-2=g（x-3）,即，的

方程为X—3歹+3=0,故A正确;

5

令x=0,得y=L所以，在y轴上的截距为1,故C正确；

过点尸(3,2)且斜率为g的直线只有一条，故D错误.

故选：ABC.

11.已知，(0,4)、8(2,0),直线上有一动点尸(x,y),则()

A.直线48的斜率为-2B.直线48的截距式方程为(+5=1

C•点0(0,0)关于直线相对称的点的坐标为D.xy的最大值为2

【答案】AC

、.4-0

【解析】对于A选项，直线的斜率为的5=丁；=-2,A对；

对于B选项，直线的截距式方程为'+」=1,B错；

24

对于c选项，设原点0(0,0)关于直线AB对称的点为“(〃/),

则直线的斜率为的.=2=：,可得。=26,

a2

线段3/的中点为E停孔点£在直线上，贝哈+2=1，

\2ZJ4o

a=2ba=-

所以，4b「解得/，

一+—=1,8

[48尸不

所以，点0(0,0)关于直线N8对称的点的坐标为g,11,C对；

对于D选项，若x=-2,了=8,则中=-16<2,D错.

故选：AC.

12.已知。为坐标原点，圆M：(x-cosey+(y-sine)2=l,则下列结论正确的是

()

A.圆M与圆_?+/=4内切

B.直线xcos。+ysina=0与圆M相离

C.圆河上到直线x+y=的距离等于1的点最多两个

D.过直线尤+y=30上任一点尸作圆〃的切线，切点为A,B,则四边形尸面积的最

小值为百

【答案】ACD

【解析】圆M的圆心M(cos6,sinl),半径4=1,而圆析+反=4的圆心。(0,0),弓=2,

6

所以|。冏=1=々一4，所以圆M与圆一+r=4内切，A正确；

圆心到直线的距离即s，c0sa+sin6>sm0=cos(e_a)<l,故圆和直线相切或相交，B错误;

Vcosa+sina

因为圆心M(cosasin。)到直线x+y=&的距离为：

因为sin〔O+z卜[-1,1],sin[O+z]-1e[-2,q,J—140,4,

又因为圆M的半径为1,所以上到直线x+y=亚的距离等于1的点最多两个，故C正确;

过直线x+y=3五上任一点P作圆”的切线，切点为A,B,四边形R4MS面积为：

S==|A£4|-\P^\=\PA\=yl\MPf^-L>当垂直直线无+y=3正时，|MP|有最小值,

因为sin[0+?)e[-1,1],sin[0+-3e[-4,-2]sinf0+3-1三”],

所以WPL=2,则四边形尸/“3面积的最小值为几n=布瓦>7=6,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线/经过点(-V2<Z<A/2),则直线/倾斜角的取值范围是.

【答案】■刃

【解析】•••直线/经过点力(2,1),8(3,行，

—A/2V/VV2，

k,e[-l,l],

设直线/的倾斜角为0,贝IJtanOe[-1』,

得03TTu3n\

4

।»f>、？c»3式

故答案为：05—

7

14.过点以0,2)且与点8(-3,1)等距离的直线/的方程为.

【答案】k2或x-y+2=0

【解析】分以下两种情况讨论：

QIIIAB,且直线N2的斜率为3B=E=°'此时直线/的方程为了=2；

②直线I过线段AB的中点C(-l,l),直线PC的斜率为心©=言=1，

此时直线/的方程为了=x+2,即x-y+2=0.

综上所述，直线/的方程为V=2或x-y+2=0.

故答案为：尸2或x-y+2=0.

15.过四点(T,4),(0,1),(1,0)中的三点的一个圆的方程为.

[答案]%2+,2+^-xy+^~=0iiS.x2+y2-^-y-l=0

【解析】设圆的一般方程为/+/+m+E》+尸=0,

若圆过(-1,0),(-4,4),(0,1)三点,

1-D+F=Q

313124

则〈32—4。+4£+尸=0,解得。=里，E=上,F=~,

777

[1+E+/=0

7131?4

此时圆的一般方程为-+V+日〜曰y+亨=()；

若圆过(-1,0乂-4,4),(1,0)三点，

1-D+F=O

31

则《32—40+4£+/=0,解得。=0,E=--,F=-l,

4

[1+。+尸=0

Q1

止匕时圆的一般方程为犬+丁―亍歹―1=0；

若圆过(T0)，(0,1)，(1,0)三点,

l-D+F=O

贝ij<1+£+/=0,解得。=0,E=0,F=—1,

1+。+尸=0

此时圆的一般方程为/+J?_1=0；

若圆过(—4,4),(0,1),(1,0)三点，

’32-4。+4£+尸=0

则<1+£+厂=0,解得。=31,£=31,下=—32,

1+。+/=0

此时圆的一般方程为―+/+31x+31y—32=0；

8

故答案为：x2+y2+—x-—v+—^0^x2+v2-—y-l=0

'7774

或f+/一1=0或》2+/+31尤+31>-32=0

16.已知点2(4,5),点8在x轴上，点C在直线/：2x-y+2=0上，则A48C的周长的最小

值为.

【答案】4&6

【解析】设点A关于直线/的对称点为4(%,必)，点A关于x轴的对称点为4(尤2,%)，

如图所示，连接44交/于点c，交x轴于点8,

\\r

由对称性可知\AC\=14cl,\AB\=\A,B\,

所以，|/C|+\BC\+\AB\^|4C|+\BC\+\A2B\>\AVA^,

当且仅当4、C、B、4四点共线时，等号成立，

因为点4与A关于直线/：2工-歹+2=0对称，

—义2=-1fx=Q

所以"I，解得所以4(0,7).

2'五4-9+2=0〔必=7

122

因为4与A关于X轴对称，所以4(4-5),

所以A48c的周长的最小值为1=7(4-0)2+(-5-7『=4亦).

故答案为：4710.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

(1)求过点尸(5,2)且平行于直线/:3x-y+1=0的直线的方程;

(2)求过点尸(-2,1)且垂直于直线l:x-3y-4=0的直线的方程

9

【解析】(1)由题意，直线/：3x-y+l=0的斜率为左=3

由直线方程的点斜式有：y-2=3。-5)03》->-13=0

即过点尸(5,2)且平行于直线/:3》-了+1=0的直线的方程为：3》7-13=0

(2)由题意，直线/：x-3y-4=0的斜率为左=；

故与直线垂直的直线斜率1=-3

由直线方程的点斜式有：了-1=-3(x+2)o3尤+y+5=0

即过点尸(-2,1)且垂直于直线/:》-37-4=0的直线的方程为3》+了+5=0

18.(12分)

己知直线/：丘->+2左+1=0(斤eR).

(1)若直线/不能过第三象限，求左的取值范围；

(2)若直线/交x轴负半轴于点A,交V轴正半轴于点B,。为坐标原点，设的面积为

S,求S的最小值及此时直线/的方程.

【解析】(1)由/：彳x-y+2左+l=《(x+2)—y+l=0,

当左=0时，直线/的方程为了=1,此时直线/不过第三象限，合乎题意；

当无wo时，在直线/的方程中，令x=o,可得

令y=0,可得x=

k

2A;+l>0

若直线/不过第三象限，贝ij2左+1八，解得-=£左<0.

Lk

综上所述，后40.

2

⑵由(1)可知/1一2-：,0),3(0,2左+1),

-2--<0

又A在x轴负半轴，8在y轴正半轴，所以，k,可得上>o.

2左+1>0

.•.S=g[2+：](24+1)=[{44*+41气口工1+2=4当且仅当次=g时等号成立，

所以，S的最小值为4,此时直线/的方程x-2y+4=0.

19.(12分)

如图，射线。408与无轴正半轴的夹角分别为45°和30。，过点尸。，0)的直线/分别交04,

。于点4B.

10

(1)当线段的中点为P时，求/的方程;

(2)当线段的中点在直线>=；上时，求/的方程.

【解析】(1)由于射线0408与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°,，射线04：

y=x(x>0).03：y=-叱x(x20).设/(西，网)，Bx2,---x2,的中点为点尸(1,0),

3V)

由中点坐标公式求得再=6-1,X2=3-V3.A点坐标(由-1,百-1),3点坐标

1-仙-百+1=^^=(1-右)(2+百)=-(l+G),又尸(1,0),

(3-行,1-百).故/的斜率为

3-V3-V3+1

I：y=_(V^+1)(尤-1).

玉----X?

(2)QNB的中点±万2,——1―在直线了=：上,

.“3/_1xx+x2,即

1,2-2T~

\7

夕=；(3+@(1).

20.((2分)

如图所示，等腰梯形/aZ?的底边48在X轴上，顶点4与顶点6关于原点。对称，且底边

四和67？的长分别为6和2指，高为3.

⑴求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；

(2)若点儿的坐标为(5,2),点〃在圆E上运动，求线段向V的中点尸的轨迹方程.

【解析】(1)设颐0))，

由已知可得：4(-3,0),8(3,0),C(V6,3),D(-瓜3),

由|EB|=|EC］得:

(3-0)2+(0-b)2=(痛-0>+(3-b)=b=1,

...圆E的圆心为E(0,l),半径为r=

.,.圆E的方程为:x2+(y-l)2=10.

(2)设尸(羽丁),“(/,九),

5+%「

2I_^[x0=2x-5

为线段MV的中点,2+为_「〔外=2y-2

代入点M所在圆的方程得:

（2》-5）2+（2/-3）2=10=>0-手+3-手=1,

...点p的轨迹方程为（X_*s2+（y_/a2s=2.

21.（12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆〃：/+/-4苫-8丁+12=0,过点。及点/(-2,0)

的圆N与圆〃外切.

12

（1）求圆N的标准方程.

（2）直线腑上是否存在点8,使得过点3分别作圆〃与圆N的切线，切点分别为R0（不重

合），满足8。=28尸？若存在，求出点8的坐标，若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由题意知，圆N的圆心7V在直线x=-l上（圆心"在线段3的垂直平分线上）.

设N（-1,6）,圆"的半径为二因为圆"与圆〃外切，且圆〃的圆心〃（2,4）,半径为2VL

所以跖v=J（2+iy+（4-6）2=/+20,即62-86+25=/+4"+8，①

乂ON=—+°2=r,即1+/=r?,②

由①②得一86+24=46+8，

即厂=0（2-6）,故亚（2-6）>0,即b<2.

再代入②可得〃-86+7=0,

解得6=1或6=7,又6<2,得6=1,所以r=^2.

故所求圆”的标准方程为（尤+1）2+（"